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第6讲[1].等差数列与等比数列.理科.教师版


好学者智,善思者康

400-810-2680

第 6 讲. 等差数列与等比数列

高考要求
要求层次 数列的概念和表示 法 等差数列的概念 等差数列与 等比数列 等比数列的概念 等差数列的通项公 式与前 n 项和公式 等比数列的通项公 式与前 n 项和公式 C B B C B 重难点 ⑴数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、 图象、 通项公式) . ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. ⑵等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公 式. ③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比 关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、 等比数列与指数函数的关 系.

例题精讲
板块一:等差数列与等比数列的基本性质

(一) 知识内容
等差数列: 定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 通项公式: an ? a1 ? (n ? 1) d ?am ? (n ? m) d ; n( a ?an ) n (n ? 1) 前 n 项和公式: S n ? 1 ?na1 ? d. 2 2 等差数列 ? an ? 的性质(其中公差为 d ) :
a ? an ⑴ am ?an ? (m ? n) d , d ? m ; m ?n ⑵若 p ? q? m? n ,则有 a p ?aq ?am ?an ;若 2m ?p ? q ,则有 2a m ? ap ? a q ( p , q , m , n ?N?) ;

⑶在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 a n , an ? m , an? 2 m , ?? 为等差数列,公差
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为 md ; ⑷等差数列的 n 项和也构成一个等差数列,即 Sn , S2 n ?Sn , S3n ?S2 n , ?? 为等差数列,公差为 n2 d ; ⑸ 若 等 差 数 列 的 项 数 为 2 n ,则 有 S偶 ?S奇 ?nd ,
S2n ? S奇 ?S偶 ,且中间项 an?1 ?S奇 ? S偶 , 1 ?
S奇 a ? n ; 若 等 差 数 列 的 项 数 为 奇 数 2n ? 1 ,则 S偶 an? 1

S奇 n ? 1 ? ; S偶 n ? 1

? (2n ? ⑹? an ? 为等差数列, Sn 为前 n 项和, 则 S 2n ? (2n ? 1)an ; bn ? 为等差数列, S n? 为前 n 项和, S2 n? 1)bn ; ? 1 ? 1 ?



an S2 n? ? 1 . bn S ? 2 n? 1

等比数列: 定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q( q ? 0) 表示.等比数列中的项不为 0 . 通项公式: an ? a1 q
n? 1

?am q

n? m

na1 (q ? 1) ? ? n ;前 n 项和公式: S n ? . ? a1(1 ? q ) a1 ? a nq ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?

等比数列 {an } 的性质(其中公比为 q ) : ⑴ an ? am qn?m , q ? n? m
an ; am

2 ⑵若 p ? q? m? n ,则有 a p ? aq ?am ? an ;若 2m ?p ? q ,则有 am ?a p ? aq ;

⑶ 等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?m , an ?2m , ?? 为等比数列,公比为 q m .

⑷ 等比数列的 n 项和也构成一个等比数列,即 Sn , S2 n ?Sn , S3n ?S2 n , ?? 为等比数列,公比为 qn .

(二)典例分析:
【例1】 (2009 辽宁 14) 等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S 5 ? 5S 3 ? 5 ,则 a4 ? .
1 1 【解析】 ; 6S 5 ? 5S 3 ? 5? 6(5a1 ? 10d ) ? 5(3a1 ? 3d ) ? 15a1 ? 45d ? 15a 4 ,解得 a4 ? . 3 3

【例2】 (2008 重庆 14) 设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和, a12 ? ? 8 , S9 ? ? 9 ,则 S16 ?
a ? a 【解析】 ? 72 ; S 9 ? 9a 5 ?? 9 ? a5 ? ? 1 , S16 ? 5 12 ? 16 ? ? 72 . 2



【例3】 (2009 新课标安徽 5 ) 已知 ? an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a 2 ? a4 ? a6 ? 99 ,以 S n 表示 ? a n? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是( A. 21 ) B. 20 C. 19 D . 18

【解析】 B; 3d ? 99 ? 105 ? ? 6 ,故 d ? ? 2 . 3a3 ? 105 ,故 a3 ? 35 , 从而 a3 ? 17d ? a20 ? 1? 0 ?a21 ? a3 ? 18d ? ? 1 ,得 S 20 最大.
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【例4】 (2009 海南宁夏 8 )
2 等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a m ? am? am ? 0 , S 2m ? 38 ,则 m ? ( 1? 1 ? 1 ?

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A. 38

B. 20
2 m

C. 10

D. 9

【解析】 C; am ? am ? 2am ? a ,故 am ?0 或 am ? 2 .又 S2 m ? (2 m ? 1) am ? 38 , 1 ? 1 ? 1 ? 故 am ?2 且 2 m ? 1? 19 ,从而 m ? 10 . 【例5】 设数列 ? an ? 是等差数列,且 a2 ?? 8 , a15 ? 5 , Sn 是数列 ? an ? 的前 n 项和,则( A. S10 ?S11 B . S10 ? S11 C. S 9 ?S 10 D. S9 ? S10
a ? a2 【解析】 C; d ? 15 ? 1 , a9 ? a2 ? 7d ? ? 1 , a10 ? 0 , a11 ? 1? 0 ,故 S9 ?S10 为最小值. 15 ? 2



【例6】 (2009 上海 12)
? π π? 已知函数 f ?? x ? sin x ? tan x ,项数为 27 的等差数列 ? an? 满足 a n ? ? , ? ,且公差 d ? 0 .若 ? ? 2 2?

