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2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练1 文


专题跟踪训练(一)
一、选择题 1. (2015?山东卷)已知集合 A={x|2<x<4}, B={x|(x-1)(x-3)<0}, 则 A∩B=( A.(1,3) C.(2,3) B.(1,4) D.(2,4) )

[解析] 由 B={x|(x-1)(x-3)<0}={x|1<x<3},A={x|2<x<4},得 A∩B=(2,3),故 选 C. [答案] C 2. (2015?天津卷)已知全集 U={1,2,3,4,5,6}, 集合 A={2,3,5}, 集合 B={1,3,4,6}, 则集合 A∩(?UB)=( A.{3} C.{1,4,6} ) B.{2,5} D.{2,3,5}

[解析] 因为?UB={2,5},所以 A∩(?UB)={2,5}.故选 B. [答案] B 3.(2015?陕西质量检测)设全集 U=R,A=?x?
? ?

? x <0? ? ?x+3 ?

,B={x|x<-1},则图中阴

影部分表示的集合为(

)

A.{x|x>0} C.{x|-3<x<0}

B.{x|-3<x<-1} D.{x|x<-1}

[解析] 由题意知图中阴影部分表示 A∩B,∵集合 A={x|-3<x<0},B={x|x<-1}, ∴A∩B={x|-3<x<-1},选 B. [答案] B 4.(2015?湖南卷)设 x∈R,则“x>1”是“x >1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
3 3 3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

[解析] ∵x>1,∴x >1,又 x -1>0,即(x-1)(x +x+1)>0,解得 x>1,∴“x>1”是 “x >1”的充要条件,故选 C.
1
3

[答案] C 5.命题“若 x +3x-4=0,则 x=-4”的逆否命题及其真假性为( A.“若 x=-4,则 x +3x-4=0”为真命题 B.“若 x≠-4,则 x +3x-4≠0”为真命题 C.“若 x≠-4,则 x +3x-4≠0”为假命题 D.“若 x=-4,则 x +3x-4=0”为假命题 [解析] 根据逆否命题的定义可以排除 A,D,由 x +3x-4=0,得 x=-4 或 1,故选 C. [答案] C 6.已知命题 p:? x0∈R,x0-2>lg x0;命题 q:? x∈R,x +x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题;④命题“p∨綈 q”是假命题. 其中所有正确结论的序号为( A.②③ C.①③④ ) B.①④ D.①②③
2 2 2 2 2 2 2

)

[解析] 对于命题 p,取 x0=10,则有 10-2>lg 10,即 8>1,故命题 p 为真命题;对 于命题 q,方程 x +x+1=0 中,Δ =1-4?1<0,故方程无解,即? x∈R,x +x+1>0,所 以命题 q 为真命题.综上“p∧q”是真命题,“p∧綈 q”是假命题,“綈 p∨q”是真命题, “p∨綈 q”是真命题,即正确的结论为①②③. [答案] D 7.(2015?河北石家庄一模)下列说法中,不正确的是( A.已知 a,b,m∈R,命题“若 am <bm ,则 a<b”为真命题 B.命题“? x0∈R,x0-x0>0”的否定是“? x∈R,x -x≤0” C.命题“p 或 q”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D.“x>3”是“x>2”的充分不必要条件 [解析] 由 am <bm 可知 m >0,故可推出 a<b,选项 A 正确;特称命题的否定是全称命 题,选项 B 正确;由于 x>3 能推出 x>2,但是 x>2 不能推出 x>3,故选项 D 正确;p∨q 是真 命题?p,q 中存在真命题,故选项 C 错误.故选 C. [答案] C 8.若命题“? x0∈R,x0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,3] C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

)

B.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
2

[解析] 因为命题“? x0∈R,x0+(a-1)x0+1<0”等价于 x0+(a-1)x0+1=0 有两个 不等的实根,所以 Δ =(a-1) -4>0,即 a -2a-3>0,解得 a<-1 或 a>3,故选 D.
2
2 2

[答案] D 9.(2015?吉林长春质量监测二)已知命题 p:函数 f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单 调函数,命题 q:函数 g(x)=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

[解析] 由 p 成立,得 a≤1,由 q 成立,得 a>1,所以綈 p 成立时 a>1,则綈 p 是 q 的 充要条件.故选 C. [答案] C 10.(2015?山西质量监测)给定下列三个命题:

p1:函数 y=ax+x(a>0,且 a≠1)在 R 上为增函数; p2:? a,b∈R,a2-ab+b2<0; p3:cos α =cos β 成立的一个充分不必要条件是 α =2kπ +β (k∈Z).
则下列命题中的真命题为( A.p1∨p2 C.p1∨綈 p3 ) B.p2∧p3 D.綈 p2∧p3

1 ?1?0 ?1?-1 [解析] 对于 p1:令 y=f(x),当 a= 时,f(0)=? ? +0=1,f(-1)=? ? -1=1, 2 2 ? ? ?2?

