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拔高讲义——第九章平面解析几何之第2讲:两条直线的位置关系 (学生版)

第 2 讲 两条直线的位置关系 最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直; 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 知识梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2?k1=k2.特别地,当直线 l1, l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2 斜率都存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2?k1·k2=-1,当一条直线斜率为零, 另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直. 2.两直线相交 直 线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 和 l2 : A2x + B2y + C2 = 0 的 公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组 ???AA12xx++BB12yy++CC12==00,的解一一对应. 相交?方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组无解; 重合?方程组有无数个解. 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax0+A2B+y0B+2 C|. (3)两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 间的距离 d= |CA1-2+CB2|2. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2.( ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( ) (4)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数), 若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 3.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( ) A. 2 B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1 4.直线 2x+2y+1=0,x+y+2=0 之间的距离是________. 5.(人教 A 必修 2P114A4 改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直,则 a=________. 考点一 两直线的平行与垂直 【例 1】 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 【训练 1】 已知两直线 l1:x+ysin α -1=0 和 l2:2x·sin α +y+1=0,求 α 的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 考点二 两直线相交及距离公式的应用 【例 2】 (1)求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x- 4y+5=0 垂直的直线 l 的方程. (2)直线 l 经过点 P(2,-5)且与点 A(3,-2)和点 B(-1,6)的距离之比为 1∶2,求直线 l 的 方程. 【训练 2】 (1)如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1:x+2y -1=0,l2:x+2y-3=0 所截的线段的中点在直线 l3:x-y-1=0 上, 则其方程为________. (2)直线 l 过点 P(-1,2)且到点 A(2,3)和点 B(-4,5)的距离相等,则直 线 l 的方程为________. 考点三 对称问题 【例 3】 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 【训练 3】 在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点.光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到原点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( ) 8 4 A.2 B.1 C.3 D.3 基础巩固题组 一、选择题 (建议用时:40 分钟) 1.(2016·济南模拟)已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行,则 a=( ) A.-1 B.2 C.0 或-2 D.-1 或 2 2.(2016·郑州质量预测)“a=1”是“直线 ax+y+1=0 与直线(a+2)x-3y-2=0 垂直”的 () A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为( ) A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y=0 D.3x+19y=0 4.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离

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