【解析】 14 ; a1 ? a 27 ? a2 ? a 26 ? ?? 2a14 ,从而 f ( a1 ?a27 ) ?f ( a2 ?a26 ) ? ? ? f (2 a14 ) ,
? π π? 由 f (x ) ( x ? ? , ? )为奇函数且为增函数知, x1 ? x2 的符号与 f ( x1 ?x2 ) 的符号相同,且与 ? ? 2 2?

f? a1 ? ?f ? a2 ? ? ? ?f ? a27 ? ? 0 ,则当 k ?

时, f ? ak ? ? 0.

大于零,矛盾;若 f (a14 ) ?0 ,同理可推出矛盾.故 f ( a14 ) ?0 , k ? 14 .

f (x1 ) ?f (x 2 ) 的符号相同.从而知若 f ( a14 ) ? 0 ,则 f ( a1) ?f ( a27 ) ,f ( a 2 ) ?f ( a26 ) , ? ,f (2 a14 ) 都

【例7】 (2008 广东五校高三联考)

已知数列 ? an ? 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , a1 ? b1 ,
a1 , b1 ?N?, n ?N?,则数列 {abn } 前 10 项的和等于(



A. 55 B. 70 C. 85 D. 100 【解析】 C;abi ? a1 ? (bi ? 1)d ? a1 ? bi ? 1 ?a1 ? b1 ? (i ? 1) ? 1? 3? i, 于是 ab1 ?4 ,ab2 ? 5 ,{abn } 是首项为 4 ,
10 ? 9 公差为 1 的等差数列.从而其前 10 项的和为 10 ? 4? ? 1? 40 ?45 ? 85 . 2

【例8】 ⑴(2009 广东 4 ) 已知等比数列 ? an ?满 足 an ? 0 ,n? 1,2 , ? , 且 a5 ? a2 n? 22 n ? n ≥ 3? , 则 当 n ≥1 时 , 5 ? A. n ? 2n ? 1?
log 2 a1 ? log 2 a3 ? ?? log 2 a2n? ( 1 ?

) C. n 2 D. ? n? 1?
2

B. ? n? 1?
2

⑵( 2009 江苏 14) 设? an ? 是公比为 q 的等比数列, q ? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1,2 , ?) ,若数列 ? bn ? 有连续四项在集 合? ? 53 , ? 23, 19 , 37,82? 中,则 6q ? .
2n

【解析】 ⑴C;由 {an } 是等比数列知 ai a2n ? a5 a2n ? 2 ,1 ≤ i ≤ 2n ? 1, i ? 5 ?
2 于是 2(log 2 a1 ? log 2 a3 ? ?? log 2 a 2 n? log 2 (a1 ? a3 ? ?? a2 n? a 2 n? 1) ? 3 ? 1)

⑵? 9 ;还原成数列 {an } 中的项得: {? 54, ? 24 , 18, 36, 81} , q ? 1, 故等比数列 {a n } 中各项的绝对值呈递增 ,将这五个数按绝对值从小到大的顺序排列得 :
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于是 log 2 a1 ? log 2 a 3 ? ?? log 2 a 2 n? n2 . 1 ?

?log2 (22n ? 22n ? ?? 22n ) ?n ? 2n ,

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3 {18 , ? 24 , 36 , ? 54 , 81} ,易知18 不是 {a n } 中的项,且 q ? ? ,从而 6 q ? ? 9. 2

【例9】 从 1 到169 的自然数中任意取出 3 个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有_____种. 【解析】 91 ;若取出的 3 个数构成递增的等比数列 a , aq , aq2 ,则有 1 ≤ a ? aq ? aq2 ≤ 169 . 由此有 2 ≤ q ≤ 13 .当 q 固定时,使 3 个数 a , aq , aq2 为整数的 a 的个数记作 N (q ) . 169 由 aq 2 ≤ 169 知, N ( q) 应为 2 的整数部分. q
169? 169 ? ? ? N (2) ? ?42 ; N (3) ? ? 18 , N (4) ? 10 , N (5) ? 6 , N (6) ? 4, N (7) ? 3, ? ? ? ?4 ? ?9 ? ? N (8) ?2 , N (9) ? 2, N (10) ?N (11) ? N (12) ?N (13) ? 1,

因此取法共有 N (2) ? N (3) ? ? ?N (13) ? 91 .

【例10 】 (2008 新课标山东 19) 将数列 ? an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1 a2 a4 a3 a5 a6

a 7 a8 a9 a10 …… 记表中的第一列数 a1 , a2 , a4 , a7 , ? 构成的数列为 ? bn ? , b1 ?a1 ? 1 . Sn 为数列 ? bn? 的前 n 项和,

且满足

2bn ? 1(n ≥ 2) . bn Sn ?Sn2

?1 ? ⑴证明数列 ? ? 成等差数列,并求数列 ? bn? 的通项公式; Sn ? ?