? 1 ?2 3 2 2 2 所以 p1 为假命题;对于 p2:a -ab+b =?a- b? + b ≥0,所以 p2 为假命题;对于 p3:由 ? 2 ? 4
cos α =cos β ,可得 α =2kπ ±β (k∈Z),所以 p3 是真命题,所以綈 p2∧p3 为真命题, 故选 D. [答案] D 11.(2015?天星教育一次联考)对于平面向量 a,b,给出下列四个命题: 命题 p1:若 a?b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角; 命题 p2:“|a?b|=|a||b|”是“a∥b”的充要条件; 命题 p3:当 a,b 为非零向量时,“a+b=0”是“|a+b|= ||a|-|b||”的充要条件; 命题 p4:若|a+b|=|b|,则|2b|≥|a+2b|. 其中的真命题是( )

A.p1,p3 B.p2,p4 C.p1,p2 D.p3,p4 [解析] 对于命题 p1,当向量 a,b 共线且同向时,它们的夹角不是锐角,但它们的数 量积为正,所以命题 p1 是假命题.对于命题 p2,因为 a?b=|a||b|cos?a,b?,又|a?b| =|a||b|,所以|cos?a,b?|=1,所以?a,b?=0°或 180°,即 a∥b.反之,如果 a∥

b, 容易得到|a?b|=|a||b|, 因此“|a?b|=|a||b|”是“a∥b”的充要条件(这里包含 a,
3

b 中有零向量的情况,因为零向量可以和任何向量平行),所以命题 p2 是真命题.对于命题 p3,|a+b|=
||a|-|b||?a?b=-|a||b|?cos?a,b?=-1?a 与 b 反向?a=λ b(λ <0),所以 “a+b=0”是“|a+b|=||a|-|b||”的充分不必要条件,所以命题 p3 是假命题.对于命 题 p4,由|a+b|=|b|,得 a +2a?b=0,即 2a?b=-a ,故|a+2b| =a +4b +4a?b=
2 2 2 2 2

a2+4b2-2a2=4b2-a2≤4b2=|2b|2,即|2b|≥|a+2b|,所以命题 p4 是真命题,故选 B.
[答案] B 12.设集合 S={A0,A1,A2,A3},在 S 上定义运算⊕:Ai⊕Aj=Ak,其中 k 为 i+j 被 4 除的余数(其中 i,j=0,1,2,3),则满足关系式(x⊕x)⊕A2=A0 的 x(x∈S)的个数为( A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] 因为 x∈S={A0,A1,A2,A3},故 x 可能有四种情况.若 x=A0,根据定义 Ai ⊕Aj=Ak,其中 k 为 i+j 被 4 除的余数(其中 i,j=0,1,2,3),则(x⊕x)⊕A2=A0⊕A2=A2, 不符合题意,同理可以验证 x=A1,x=A2,x=A3 三种情况,其中 x=A1,x=A3 符合题意, 故选 C. [答案] C 二、填空题 13.命题“对任意 x∈R,x -3x+1>0”的否定是____________________. [解析] 将“任意”改为“存在”, 将“x -3x+1>0”改为“x -3x+1≤0”, 故原命 题的否定为“存在 x∈R,x -3x+1≤0”. [答案] 存在 x∈R,x -3x+1≤0 14.若 A={(x,y)|y=x +2x-1},B={(x,y)|y=3x+1},则 A∩B=________. [解析] A∩B={(x,y)|?
?y=x +2x-1 ? ? ?y=3x+1
2 2 2 2 2 2 2

)

}={(2,7),(-1,-2)}.

[答案] {(2,7),(-1,-2)} 15.已知命题 p:m∈R,且 m+1≤0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为假命题,则 m 的取值范围是____________________. [解析] 先求 p∧q 是真命题时 m 的取值范围,再求其补集.命题 p 是真命题时,m≤- 1,命题 q 是真命题时,m -4<0,解得-2<m<2,所以 p∧q 是真命题时,-2<m≤-1,故 p ∧q 为假命题,则 m 的取值范围是 m≤-2 或 m>-1. [答案] m≤-2 或 m>-1 16.已知集合 M={1,2,3,?,100},A 是集合 M 的非空子集,把集合 A 中的各元素之 和记作 S(A). (1)满足 S(A)=8 的集合 A 的个数为________; (2)S(A)的所有不同取值的个数为________.
4
2 2

[解析] (1)若集合 A 中含有一个元素,则 A={8};若集合 A 中含有两个元素,则 A= {1,7}或 A={2,6}或 A={3,5};若集合 A 中含有三个元素,则 A={1,3,4}或 A={1,2,5}; (2)易知 1+2+3+?+100=5 050,所以 S(A)将取尽 1 到 5 050 的所有数,因此 S(A)的所 有不同取值的个数为 5 050. [答案] (1)6 (2)5 050

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