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高中数学(人教版)必修五课件:简单线性规划


y

o

x

x -4y≤ - 3 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1

组卷网

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

在该平面区域上 问题 1:x有无最大(小)值?

y

x=1
C

问题2:y有无最大(小)值? 问题3:2x+y有无最大(小)值?

x-4y=-3
A
B

3x+5y=25

o

x

设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件

求z的最大值和最小值。

x-4y≤-3 3x+5y≤25, x≥1

y x=1
C x-4y=-3


B

3x+5y=25

o

x

设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

x-4y≤-3 3x+5y≤25 , x≥1

y=-2x+ z 问题 1: 将z=2x+y变形? 斜率为-2的直线在y轴上的截距 。 问题 2: z几何意义是_____________________________

y
C

析: 作直线l0 :2x+y=0 ,则直线 l: 2x+y=z是一簇与 l0平行的直线,故

x-4y=-3

直线 l 可通过平移直线l0而得,当直 线往右上方平移时z 逐渐增大:

o

B

3x+5y=25



x

当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当l 过点A(5,2)时,z最大,即 zmax=2×5+2=12 。

x=1

约束条件:由x、y的不等式(方程)构成的不等式组。 线性约束条件:约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。 目标函数:欲求最值的关于x、y的一次解析式。 线性目标函数:欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。 线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解:满足线性约束条件的解(x,y)。 可行域:所有可行解组成的集合。 y 最优解:使目标函数达到最大值
或 最小值 的可 行 解。 设Z=2x+y,式中变量x、y C

有关概念

满足下列条件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 , x≥1

x-4y=-3

o

B

3x+5y=25



x

求z的最大值和最小值。

x=1

例1:设z=2x-y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

x -4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

解:作出可行域如图:
当z=0时,设直线 l0:2x-y=0 平移l0,当l0经过可行域上点A时,
-z 最小,即z最大。

y
3x+5y=25

2x-y=0

C (1,4.4)

平移l0 , 当l0经过可行域上点C时,
-z最大,即z最小。

x-4y=-3

o

B

(5,2)



x=1

x



x-4y=-3

(1,4.4) ; (5,2) ; 得A点坐标_____ 由 得C点坐标_______ 3x+5y=25 3x+5y=25
zmax=2×5-2=8 zmin=2×1-4.4= -2.4

x=1



解线性规划问题的步骤:

画 画出线性约束条件所表示的可行域; 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线
1、

中,用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线;

求 通过解方程组求出最优解; 4、 答 作出答案。
3、

例2:已知x、y满足

x -4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

,设z=ax+y (a>0), 若z

取得最大值时,对应点有无数个,求a 的值。

解:当直线 l :y =-ax+ z 与
直线重合时,有无数个点,使 函数值取得最大值,此时有: k l =kAC

y
3x+5y=25 x-4y=-3
C



4.4 ? 2 3 ? ? kAC= 1 ? 5 5

k l = -a ∴ -a
=?
3 5

3 5

A B



a=

o

x

x=1

3x +2y≤10 例3:满足线性约束条件 多少个整数解。

x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5
4 3 2 1

解:由题意得可行域如图:

由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)

故有四个整点可行解.

x +4y=11

0

1

2

3

3x +2y=10

4

5

x

练习:
设Z=x+3y,式中变量x、y满足下列条件

求z的最大值和最小值。

2x+3y≤24 x-y≤7 , y ≥0 y ≤6 x≥0

小结:
1.线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;

3. 求可行域中的整点可行解。


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