⑵上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正 4 数.当 a81 ? ? 时,求上表中第 k (k ≥ 3) 行所有项的和. 91 2bn 【解析】 ⑴由已知,当 n ≥ 2 时, 1, 2 ? bn S n ? Sn 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ?bn ,所以 所以
1 1 1 ? ? , S n S n? 2 1 2(Sn ? Sn ? 2(Sn ? Sn ? 1) 1) 1 ,即 ? 1, 2 ? ( Sn ? Sn ? Sn ? Sn ? 1 ) Sn ? 1 Sn

? 1 ? 1 又 S1 ? b1 ?a1 ? 1 .所以数列 ? ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列. Sn ? 2 ? 1 1 n? 1 2 由上可知 ? 1 ? (n ? 1) ? ,即 S n ? . Sn 2 2 n? 1

2 2 2 所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? S n? ? ? ? . 1 ? n? 1 n n( n ? 1) ? 1 n? 1 ? 因此 bn ? 2 ; ? ? n≥2 ? 1) ? n( n ?

⑵设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ?0 .
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12 ? 13 因为 1 ?2 ? ?? 12 ? ? 78 , 2 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ? an ? 的前 78 项,故 a81 在表中第13 行第三列, 4 2 因此 a81 ? b13 ? q2 ? ? .又 b13 ?? ,所以 q ?2 . 91 13 ? 14 记表中第 k (k ≥ 3) 行所有项的和为 S ,
b (1 ? qk ) 2 (1 ?2k ) 2 则S? k ?? ? ? (1 ? 2k )(k ≥ 3) . 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

板块二:等差数列与等比数列综合

典例分析:
【例11 】 (2009 山东 20) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ?N ?,点 ( n , Sn ) 均在函数 y ?bx ?r ( b ? 0且
b? 1 , b, r 均为常数)的图象上,

n? 1 ⑴求 r 的值;⑵ 当 b ?2 时,记 bn ? ( n ?N?) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4 an

⑶在 ⑵的条件下,记 cn ? 2(log 2 an ? 1)( n ?N ? ), 证明:对任意的 n ?N ?,不等式
c1 ? 1 c2 ? 1 c ? 1 ? ? ? ?n ? n? 1 成立. c1 c2 cn

【解析】 ⑴因为对任意的 n ?N ?, 点 (n , Sn ) 均在函数 y ? bx ? r( b ?0 且 b ? 1, b, r 均为常数) 的图象上. 所 以得 Sn ? bn ? r, 当 n? 1 时, a1 ?S1 ? b ?r .
1 1 1 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ?Sn? bn ?r ? (bn? ?r ) ? bn ? bn? ? (b ? 1)bn? , 1 ?

又因为 {a n } 为等比数列,所以 r ? ? 1 ,公比为 b ; n? 1 n? 1 n? 1 1 1 ⑵当 b ? 2 时, a n ?(b ? 1)b n? ?2n ? , bn ? ? ? n? , 1 4a n 4 ? 2 n? 2 1
2 3 4 n? 1 1 2 3 4 n n? 1 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n? , Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n? ? n ?2 . 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 相减得 1 1 ? (1 ? n? ) 1 1 2 1 1 1 1 n? 1 1 23 n? 1 3 1 n? 1 2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n? ? n?2 ? ? n ? 1 ? n? 2 ? ? 1 ? n? 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n? 1 3 n? 3 所以 Tn ? ? n ? n? 1 ? ? n? 1 . 2 2 2 2 2 n? 1 ⑶由 ⑴⑵ 知: a n ?2 ,因此 c n ? 2n (n ?N ?) 3 5 7 2n ? 1 所证不等式为 ? ? ? ? ? ? ? ? n? 1 2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 事实上, ? ? ? ? ? ? ? 2 4 6 2n 2? 4 4? 6 2n ?(2n ? 2) 2? 4 4? 6 6? 8 2n (2n ? 2) 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 2n 2 4 6 2n
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? 2 ? 2n ? 2? n? 1 2
c1 ? 1 c2 ? 1 c ? 1 ? ? ? ? ? ?n ? n? 1 成立. c1 c2 cn

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故对一切 n ?N?,不等式

【例12 】 (2009 湖北 19)
1? ? 已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? ? an ? 2 ( n 为正整数) . ?? ? 2? ?
n? 1 ⑵令 c n ? a n , Tn ? c1 ? c2 ? ?? c n ,求 Tn . n 5n ⑶试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. 2n ? 1
n? 1

⑴令 bn ? 2 n an ,求证数列 ? bn? 是等差数列,并求数列 ? an ? 的通项公式;

