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三角函数的图像及性质练习4


三角函数的图像及性质练习 4
一、填 空题 1. 已知函数 f(x)=Asinωx(ω>0)的最大值为 2, 最小正周期为 8, f(1)+f(2)+…+f(2010)的值等于_____ ___. 则 π π 3 2.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(其中 ω>0,|φ|< )的图象与 x 轴的两个相邻交点之间的距离为 ,且 f(0)= , 2 2 2 则 ω=________,φ=________. 1 3 3.函数 y= cosx- sinx 的图象的对称轴为________. 2 2 4.(2010· 连云港模拟)若 f(x)=asinx+3cosx 是偶函数,则实数 a=________. 5.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x) 的 单调递增区间是________. 6.给出下列命题: 2 π 3 π 5π ①函数 y=cos( x+ )是奇函数;②存在实数 α,使得 sinα+cosα= ;③x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条 3 2 4 8 4 π π 对称轴方程;④函数 y=sin(2x+ )的图象关于点( ,0)成中心对称图形. 3 12 其中正确的序号为________. 7.2sin2x+4cosx 的最大值为________. π π π π π 8.已知 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0),f( )=f( ),且 f(x)在区间( , )有最小值,无最大值,则 ω=________. 3 6 3 6 3
?sinx,sinx≤cosx ? 9.对于函数 f(x)=? ,给出下列四个命题: ? ?cosx,sinx>cosx

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图象关于 x= +2kπ(k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正 确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上). 二、解答题 π π 1 1 10.(2010· 湖北高考)已知函数 f(x)=cos( +x)cos( -x),g(x)= sin2x- . 3 3 2 4 (1)求函数 f(x )的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合.

11.(2010· 天津高考)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值; 2 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos2x0 的值. 5 4 2

π π 12.(文)已知函数 f(x) =sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(a 为常数)的最大值为 1. 6 6 (1)求常数 a 的值; (2)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合; (3)若 x∈[0,π],求函数 f(x)的值域.

答案: 2π π 1. 解析:由题意可知,A=2,ω= = , 8 4 π 所以 f(x)=2sin x, 4 所以 f(1)+f(2)+…+f(8)=0, 故 f(1)+f(2)+…+f(2010)=f(1)+f(2)= 2+2. 答案:2+ 2 2. 解析:∵函数 f(x)与 x 轴的两个相邻交点之间的距离等于其最小正周期的一半,且最小正周期 T 2π = , ω 1 2π π ∴ × = , 2 ω 2

∴ω=2. 又∵f(0)= 3 3 ,∴sinφ= . 2 2

π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 3 π 答案:2, 3 π π 3. 解析:原式=cos(x+ ),令 x+ =kπ(k∈Z), 3 3 π 则 x=kπ- ,k∈Z. 3 π 答案:x=kπ- ,k∈Z 3 4. 解析:因为 y=sinx 是奇函数,而 y=cosx 是偶函数, 所以 a=0. 答案:0 π 5. 解析:f(x)= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ )(ω>0). 6 ∵f(x)图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π, 2π 恰好是 f(x)的一个周期,∴ =π,ω=2. ω π f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π 故其单调增区间应满足 2kπ- ≤2x+ ≤ 2kπ+ (k∈Z).kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 6 2 3 6 π π 答案:[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 3 6 2 π 2 6. 解析:①y=cos( x+ )?y=-sin x 是奇函数; 3 2 3 π 3 ②由 sinα+cosα= 2sin(α+ )的最大值为 2,所以存在实数 α,使得 sinα+cosα= ; 4 4 π 5π 3π ③把 x= 代入 y=sin(2x+ )=sin =-1, 8 4 2 π 5π 所以 x= 是函数 y=sin(2 x+ )的一条对称轴; 8 4 π π π ④把 x= 代入 y=sin(2x+ )=sin =1, 12 3 2 π π 所以点( ,0)不是函数 y=sin(2x+ )的对称中心. 12 3 综上所述,只有①②③正确. 答案:①②③ 7. 解析:2sin2x+4cosx

