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8函数方程及应用概念复习材料


8 函数方程及应用概念复习材料
一知识点 1 函 数 零 点 : 对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点.
2 函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标 3 函数零点的求法①代数法 ②几何法 4 零点存在性定理: 若函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续 曲线, 并且 在闭区间[a,b] 端点的函数值符号相反, 即 f(a)f(b)<0,则 f(x)在 (a,b)上至少有一个零点, 即方程 f(x)=0 在(a,b)上至少有一个实数解。 (注) ①并不是所有函数都有零点②方程 f(x)=0 在区间 (a,b) 内有奇数个解, 则 f(a)f(b)<0;方程在区间 (a,b)内有偶数个解, 则 f(a)f(b)>0.③函数 f(x) 在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线且在区间(a,b)上单调若 f(a)f(b)<0,则 f(x)在区间 (a,b)上有且只有一个零点。 5 二分法定义 6 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤。 7 常见的函数模型及增长特点(1)直线 y=kx+b (k>0)模型,其增长特点是直线上升;(2)对数 n y=logax (a>1)模型,其增长缓慢; (3)幂函数 y=x (n>0)模型,其增长速度,随 n 值而不 x 同(4)指数 y=a (a>1)模型,其增长迅速 8 解答应用题的基本步骤:(1)设:合理、恰当地设出变量;(2)写:根据题意,抽象概括数 量关系,并能用数学语言表示,得到数学问题;(3)算:对所得数学问题进行分析、运算、 求解;(4)答:将数学问题的解还原到生活实际问题,给出最终的答案. 二练习 1 函数 f ( x) 在区间(0,2)内有零点,则 ( A )

f (0) > 0, f (2) < 0
1

B

f (0) ? f (2) < 0
2 1 2

C 在区间(0,2)内存在

x , x 使 f (x ) ? f (x ) < 0


D 以上说法都不正确

2 f ( x ) 在 ? a,b? 上为单调函数,则(

A. f ( x ) 在 ? a,b? 上不可能有零点 B. f ( x ) 在 ? a,b? 上若有零点, 则必有 f (a) f (b) ? 0 C. f ( x ) 在 ? a,b? 上若有零点,则必有 f (a) f (b) ≤ 0
3 2

D.以上都不对 )

3 函数 f ? x ? ? x ? 2x ? x ? 5 在下列区间内,有零点的区间是( A. ? ?3, ? 2? 4 若方程 2a B. ? ?2, ?1?
2

C. ? ?1 , 0?

D. ? 0, 1? ( )

x

? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一解 ,则 a 的取值范围是

?1 < a < 1 0 ? a <1 A a < ?1 B a > 1 C D 5 一块电路板的 AB 线段之间有 60 个串联的焊接点,知道电路板不通的原因是焊口脱落造 成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测 ( ) A 4次 B 6次 C 8 次 D 30 次 6 今有一组实验数据如下:

t v

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01 )

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( A. v ? log2 t B. v ? log 1 t
2

t 2 ?1 C. v ? 2

D. v ? 2t ? 2 ) )

7 一种新型电子产品投产,计划两年后使成本降低 36% ,那么平均每年应降低成本( A. 18 % B. 20% C. 24% D. 36% 8 按复利计算储蓄利率,存入银行 5 万元,年利率 3% ,三年后支取,可得利息为( A
3 2 2 5 (1 ? 0.0 3 )B 5 ( 1 ? 0.0 3 )C 5 ( 1 ? 0.0 3 ?)

5 D 5(1 ? 0.03)3 ? 5

9 某人若以每股 17.25 元购进股票一万股,一年后以每股 18.96 元抛售,该年银行月利率

0.8% ,按月计算,为获取最大利润,某人应将钱 ((1 ? 0.8%)12 ? 1.10038) (
A 全部购股票

) .

B 全存入银行 C 部分购股票、部分存银行 D 购股票或存银行均一样
2

10 某地 2000 年底人口数是 500 万, 人均住房面积为 6m , 如果该城市人口平均每年的增长 率是 1% ,则要使 2010 年底该城市人均住房面积增加到 7m ,平均每年新增住房面积至少 为( )m ( 1.01 ? 1.1046 )
2 2

10

A.87.61 万 11 函数 f ( x) ?

B.85.46 万

C.86.61 万

D.90.51 万

(lg x)
1

2

? lg x 的零点为

12 已知函数 f ? x ? 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

x
f ? x?

2

3

4

5

6

13.6

1.56

?0.39
个零点

1.09

?5.25

?2.32

则函数 f ? x ? 至少有 13 函数 f ( x) ?

x

4

? 4 x ? 2 在区间 ?? 1,2? 上至少有

个零点

14 某商场将彩电先按原价提高 40% ,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠” .结果是每 台彩电比原来多赚了 270 元,那么每台彩电原价为 元. 15 某商店进货单价为 45 元,若按 50 元一个销售能卖出 50 个;若销售单价每涨 1 元销售量 就减少 2 个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个 元. 16 一等腰三角形的周长为 20,底边 y 是腰长 x 的函数,则它的解析式为

17 求函数 f ? x ? ? lg x ? 2x ? 7 的零点个数

18 若函数 f ? x ? ? mx2 ? 2x ? 3 只有一个零点,求实数 m 的取值范围.

19 某租凭公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的 月租金增加 50 元时,未租出的车就会增加一辆.租出的车每辆需要维护费 150 元,未租出 的每辆每月需要维护费 50 元. (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租凭公司的月收益最大?最大月收益是多少元?

20 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血 液中的含药量 y(mg)与时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 mg 时,治疗疾病有效.求服药一次 治疗疾病的有效时间.


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