1? 1 ? 【解析】 ⑴在 Sn ? ? an ? ? 2 中,令 n ? 1 ,可得 S1 ?? a1 ? 1? 2? a1 ,即 a1 ? . ? ? 2? 2 ? 1? 1? ? ? 当 n ≥ 2 时, Sn ? ? an ? ? 2 .∴ a n ? Sn ? S n? ? an ? a n? , 1? 1? 1 ? 1 ? ? ? ? 2? 2? ? ? ? 1? ? n n? 1 ∴ 2an ? an ? 1. 1 ? ? ? ,即 2 an ?2 an? 1 ? 2 ??
n? 1 n? 2 n? 1

n? 1

∵ bn ?2n an ,∴ bn ? bn? 1 ,即当 n ≥ 2 时, bn ? bn ? 1. 1 ? 1 ?
n 于是 bn ? 1? ? n? 1? ?? 1 n? 2n an , ∴ an ? n . 2

又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴ 数列 ? bn ? 是首项和公差均为1 的等差数列.

n? 1 1? ? ⑵由 ⑴得 c n ? an ? ? n? 1? ? ?,所以 n 2? ? 1 1? 1? 1? ? ? ? Tn ? 2? ? 3? 4? ?? ? n? 1? ? ? ?? ? ?? ?? 2 2 2 2? ?? ?? ? 1 1? 1? 1? 1? ? ? ? ? Tn ? 2? 3? ?? n? ? n? 1? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? , 2 2? 2? 2? 2? ? ? ? ?
2 3 n n? 1 2 3 n

n

① ②

由① ? ②得
1 1? ? 1? 1? 1? ? ? ? Tn ? 1? ?? ? n? 1? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? 2 2? ? 2? 2? 2? ? ? ?
2 3 n n? 1

? n? 3? 2n ? 2n ? 1? ? 5n n? 3 5n ⑶ Tn ? ? 3? n ? ? . n 2n ? 1 2 2n ? 1 2 ? 2n ? 1?
5n 的大小关系等价于比较 2n 与 2 n ? 1 的大小. 2n ? 1 由 2? 2? 1? 1 ; 22 ? 2? 2? 1; 23 ? 2? 3? 1 ; 24 ? 2? 4? 1 ; 25 ? 2? 5? 1 ;… , n 可猜想当 n ≥ 3 时, 2 ? 2n ? 1 .证明如下: 证法 1: ⑴当 n ? 3 时,由上验算显然成立.

n? 1 1? ? 1? ? 1? ? ? ? n? 1 4? 2? ?? ? ? ? 1 ? 3 n? 3 ? ? 1? ? ? n? 1? ? ? ? ? n? 1 . 1 2 2 2 ?? 1? 2 n? 3 ∴ Tn ? 3? n . 2

于是确定 Tn 与

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⑵ 假设当 n ? k? k ≥3 ? 时,猜想成立,即 2 k ? 2k ? 1.

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1 当 n ?k ? 1 时, 2k? ?2 ? 2k ? 2? 2k ? 1? ?4k ? 2 ?2? k? 1? ? 1? ? 2k ? 1? ? 2? k? 1? ? 1,

所以,当 n ? k? 1 时,猜想也成立. 综合⑴ 、⑵ 可知,对一切 n ≥ 3 的正整数,都有 2 n ? 2n ? 1. 证法 2:当 n ≥ 3 时,
2 n? 1 n n? 1 n 2n ? 1? 1?? C0 C1 Cn ? ?? Cn ? Cn ≥ C0 C1 Cn ? Cn ? 2n ? 2? 2n ? 1. ? n ? n ? n ? n ? n

5n 5n 综上所述,当 n ? 1,2 时, Tn ? ;当 n ≥ 3 时, Tn ? . 2n ? 1 2n ? 1

【例13 】 (2007 新课标江苏 20) 已知 {an } 是等差数列,{bn } 是公比为 q 的等比数列,a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,记 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和, ⑴若 bk ? am ( m , k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: Sk ? (m ? 1) a1 ; 1 ? ⑵若 b3 ? ai (i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中每一项都是数列 {an } 中的项 . ⑶是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值, 并加以说明;若不存在,请说明理由. 【解析】 设 {an } 的公差为 d ,由 a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,知 d ? 0, q? 1,d ? a1 ? q? 1? ( a1 ? 0)
1 ⑴因为 bk ?am ,所以 a1q k ? ? a1 ? m? 1? a1 ? q? 1? , ? 1 q k? ? 1? m? 1? q? 1? ?2 ? m? m? 1? q, ? ? ?

所以 S k? 1

1 a1 ? 1? qk ? m? 1? m? 1? q? ??a1 ? ? ? ? m? 1? a1 ; ? 1? q 1? q

⑵ b3 ? a1 q 2 , ai ?a1 ? i? 1? a1 ? q? 1? ,由 b3 ? ai , ? 所以 q 2 ? 1? i? 1? q? 1? , q2 ? i? 1? q? i? 2? ?0 ,解得 q ? 1或 q ? i? 2, ? ? ? ? 但 q? 1 ,所以 q ? i? 2 ,因为 i 是正整数,所以 i ? 2 是整数,即 q 是整数,
1 设数列 {bn } 中任意一项为 bn ? a1q n? n ?N ?? , ?

