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第2章 数列 习题课2 常见的数列求和及应用


习题课 2

简单的递推数列及应用 对点讲练

一、累加法与累乘法求通项 例 1 已知:a1=2,an+1=an+(2n+1),求 an. 解 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+3+5+…+(2n-1)=1+3+5+…+(2n-1)+1=n2+1. ?变式训练 1 已知:a1=1,an+1=2n·an,求 an. a n a n- 1 a2 - - 解 an= · ·…· ·a1=2n 1·2n 2·…·21·1 a1 a n- 1 a n- 2 n(n-1) + + +…+(n-1) =2 . =21 2 3 2 二、化为基本数列求通项 例 2 已知:a1=1,an+1=2an+3,求 an. 解 方法一 ∵a1=1,a2=5,a2-a1=4. - + an+1-an=2(an-an-1)=2n 1(a2-a1)=2n 1 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+22+23+…+2n =21+22+…+2n-1 + =2n 1-3. 方法二 设 an+1-x=2(an-x),则 an+1=2an-x.∴x=-3,an+1+3=2(an+3). - + + ∴an+3=(a1+3)·2n 1=2n 1,∴an=2n 1-3. 5 5 2 ?变式训练 2 设数列{an}满足:a1=1,a2= ,an+2= an+1- an (n=1,2,…).令 bn= 3 3 3 an+1-an. (1)求证:数列{bn}是等比数列,并求 bn; (2)求数列{an}的通项公式. 5 2 2 2 (1)证明 ∵bn+1=an+2-an+1=?3an+1-3an?-an+1= (an+1-an)= bn ? ? 3 3 b n+ 1 2 ∴ = (n=1,2,3,…) bn 3 2 2 2 ∴{bn}是等比数列,公比 q= ,首项 b1=a2-a1= .∴bn=?3?n. ? ? 3 3 2?n (2)解 an+1-an=?3? . ? ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+b1+b2+…+bn-1 2 2 2 - 2 =1+?3?+?3?2+…+?3?n 1=3?1-?3?n?. ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 三、已知 an 与 Sn 的混合关系式,求 an. 1 1 例 3 已知{an}是各项为正的数列,且 Sn= ?an+a ?.求 an 与 Sn. 2? n? 分析 an 与 Sn 的混合关系式有两种思路.本题转化为由 Sn 的递推关系,先求 Sn,再求 an 更简捷易行. 1 1 1 1 解 Sn= ?an+a ?,2Sn=an+ ,∴2Sn=Sn-Sn-1+ , 2? an Sn-Sn-1 n? 1 2 ,∴Sn-S2-1=1, ∴Sn+Sn-1= n Sn-Sn-1 ∴{S2}是一个等差数列,公差为 1,首项为 S2,易求得 S2=1. n 1 1

∴S2=1+(n-1)×1=n.∴Sn= n,∴an= n- n-1. n ?变式训练 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的 n∈N*,都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项 a1 及递推关系式 an+1=f(an); (2)求通项公式 an. 解 (1)a1=S1=2a1-3,∴a1=3. ∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3(n+1).∴Sn+1-Sn=2an+1-2an-3 ∴an+1=2an+1-2an-3,∴an+1=2an+3. (2)∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3). ∴{an+3}是等比数列,公比为 2,首项为 a1+3=6. - - ∴an+3=(a1+3)·2n 1=6·2n 1=3·2n,∴an=3·2n-3. 课堂小结: 课堂小结: 1.近几年高考(尤其是 2009 年高考)常以递推公式为依托,设计出一些新颖灵活、难度 适中、富有时代气息的试题.在学习时对递推公式及其应用应给予适当的重视. 2.递推公式是表示数列的一种重要方法.由一些简单的递推公式可以求得数列的通项 公式.本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.

课时作业
一、选择题 1.数列{an}满足 an+1=an+n,且 a1=1,则 a5 的值为( )

A.9 B.10 C.11 D.12 答案 C 解析 a5=a4+4=a3+3+4=a2+2+3+4=a1+1+2+3+4=11. 2n-1 321 2.已知数列{an}的通项公式是 an= n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于( 2 64 A.13 B.10 C.9 D.6 答案 D 2n-1 1 解析 ∵an= n =1- n, 2 2 1 1 1 1 ∴Sn=n-?2+22+…+2n?=n-1+ n, ? ? 2 321 1 1 1 而 =5+ ,∴n-1+ n=5+ ,∴n=6. 64 64 2 64 3.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,则 an 的表达式为( ) 2 A.3n-2 B.n -2n+2 - C.3n 1 D.4n-3 答案 B 解析 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+1+3+5+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2. ? 1 ? 4.数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列?a +1?是等差数列,则 a11 的值为( ) ? n ? 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 3 4 答案 B ? 1 ? 1 1 解析 设数列?a +1?的公差为 d,则 = +4d, a7+1 a3+1 ? n ? 1 1 1 1 1 = +4d, ∴ = +4d,d= , 24 a11+1 a7+1 2 3

