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湖南省雅礼中学2014届高三第六次月考数学(理)试题

湖南省雅礼中学 2014 届高三第六次月考试题(数学文)
(时量:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置.
1.集合 A={x ? Z A.{0}

1 ? 2 x ? 2} ,B= {y y ? cos x, x ? A},则 A ? B =( B ) 2
B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1}

2.已知复数 z 满足 z ? A.第一象限

3?i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为( D ) 1? i
C. 第三象限 ).
2

B. 第二象限

D.第四象限

3.下列有关命题的说法正确的是 ( C
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” . B. “ x ? ?1 ” 是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2 2

π π 4.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象 2 2 如图所示,则 ω,φ 的值分别是( A ) π A.2,- 3 π C.4,- 6
2

π B.2,- 6 π D.4, 3
2 x 2 ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线围成一个等腰直角 a 2 b2

5.已知抛物线 x ? ?4 y 的准线与双曲线

三角形,则该双曲线的离心率是( C ) A.

5

B. 5

C.

2
A )

D. 2

6.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( A. 2+

1+ 5 ? 2

[

B. 2+

1+2 5 ? 2

C. 2+( 1+ 5)?

D. 2+

2+ 5 ? 2

(0, ? ?) 7. 已知函数 f ( x) ? x | x ? 2 | ( x ? R ) ,若存在正实数 k ,使得方程 f ( x) ? k 在区间 上有三
个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 +x2 +x3 的取值范围是 A. (1,1+ 2) B. (2, 1+ 2) C. (3,3+ 2) ( D ) D. (4,3+ 2)

8.已知正方形 AB C D 的边长为 2 , H 是边 DA 的中点. 在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,则满足
PH ? 2 的概率为

( B.

B

) C.

A.

? 8

?
8

?

1 4

? 4

D.

?
4

?

1 4

9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 , f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函数, 已知 f ?( x ) 的图像如图所示,若两个正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 , 则

b ?1 的取值范围是 ( a ?1 1 1 1 A. ( ,5) B. ( , ) 3 5 3

A



1 C.(??, ) ? (5, ??) 3

D.( ??,3)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. 10.阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ?25 时, 开 始 输出 x 的值为 4 .
输入 x

|x|>1 是 ? ? ??



x?

| x | ?1

x = 3x+1

输出 x





11.从某 500 件产品中随机抽取 50 件进行质检,利用随机数表法抽取样本时,先将这 500 件产品按 001,002,003,?,500 进行编号.如果从随机数表第第 7 行第 4 列的数 2 开始,从左往右读数,则依 次抽取的第 4 个个体的编号是____206_______.(下面摘录了随机数表第 6 行至第 8 行各数) 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

?2 x ? 12.已知函数 f ( x) ? ?log x 1 ? 2 ?

x ?1 1 x ? 1 ,则 f ( f (2)) 等于 _____ 2 ______

13.在极坐标系中,圆 ? =4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

( ? ? R ) 的距离是

3

.

14. 如图,矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同且边长为 1 的正方形,其中

A 、 B 、 C 、 D 都在矩形的边上,则 AC ? BD ? __________ _ .? 3

15.已知数列{an}的各项均为正整数,对于 n=1,2,3,?,有 3a +5,an为奇数, ? ? n an+1=?an ? ?2k,其中k是使an+1为奇数的正整数,an为偶数. (Ⅰ)当 a1=19 时,a2014= 98 ; 5 .

(Ⅱ)若 an 是不为 1 的奇数,且 an 为常数,则 an=

【答案】 (Ⅰ)98; (Ⅱ)5 【解析】 试题分析: (Ⅰ) a 2 ? 3a1 ? 5 ? 62, a3 ?

a 2 62 ? ,因为 k 是使 a n ?1 为奇数的正整数,而 a3 为奇数, 2k 2k a 4 98 ? ? 49 ,同理 2k 2k

则 k ? 1 ,于是 a3 ? 31,所以 a4 ? 3a3 ? 5 ? 98 , a5 ?

a6 ? 152, a7 ? 19, a8 ? 62 ?于是发现这个数列是周期数列,且 T ? 6 ,所以
(Ⅱ)若 an 是奇数,则 an?1 ? 3an ? 5 为偶 a2014 ? a6?335?4 ? a4 ? 98; 数,所以 a n ? 2 ?

a n ?1 为奇数,又因为 an 为常数,于是 an? 2 ? an ,所以 2k

an ?