设数列 {a n } 中的某一项 am ?a1 ? m? 1? a1 ? q? 1? m ?N ?? , ? ? 现在只要证明存在正整数 m ,使得 bn ?a m ,
1 即在方程 a1q n? ?a1 ? m? 1? a1 ? q? 1? 中 m 有正整数解即可, ? 1 q n? ? 1 1 2 2 q n? ? 1? m? 1? q? 1? , m? 1? ? 1? q? q2 ? ? qn ? ,所以 m ? 2? q? q2 ? ? qn ? , ? ? q? 1

若i ? 1 ,则 q ?? 1 ,那么 b2 n? b1 ? a1 , b2 n ? b2 ?a2 , 1 ? 当 i ≥ 3 时,因为 a1 ?b1 , a2 ?b2 ,只要考虑 n ≥ 3 的情况, 因为 b3 ? ai ,所以 i ≥ 3 ,因此 q 是正整数,所以 m 是正整数, 结论成立.
1 2 因此数列 {bn} 中任意一项为 bn ? a1q n? n ?N ?? 与数列 {an } 的第 2 ? q ?q2 ? ? qn ? 项相等,从而 ?

⑶设数列 {bn} 中有三项 bm , bn , bp ? m? n ?p , m, n, p ?N ?? 成等差数列,
1 1 则有 2a1q n?1 ? a1q m? ? a1q p ? .

1 设 n? m ?x , p ?n ?y ? x, y ?N ?? ,得 2 ? x ? q y ,令 x ? 1, y? 2 ,则 q 3 ? 2q ? 1? 0, q

q? 1? q2 ? q? 1? ? 0 ,因为 q ? 1 ,所以 q2 ? q? 1? 0 ,所以 q ? ? ?
q? 5? 1 使得 {bn } 中有三项 bm , bm?1 , bm? m ?N ?? 成等差数列. 3? 2

5? 1 (舍去负值 ) ,即存在 2

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【例14 】 (2008 新课标江苏) 设 a1 , a2 , ?,an 是各项均不为零的 n (n ≥ 4) 项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去某一项 后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: a ⑴当 n ? 4 时,求 1 的数值;⑵ 求 n 的所有可能值. d ⑶求证:对于一个给定的正整数 n ( n ≥ 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列
b1 ,b2 , ?? , bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

【解析】 首先证明一个基本事实, 一个等差数列中,若有连续三项成等比数列,则这个数列的公差 d0 ? 0. 事实上,设这个数列的连续三项 a ?d0 , a , a ?d0 , 则 a 2 ?(a ? d0 )(a ?d0 ) ;由此得 d 0 ?0 . ⑴当 n ? 4 时,由于数列公差 d ? 0 ,故由“ 基本事实” 推知,删去的项只可能为 a2 或 a3 . 若删去 a2 ,则有 a32 ? a1 ? a4 , 即 ? a1 ?2d ?? a1 ? ? a1 ? 3d ? ,
2

化简得 a1d ? 4d 2 ? 0 ,因为 d ?0 ,所以
2

a1 ? ? 4 ; d a1 ? 1. d

若删去 a3 ,则有 a2 a1 ? a4 ,即 ? a1 ? d ??a1 ? a1 ? 3d ? ,故得 ? 2 ? 综上

a1 ? 1或? 4. d ⑵若 n ≥ 6 ,则从满足题设的数列 a1 , a 2 , ? ? ? , an 中删去一项后得到的数列,必有原数列中的连

续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“ 基本事实” 知,数列 a1 , a2 , ? ? ? ,a n 的 公差必为 0 , 这与题设矛盾. 所以满足题设的数列项数 n ≤ 5 , 又因题设 n ≥ 4 , 故n ? 4或 n? 5. 当 n? 4 时,由① 中的讨论知存在满足题设的数列. 当 n? 5 时,若存在满足题设的数列 a1 ,a 2 , a3 , a 4 ,a5 ,则由“ 基本事实” 知,删去的项只能是
a3 ,从而 a1 ,a2 ,a4 ,a5 成等比数列,故 a1 ? a5 ? a2 ? a 4 ,即 a1 ? (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )( a1 ? 3d ) ,

化简得: 3d 2 ?0 ,故 d ? 0 ,矛盾.因此不存在满足题设的项数为 5 的等差数列. 综上可知, n 只能为 4 . ⑶法一: 假设对于某个正整数 n , 存在一个公差为 d ? 的 n 项等差数列 b1 , b1 ? d? , b1 ? 2d ? ,… , b1 ? (n ? 1)d ? (b1d ? ?0) ,其中的三项 b1 ? m1 d ? ,b1 ? m2 d ? , b1 ? m3 d ? (0 ≤ m1 ?m2 ?m3 ≤ n ? 1) 成等 比数列,则有 (b1 ? m2 d ? )2 ? (b1 ? m1d ? )(b1 ? m3 d ? ),
2 化简得 ( m1 ? m3 ? 2 m2 )b1d ? ? ( m2 ? m1m3 )( d ? )2 2 2

(? )

由 b1d ? ≠ 0 ,知 m1 ?m3 ? 2 m2 与 m ? m1 m3 或同时为 0 ,或同时均不为 0 . 若 m1 ?m3 ? 2 m2 ? 0 ,且 m22 ? m1 m3 ? 0 ,则可得 ( m1 ? m3 ) 2 ? 0 , m1 ? m3 ,从而 m1 ? m2 ?m3 ,与 假设矛盾. 因此 m1 ? m3 ? 2m2 与 m2 m1 m3 均不为 0 ,则由( ? )式得 2 ?
b1 m2 ? m1m3 ? 2 . ? d m1 ? m3 ? 2m2
b1 也是一个有理数. d?

