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【学生版本】任意角的三角比及三角恒等式,二倍角和半角正余弦和正切


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东方教育学科教师辅导讲义
讲义编号 SH12sx00021
学员编号: 学员姓名: 学科组长签名及日期 课 授课时间: 教学目标 1、 复习任意角及其度量 2、 详解任意角的三角比 题 年 级: 高一 辅导科目: 数学 剩余课时数 任意角的三角比及三角恒等式,二倍角和半角正余弦和正切 备课时间: 课时数:2 学科教师:李生

重点、难点

任意角三角比,弧度制及三角恒等式的应用

考点及考试要求

会利用同角三角比的三角恒等式解题,能进行弧度与角度的互化

教学内容

一、任意角三角比知识总结与回顾
1. 任意角的概念: 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图形. 旋 转开始时的射线 OA 叫做角的(始边) ,射线的端点 O 叫做角的(顶点) ,旋转终止位置的射线 OB 叫做角的(终边), 按(顺)时针方向旋转所形成的角叫做正角,按(逆)时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没有作任何 旋转,称它形成了一个(零)角 2. 象限角 (1)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说这个角是(第几象 限)角. (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角表示为__________________; 终边在 y 轴上的角表示为________________________; 终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________. 思考 ①与(0°≤ ? <360° )终边相同的角的集合(角与角的终边重合) : ②终边在 x 轴上的角的集合: ③终边在 y 轴上的角的集合: ④终边在坐标轴上的角的集合: ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ⑥终边在 y= -x 轴上的角的集合: (3)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合______________________或_____________________,
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前者 α 用角度制表示,后者 α 用弧度制表示. 注:角 ? 与角 ? ? ? ? k ? 360° 是终边相同的角,需要明确三点:

k ?Z

(2) ? 是任意大小的角 (3)终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差 360°

的整数倍 (4)弧度制 把长度等于(半径)长的弧所对的(圆心角)叫 1 弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做__________, 它的单位符号是________,读作________,通常略去不写.

2? r ? r ? ? 注:弧长与半径的比值仅与圆心角的度数有关(由于 1 圆心角所对弧长为 360 180 ,因此 x 的圆心角所对的
?

l?
弧长为

? xr

l ?x ? l ? 180 ,由此得到 r 180 ,其中 180 为定值,说明比值 r 只与角的大小 x 有关)

(5)度与弧度的换算关系

1 1 1 弧度的弧长 l 等于半径的长度 r ,相当于圆周长 2? r 的 2? ,所以 1 弧度也就相当于 360° 的 2? ,即 1 弧度

1 ? 1 1 周角 1 2? r ? ? ' ? ? ? =360° * 2? = 180 ? 57 18 , 反过来 1 是圆周角的 360 , 也就是 2? 弧度的 360 , 即 1 = 360 = 360 * r = 180
(弧度) 360° =______ rad;180° =______ rad;1° =________ rad; 1 rad=____________≈57.30°. (6)弧长公式与扇形面积公式 l=__________,即弧长等于____________________. S 扇=________=________. 例题 1 ① 写出与-150° 终边相同的角的集合 ② 角 ?125 是第几象限的角
?

? ③ 设 ? 是第三象限角试讨论 2 是哪个象限的角
例题 2 已知一扇形的中心角 α =60°,所在圆的半径 R=10 cm,则扇形的弧长为________cm, 面积为________cm2.
2.三角比的定义 设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P 的坐标为(x,y),|OP|=r,我们规定: y y ①比值 叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 sin α= ; r r x x ②比值 叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 cos α= ; r r y ③比值________(x≠0)叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= . x
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(1)三角比的符号 各象限的三角比的符号如下图所示,三角比正值歌:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

(2)三角函数线 下图中有向线段 MP,OM,AT 分别表示____________,__________和__________.