)

1 1 1 2 3 1 = + = ,∴a11+1= ,∴a11= . 2 2 a11+1 2 6 3 5.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1-an-2 (n≥3).那么 S2 011 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 ∵an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1,∴an+1=-an-2,∴an+3=-an. ∴an+6=-an+3=-(-an)=an.∴{an}是周期数列且 T=6. ∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0, ∴S2 010=0,∴S2 011=S2 010+a2 011=a2 011=a1=1. 二、填空题 a4 + 6.数列{an}中,a1=1,an+1an=a2+(-1)n 1 (n∈N*),则 =________. n a2 13 答案 12 2 3 a4 a4a3 a3+1 13 解析 a2=2,a3= , = = 2 = . 2 a2 a2a3 a2-1 12 n 7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1= a ,则 an=________. n+1 n 1 答案 n n-1 1 a n+ 1 n a2 a3 a4 an 1 2 3 = 得: · · ·…· = × × ×…× = 解析 由 an n+1 a1 a2 a3 n n a n- 1 2 3 4 an 1 1 1 ∴ = ,an= 或(n+1)an+1=nan=…=2a2=1a1=1,∴an= . a1 n n n 2an 1 8.在数列{an}中,an+1= ,对所有正整数 n 都成立,且 a7= ,则 a5=______. 2 2+an 答案 1 2an 1 1 1 ?1? 1 解析 ∵an+1= ,∴ = + .∴? ?是等差数列且公差 d= . 2 2+an an+1 an 2 ?an? 1 1 1 ∴ = +2d= +1=2,∴a5=1. a5 a7 a5 三、解答题 1 9.已知 Sn=4-an- n-2,求 an 与 Sn. 2 1 1 解 ∵Sn=4-an- n-2,∴Sn-1=4-an-1- n-3 2 2 1 1 ∴Sn-Sn-1=an=an-1-an+ n-3- n-2 2 2 1 - a n- 1 1 an - =2. ∴an= an-1+?2?n 1,∴ ? ? 2 ?1?n ?1?n-1 ?2? ?2? n n- 1 ∴2 an-2 an-1=2.∴{2nan}是等差数列,d=2,首项为 2a1. 1 ∵a1=S1=4-a1- -1=2-a1,∴a1=1. 2 1 - ∴2nan=2+2(n-1)=2n,∴an=n·?2?n 1. ? ? n+2 1 1 1 ∴Sn=4-an- n-2=4-n· n-1- n-2=4- n-1 . 2 2 2 2 10.某地区位于沙漠边缘,人与沙漠进行长期不懈的斗争,到 2002 年底全地区的绿化 率已达到 30%,从 2003 年开始,每年将出现以下变化:原有沙漠面积的 16%将栽上树,改 造为绿洲,同时,原有绿洲面积的 4%又被侵蚀,变为沙漠. ∴

3 (1)设全区面积为 1,2002 年底绿洲面积为 a1= , 经过 1 年(指 2003 年底)绿洲面积为 a2, 10 4 经过 n 年绿洲面积为 an+1,求证:数列{an- }为等比数列; 5 (2)问:至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过 60%(年数取正整数). 3 (1)证明 因为 2002 年底绿洲面积为 a1= , 10 7 所以 2002 年底的沙漠面积为 1-a1= , 10 经过 n-1 年后绿洲面积为 an,沙漠面积为 1-an, 由题意得,再过一年,即经过 n 年后, 4 4 绿洲面积为 an+1=(1-an)×16%+an(1-4%),即 an+1= an+ . 5 25 4 4 4 4 3 4 1 所以 an+1- = (an- ).又因为 a1- = - =- , 5 5 5 5 10 5 2 4 4 1 所以数列{an- }是以 为公比,- 为首项的等比数列. 5 5 2 4 ? 1? ?4?n-1 4 1 4 - (2)解 由(1)知,an- =?-2?×?5? ,所以 an= - ·?5?n 1, 5 5 2? ? 设经过 n 年的努力可使全区的绿洲面积超过 60%,即 an+1>60%. 4 2 4 1 4 3 所以 - ·?5?n> ,所以?5?n< . ? ? 5 5 2? ? 5 4 2 验证 n=1,2,3,4 时,?5?n> . ? ? 5 4 1 024 2 当 n=5 时,?5?5= ? ? 3 125<5, 故至少需要 5 年的努力,全区的绿洲面积超过 60%.


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