因为 m1 、 m 2 、 m3 均为非负整数,所以上式右边为有理数,则 于是,对于任意的正整数 n ≥ 4 ,只要取

例如 ,若取 b1 ? 1, d? ? 2 ,那么等差数列 1 , 1 ? 2 , 1 ?2 2 ,? ,1 ? (n ? 1) 2 ( n ≥ 4) 满 足要求. 法二:
第 6 讲.等差数列与等比数列.理科 page 8 of 13

b1 为无理数,就可使数列满足题设要求, d? 则相应的数列 b1 ,b2 , ? ,bn 就是满足要求的数列.

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不妨设 bt ,bt ? sd ,bt ? kd ( 1 ≤ t ≤ n ? 2 ,1 ≤ s ? k ≤n ? t, 且 t ,s ,k ?N ?) 为等差数列 ? bn? 中的任意三项,若要使这三项不成等比数列,则要使 bt (bt ? kd ) ? (bt ? sd ) 2 不成立,
s2 d s 2d 化简得 k ? ? 2 s ,即要使此式不成立,则只要使 k 不为正整数,即 ? 2 s 为小数或为无理 bt bt

数. 如取 d ? 1 , bt ?n2 ,则 s 2 ? n2 ,
s2 s2 s 2d d ?(0 , 1) , d 不是正整数,即可使 k ? ? 2s 不成立, bt bt bt

故结论成立. 事实上,等差数列 n 2 , n 2 ? 1 , n2 ? 2 , … , n2 ? n? 1 就是满足题设要求的一个数列.

【例15 】 (2009 重庆 21) 设 m 个不全相等的正数 a1 , a 2 ,… , am (m ≥ 7) 依次围成一个圆圈. ⑴若 m ? 2009 ,且 a1 , a2 ,… , a1005 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a 2009 , a2008 ,… , a1006 是公 比为 q ? d 的 等 比 数 列; 数 列 a1 , a 2 , … , am 的 前 n 项 和 S n (n ≤ m) 满 足 : S3 ? 15 , ⑵若每个数 an (n ≤ m ) 是其左右相邻两数平方的等比中项,求证 a1a 2 ?am ? 1.
2 2 ⑶在 ⑵的条件下,求证: a1 ? ?? a6 ? a7 ? ?? am ? m.

S 2009 ?S 2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ≤ m ) ;

【解析】 ⑴由 a1 , a2009 , a2008 ,… , a1006 是公比为 d 的等比数列, 从而 a2009 ? a1 d , a2008 ?a1 d 2 , S 2009 ? S 2007 ? 12a1 ,得 a2008 ? a2009 ? 12a1 , 故 a1 d 2 ?a1 d ? 12 a1 ,即 d 2 ? d? 12 ,解得 d ? 3 或 d ?? 4 (负值舍去) . 又 S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 ,解得 a1 ? 2. 而当 n ≤ 1005 时, an ? a1 ? (n ? 1)d ?2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1.
( n? 1) 得 an ? a1 d 2009 ? ?a1 d 2010 ?n (1006 ≤ n ≤ 2009) .

而当 1006 ≤ n ≤ 2009 时,则 a1 , a2009 , a2008 , ?, a1006 是公比为 d 的等比数列,
? 3n ? 1 ,n ≤1005 , 因此 an ? ? 2010?n 2? 3 , 1006 ≤ n ≤ 2009. ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⑵由题意 a n ? a n? n? m ) , am ?am am a2 , 1a n ? 1 (1 ? ? 1a1 , a1 ?

an ? an ? n ?m) ① ? 1an ? 1 (1 ? ? 得? am ?am ? ② 1a1 ? a1 ? am a2 ③ ? a a 1 a 1 a a 由 ①得 a3 ? 2 , a4 ? 3 ? , a5 ? 4 ? , a6 ? 5 ? 1 . a1 a2 a1 a3 a2 a4 a2



故 a1 a2 ? am ? 1. a a 1 1 1 1 ⑶ ar ?3 ? r ?2 ? r ? ? ? (1 ? r≤m? 3) ,故有 a r ?6 ? ? a r (1 ? r ≤m ? 6) . ar ?1 ar ar ? ar ar ? 1 3 下用反证法证明: m ? 6k . 若不然,设 m ? 6k ?p ,其中 1 ≤ p ≤ 5 .
a a 若取 p ? 1 ,即 m ? 6k ? 1 ,则由⑤得 a m ? a6 k ? a1 ,而由③ 得 am ? 1 ,故 a1 ? 1 1 ? a2 a2 am 得 a2 ? 1 ,由 ②得 am ? ? 1 ,从而 a6 ? a6 k ?a m? 1 ,而 1 ? 1 ? a1