=2-2cos2x+4cosx =-2(cos2x-2cosx+1-1)+2 =-2(cosx-1)2+4. 当 cosx=1 时,原式有最大值 4. 答案:4 π π 8. 解析:由 f( )=f( ), 6 3 π π 知 f(x)的图象关于 x= 对称.且在 x= 处有最小值, 4 4 π π π ∴ ω+ =2kπ- , 4 3 2 10 有 ω=8k- (k∈Z). 3 1 π π π π 又∵ T= > - = , 2 ω 3 6 6 ∴ω<6, 14 故 k=1,ω= . 3 14 答案: 3 9. 解析:画出函数 f(x)的图象,易知③④正确. 答案:③④ π π 10. 解:(1)∵f(x)=cos( +x)cos( -x) 3 3 1 3 1 3 =( cosx- sinx)· cosx+ sinx) ( 2 2 2 2 1 3 = cos2x- sin2x 4 4 = 1+cos2x 3-3cos2x - 8 8

1 1 = cos2x- , 2 4 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π. 2 1 1 (2)由(1)知 h(x)=f(x)-g(x)= cos2x- sin2x 2 2 2 π = cos(2x+ ), 2 4 π π 当 2x+ =2kπ(k∈Z)即 x=kπ- (k∈Z)时, 4 8 2 h(x)取得最大值 . 2

π h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为{x|x=kπ- ,k∈Z}. 8 11. 解:(1)由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)= 3sin2x+cos2x π =2sin(2x+ ). 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π 因为 f(x)=2sin(2x+ )在区间[0, ]上为增函数, 6 6 π π 在区间[ , ]上为减函数, 6 2 π π 又 f(0)=1,f( )=2,f( )=-1, 6 2 π 所以函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2, 2 最小值为-1. π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin(2x0+ ). 6 6 π 3 又因为 f(x0)= ,所以 sin(2x0+ )= . 5 6 5 π π π 2π 7π 由 x0∈[ , ],得 2x0+ ∈[ , ]. 4 2 6 3 6 π π 4 从而 c os(2x0+ )=- 1-sin2?2x0+ ?=- . 6 6 5 π π 所以 cos2x 0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π 3-4 3 =cos(2x0+ )cos +sin(2x0+ )sin = . 6 6 6 6 10 π 12. 解:(1)由题知,f(x)=2sin(x+ )+a. 6 ∵函数 f(x)的最大值为 1, ∴2+a=1,即 a=-1. π 1 (2)由(1)及 f(x)≥0 得,sin(x+ )≥ , 6 2 π π 5 ∴2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ π(k∈Z), 6 6 6 2 即 2kπ≤x≤2kπ+ π(k∈Z), 3 2 ∴x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ π,k∈Z} . 3 π (3)∵f(x)=2sin(x+ )-1,且 x∈[0,π], 6

π π 7π ∴ ≤x+ ≤ , 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(x+ )≤1, 2 6 ∴f(x)的值域为[-2,1].
??? ???? ? 2π (理)已知△ABC 中,AC=1,∠ABC= ,∠BAC=x,记 f(x)= A B · C . B 3

(1)求函数 f(x)的解析式及定义域; π 5 (2)设 g(x)=6m· f(x)+1,x∈(0, ),是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域为(1, ]?若存在,请求出 3 4 m 的值;若不存在,请说明理由. BC 1 AB = = , sinx 2π π sin sin? -x? 3 3 π sin? -x? 3 1 ∴BC= sinx,AB= , 2π 2π sin sin 3 3 解:(1)由正弦定理得:
??? ???? ? π 4 π 1 2 3 1 1 π 1 π B ∴f(x)= A B · C =AB· cos = sinx· -x)·= ( cosx- sinx)· BC· sin( sinx= sin(2x+ )- (0<x< ). 3 3 3 2 3 2 2 3 6 6 3

π π (2)g(x)=6m· f(x)+1=2msin(2x+ )-m+1(0<x< ),假设存在正实数 m 符合题意. 6 3 π ∵x∈(0, ), 3 π π 5π ∴ <2x+ < , 6 6 6 π 1 则 sin(2x+ )∈( ,1]. 6 2 ∵m>0,


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