例题精讲 探究点一角的概念 例 1(1)如果角 α 是第三象限角,那么-α,π-α,π+α 角的终边落在第几象限; (2)写出终边落在直线 y= 3x 上的角的集合; θ (3)若 θ=168° +k· 360°(k∈Z),求在[0° ,360° )内终边与 角的终边相同的角. 3

α 变式迁移 1 若 α 是第二象限的角,试分别确定 2α, 的终边所在位置. 2

探究点二弧长与扇形面积 例 2 已知一个扇形的圆心角是 α,0<α<2π,其所在圆的半径是 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

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探究点三三角函数的定义 例 3 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

变式迁移 2 已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a) (a≠0),求 sin α,cos α,tan α 的值.1.若-

π <α <0,则点 2

P(cos α ,sin α )位于第________象限.

二、同角三角比知识总结与回顾 1.同角三角比的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1 sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α, tan(α+2kπ)=tan α,k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α. (3)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan. (4)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α. ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? (5)sin?2-α?=cos α,cos?2-α?=sin α.(6)sin?2+α?=cos α ,cos?2+α?=-sin α. ? ? ? ? ? ? ? ? π 1 例题一:已知-2<x<0,sin x+cos x=5. (1)求 sin2x-cos2x 的值; tan x (2)求 的值. 2sin x+cos x

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题二: 的三个内角. 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC

例题三:已知 cos(π -α )=

3π ? 8 ? ,α ∈?π , ?,则 tan α =________. 2 ? 17 ?

例题四:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.

自测题:已知 f(α)=

sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+π? . -tan?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3π 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α- 2 )=5,求 f(α)的值.

三、两角和与差的正弦、余弦和正切知识回顾及例题精讲
1.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,
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cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)两角和与差的正弦 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (3)两角和与差的正切 tan α+tan β tan(α+β)= , 1-tan αtan β tan α-tan β tan(α-β)= . 1+tan αtan β π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+ ,k∈Z) 2 其变形为: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ),

? ? b , 其中?sin φ= a +b ? , ?tan φ=b a
cos φ=
2 2 2

a , a +b2 角 φ 称为辅助角.

例题一求值: (1)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )] 2sin280° ; (2)sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3· cos(θ+15° ).

π 3π ?π ? 3 ?3π ? 5 例题二:已知 0<β<4<α< 4 ,cos?4-α?=5,sin? 4 +β?=13,求 sin(α+β)的值. ? ? ? ?

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例题三:利用三角公式化简: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) . 5 ,则 sin4α -cos4α 的值为________ 5

自测题:已知 sin α =

四、二倍角与半角的正弦、余弦和正切知识回顾及例题精讲 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α kπ π π (3)tan 2α= (α≠ 2 +4且 α≠kπ+2). 1-tan2α 公式的逆向变换及有关变形 1 sin 2α (1)sin αcos α=2sin 2α?cos α=2sin α; 1-cos 2α 1+cos 2α 2 (2)降幂公式:sin2α= , cos α = ; 2 2 α α 升幂公式:1+cos α=2cos22,1-cos α=2sin22 ; 变形:1± sin 2α=sin2α+cos2α± 2sin αcos α=(sin α± cos α)2.

例题一:化简:(1)cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° ;

3-4cos 2α+cos 4α (2) 3+4cos 2α+cos 4α

例题二:在△ABC 中,若 cos 2B+3cos(A+C)+2=0,则 sin B 的值是________.

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题三:求证:
1+cos x sin 2x = . sin x ?sin x+cos x-1??sin x-cos x+1?

自测题:已知 sin(4+2α)· sin( -2α)= ,α∈( , ),求 2sin2α+tan α- -1 的值. 4 4 4 2 tan α

π

π

1

π π

1

四、家庭作业
2 1.在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B= 3,则 tan Atan B 的值为________. 3 π π 1 5 3 2.已知 0<α < , <β <π ,且 cos α = ,sin β = ,则 β -α 的值为________. 2 2 7 14 1 3 3.若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β =________. 5 5 π sin?α+ ? 4 5 4 .(1)已知 α 是第一象限角,且 cos α=13,求 的值. cos?2α+4π? π 3 π 3π π (2)已知 cos(α+ )= , ≤α< ,求 cos(2α+ )的值. 4 5 2 2 4

签字确认

学员

教师

班主任

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