3a n ? 5 5 ,即 a n ? k ,因为数列{an}的各项均为正整数,所 k 2 ?3 2

以当 k ? 2 时 an ? 5 满足题意.

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 某数学老师对本校 2014 届高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按 1:50 进行分层抽样抽取的 20 名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如右:

得到频率分布表如下:

(1)求表中 a , b 的值,并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在 [90,150] 范围为及格) ; (2)从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概 率.

17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 , cos A ? ? (1)求角 B 的大小;
2 (2)若 f ( x) ? cos 2 x ? c ? sin ( x ? B) ,求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

1 . 2

18. (本题满分 12 分) 如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱的截面交下底 面于 BC , 四边形ABCD是正方形. (Ⅰ)求证 BC ? BE ; (Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积.

证明:(Ⅰ) AE 是圆柱的母线, ? AE ? 下底面,又 BC ? 下底面,? AE ? BC …………………………….3 分 又 截面 ABCD 是正方形,所以 BC ⊥ AB ,又 AB AE ? A

? BC ⊥面 ABE ,又 BE ? 面 ABE ,? BC ? BE

……………………………5 分 (Ⅱ)因为母线 AE 垂直于底面,所以 AE 是三棱锥 A ? BCE 的高………………6 分, 由(Ⅰ)知 BC ⊥面 ABE , BC ? 面 ABCD ,?面 ABCD ⊥面 ABE , 过 E 作 EO ? AB ,交 AB 于 O , 又 面 ABCD ? 面 ABE ? AB , EO ? 面 ABE , ? EO ? 面 ABCD ,即 EO 就是四棱锥 E ? ABCD 的高…………………(8 分) 设正方形 ABCD 的边长为 x , 则 AB ? BC ? x , BE ? 又

AB2 ? AE2 ? x2 ? 4

BC ? BE ,? EC 为直径,即 EC ? 2 7
即 (2 7)2 ? x2 ? x2 ? 4 ? x ? 4

2 2 2 在 Rt BEC 中, EC ? BE ? BC ,

? S ABCD ? 4 ? 4 ? 16 ,

…………………………(10 分)

EO ?

AE ? BE 2 ? 42 ? 4 ? ? 3 AB 4
1 3 1 3 16 3 . ………(12 分) 3

?VE ? ABCD ? ? OE ? S ABCD ? ? 3 ?16 ?

19. (本小题满分 13 分) 若正数项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ?1 ? (1)求 a2 , a3 及数列 ?a n ? 的通项公式 an ; (2) 设 bn ?

S n ? 1 ,其中首项 a1 ? 1 .

1 * , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和, 若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒 an ? an ?1

成立,求实数 ? 的取值范围. 解: 易知 a2 ? 3 , a3 ? 5 由题意可得 S n ?1 ? S n ? 1

??????????????????????????6 分

20. (本小题满分 13 分) x2 y2 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,当 a b 3 2 直线 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; → → → (Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有 的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 ? ? 1 .?????????????5 分 ∴所求椭圆 C 的方程为 3 2

1 化简整理,得 4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得 t2= . 2 当 t= 2 3 2 时,P( ,- ),l 的方程为 2x-y- 2=0; 2 2 2 2 3 2 时,P( , ),l 的方程为 2x+y- 2=0. 2 2 2

当 t=-

3 2 → → → 故 C 上存在点 P( ,± ),使OP=OA+OB成立,此时 l 的方程为 2x±y- 2=0. 2 2 ?????????????13 分

21.(本小题满分 13 分)
x

设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).
2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; 解析:

(2) 当 k ??0, +?? 时,判断函数 f ? x ? 在 R 上的零点个数,并说明理由.

g? ?t ? ? et ? 2t , g??(t ) ? et ? 2 .

t ? 2 , ? g?? ?t ? ? 0 , g? ?t ? 在

? 2 , ? ??

上 单 增 ,


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