由 ①, ②, ③得 a1 a2 ? am ? ( a1 a2 ? am ) 2 ,



第 6 讲.等差数列与等比数列.理科

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a a6 ? 1 ,故 a1 ? a2 ? 1 ,由④ 及⑤ 可推得 an ? 1 (1≤ n ≤ m) 与题设矛盾, a2

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同理,若 p ?2 ,3 ,4 ,5 均可推得 an ? 1 由均值不等式得

(1 ≤ n ≤ m) 与题设矛盾,因此 m ? 6 k 为 6 的倍数.

? 1?? a 2 a1 ? 1?? a1 ?a 2 ? ?? a6 ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? ≥6. ? ? ? ? ? a1 a 2 ? ? a1 ? ? a 2 ? ? 又上面三组数内必有一组不相等(否则 a1 ?a2 ? a3 ? 1 ,从而 a4 ? a5 ? ?? am ? 1 与题设矛盾) ,

故等号不成立,从而 a1 ?a2 ? ? ?a6 ? 6.

2 2 又m? 6 k ,由 ④和 ⑤得 a1 ? ?? a6 ?a7 ? ? ?am ? 6? 6( k ? 1) ?6k ? m.

【例16 】 (2009 上海 23) 已知 ? an ? 是公差为 d 的等差数列, ? bn ? 是公比为 q 的等比数列. ⑴若 a n ? 3n ? 1 ,是否存在 m 、 k ?N * ,有 a m ? a m? a k ?说明理由; 1 ?
a n? 1 ? bn ,并说明理由. an ⑶若 a1 ? 5, d? 4, b1 ? q? 3, 试确定所有的 p , 使数列 ? an ? 中存在某个连续 p 项的和是数列 ? bn?

⑵找出所有数列 ? an ? 和? bn ? ,使对一切 n ?N * ,

中的一项,请证明. 【解析】 ⑴由 am ?am? ak ,得 6 m ? 5? 3k ? 1, 1 ? 4 整理后,可得 k ? 2m ? , ∵ m 、 k ?N * ,∴ k ? 2m 为整数, 3 ∴ 不存在 m 、 k ?N * ,使等式成立. a a1 ? nd 1 ⑵法一:若 n?1 ? bn ,即 ? b1q n? , ① an a1 ? n? 1? d ?
1 ( ⅰ)若 d ? 0 ,则 1 ? b1q n? ? bn .

当? an ? 为非零常数列, ? bn? 为恒等于 1 的常数列,满足要求. ( ⅱ) 若d ? 0, ①式等号左边取极限得 lim
n??

a1 ?nd ? 1, ① 式等号右边的极限只有当 q ? 1 时, a1 ? n? 1? d ?

才能等于 1 .此时等号左边是常数, ∴ d ? 0 ,矛盾. 综上所述,只有当 ? an ? 为非零常数列, ? bn ? 为恒等于1 的常数列,满足要求. 法二:设 an ? nd ? c ,若 则
an? 1 ? bn ,且 ? bn? 为等比数列 an

a n?2 a n? / 1? q ,对 n ?N * 都成立,即 an an ?2 ?qan2?1 . an?1 an
2

∴? dn ?c ? ? dn ? 2d ? c? ?q ? dn ? d? c ?对 n ? N * 都成立, ( ⅰ)若 d ? 0 ,则 an ? c? 0 , ∴ bn ? 1 , n ?N * ( ⅱ) 若d? 0, 比较等式两边 n2 项的系数得 q ? 1, ∴ bn ? m(常数) 即 矛盾. 综上所述,有 an ? c? 0 , bn ? 1 ,使一切 n ?N * , ⑶ an ? 4n ? 1 , bn ? 3n , n ?N * 设 am ? am ? ?? am ?p ?bk ? 3k , p 、 k ?N * , m ?N 1 ? 2 ?
4? m? 1? ? 1?4? m ?p ? ? 1 p? 3k , 2 an ? 1 ? bn . an
dn ? d? c ? m, 则d? 0, dn ? c

第 6 讲.等差数列与等比数列.理科

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3k ∴ 4m ? 2p ? 3 ? ,∵ p 、 k ? N* ,∴ p ? 3 s , s ?N . p

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取k? 3s ? 2 , 4m ? 32 s?2 ? 2? 3s ? 3? ? 4? 1? ? 2? ? 4? 1?? 3? 0,
2s ? 2 s

