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高一数学复数代数形式的四则运算2


3.2.2

复数代数形式的乘除运 算

我们规定 ,复数乘法法则如下 : 设z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di是任意两个复数 ,那么它 们的积 ?a ? bi??c ? di? ? ac ? bci ? adi ? bdi2 ? ?ac ? bd? ? ?ad ? bc ?i.

可以看出,两个复数相乘 ,类似于两个多项式相乘 , 2 只要在所得的结果中把 i 换成 ? 1 , 并且把实部与 虚部分别合并即可 . 两个复数的积是一个确 定的复数 . 探究 复数的乘法是否满足交 换律、结合律? 乘法对加法满足分配律 吗? 容易得到, 对于任意 z1, z2, z3 ? C,有z1 ? z2 ? z2 ? z1, ?z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ?, z1?z2 ? z3 ? ? z1z2 ? z1z3.

例2

计算?1 ? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i?.


例3

?1 ? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i? ? ?11 ? 2i??? 2 ? i? ? ?20 ? 15i. 2 计 算 : ?1??3 ? 4i??3 ? 4i?; ?2 ??1 ? i? .

分析 本例可以用复数乘法法 则计算, 也可以用乘法 公式?? ?计算.

???指的是与实数系中的乘 法公式相对应的公式 .

?1??3 ? 4i??3 ? 4i? ? 3 ? ?4i? ? 9 ? ?? 16 ? ? 25. 2 ?2 ??1 ? i? ? 1 ? 2i ? i2 ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i. 本例?1?中的两个复数 3 ? 4i,3 ? 4i称为共轭复数.

2 2

一般地,当两个复数的实部相等 , 虚部互为相反数 时, 这两个复数叫做互为 共 轭 复 数(conjugate co? mplex number ).虚部不等于0的两个共轭复数也 叫做共轭虚数.
思考 若z1, z 2 是共轭复数 ,那么 ?1?在复平面内 ,它们所对应的点有怎样 的位置关系? ?2?z1 ? z 2是一个怎样的数? 探究 类比实数的除法是乘法 的逆运算,我们规定复 数的除法是乘法的逆运 算.试探求复数除法的法则 .

复数除法的法则是: ac ? bd bc ? ad ?a ? bi? ? ?c ? di? ? 2 2 ? 2 2 i ?c ? di ? 0?. c ?d c ?d

由此可见 , 两个复数相除 ?除数不为 0? , 所得的商 是一个确定的复数 .

在进行复数除法运算时 , 通常先把 ?a ? bi? ? ?c ? di? a ? bi 写成 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的 c ? di 共轭复数 c ? di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的 .在作根式除法时 , 分子分母都乘以分母的 " 有理化因式 " , 从而使分母 " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".

例4


计算 ?1 ? 2i? ? ?3 ? 4i?.
1 ? 2i ?1 ? 2i? ? ?3 ? 4i? ? 3 ? 4i 3 ? 8 ? 6i ? 4i ? 2 2 3 ?4

? 1 ? 2i??3 ? 4i? ? ?3 ? 4i??3 ? 4i?

? 5 ? 10i 1 2 ? ? ? ? i. 25 5 5

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