由二项展开式可得正整数 M1 、 M 2 ,使得 ? 4? 1? ?4 M1 ? 1,
2s ? 2

∴ 4m ? 4? M1 ? 2M 2 ? ? (? 1)s ? 1? 2 ,∴ 存在整数 m 满足要求. ? 故当且仅当 p ? 3s , s ? N 时,命题成立. 说明:第⑶ 题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) k 若 p 为偶数,则 am ? am ? ?? am ? 1? 2 ? p 为偶数,但 3 为奇数 故此等式不成立,所以, p 一定为奇数. 当p? 1 时,则 am ? bk ,即 4m ? 5? 3k , 1 ?
1 k? 1 而 3k ? 4? 1? ? C0 4k ? C1 4k ? ?? ? ?? Ck ?? 4 ? ? 1? ? Ck (? 1) k ? ?1? k ? k ? k ? k k? 1

2? ? 4? 1?? 8M 2 ? ? ? 1?2 ,
s s

? 4M ? ? 1?, M ?Z ?
k

当 k 为偶数时,存在 m ,使 4m ? 5? 3k 成立. 当p? 3 时,则 am ? am ? am? bk ,即 3am ?2 ?bk , 1? 2 ? 3 ?

1 1 也即 3? 4m ? 9? ?3k ,所以 4m ? 9 ?3k ? , 4? m? 1? ? 5? 3k ?

由已证可知,当 k ? 1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m , 4m ?9 ?3k 成立. 当p? 5 时,则 am ? am ? ?? am ? bk ,即 5am ? bk . 1? 2 ? 5 ? 3 ? 故不是所有奇数都成立.

也即 5 ? 4m ? 13? ? 3k ,而 3k 不是 5 的倍数,所以,当 p ? 5 时,所要求的 m 不存在.

课后作业
习题1. (2009 全国Ⅱ)
设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn .若 a 5 ? 5a 3 ,则 【解析】 9 ; S 9 ? 9a 5 , S5 ? 5a 3 ,故
S 9 9a 5 9 ? ? ? 5? 9. S 5 5a 3 5

S9 ? S5



习题2.

已知等差数列 ? an ? 中, a 3 , a15 是方程 x 2 ? 6x ? 1? 0 的两根,则 a 7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 等于( )

A. 18 B. ? 18 C. 15 D . 12 【解析】 C; a3 ? a15 ? 6? a7 ? a11 ? a8 ? a10 ? 2 a9 ? 6 ,故 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? 6? 6? 3? 15 .

习题3.

(2009 浙江)
1 S 设等比数列 {an } 的公比 q ? ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? 2 a4



? 1? a1 ? 1? ? a S 16 ? 15 ? 【解析】 15 ; S 4 ? ? a1 , a 4 ? a1q 3 ? 1 , a1 ? 0 ,故 4 ? 15 . 1 8 8 a4 1? 2

习题4.

1 1 1 若 a, b, c 成等差数列, b , c, d 成等比数列, , , 成等差数列,则 a , c, e 一定成( ) c d e
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A.等差数列 B.等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D .以上答案都不是 2 1 1 a? c 2ce 【解析】 B; 2b ? a? c, c2 ? bd , ? ? ,消去 b , d 得: c 2 ? ? ,化简得: c 3 ?ace ,又 c ? 0, d c e 2 c? e 故 c2 ? ae , a , c, e 成等比数列.它们不一定成等差数列.

习题5.

(2009 新课标江苏)
设? an ? 是公差不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 ⑴求数列 ? an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; ⑵试求所有的正整数 m ,使得

a ma m? 1 为数列 ? an ? 中的项. am ? 2 【解析】 ⑴由题意,设等差数列 ? an ? 的通项公式 an ? a1 ? n? 1? d,d? 0. ?
2 2 由 a2 a3 ?a2 a5 知 2a1 ? 5d ? 0. 2 ? 4 ?

① ②

又因为 S7 ? 7 ,所以 a1 ? 3d ? 1. 由 ①②可得 a1 ? ? 5 ,d ? 2.

n? a ? a ? 2 所以数列 ? an ? 的通项公式 an ? 2n ? 7 , Sn ? 1 n ? n ? 6n . 2 ⑵法一: a ? 4? a m? 2? a a 1 ? ? 8 2 ? 因为 m m ? ? m?2 ? am ?2 ? 6? 为数列 ? an ? 中的项, a m?2 a m?2 a m? 2 8 故 为整数,又由⑴知 am?2 为奇数,所以 am?2 ?2m ? 3? ? 1 ,即 m ? 1, 2. a m?2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2. 法二: am am ? (2m ? 7)(2m ? 5) 4m 2 ? 24m ? 35 8 1 ? ? ? 2m ? 9? , a m?2 2m ? 3 2m ? 3 2m ? 3 又 {a n } 中的项都为整数,且 2m ? 3 为奇数,故 2m ? 3 ?? 1, m ? 1或 2 . 8 当m? 1 时, 2m ? 9? ?2 ? 9? 8 ?? 15 不是 {an } 中的项; 2m ? 3 8 当m? 2 时, 2m ? 9? ?4 ? 9? 8 ?5 ? a6 . 2m ? 3 故符合题意的正整数只有 m ? 2.

月测题
习题1. “公差为 0 的等差数列是等比数列” ; ⑵ “公比为

1 的等比数列一定是递减数列” ; ⑶ “ a, b, c 2

三数成等比数列的充要条件是 b 2 ?ac ” ; ⑷ “ a, b, c 三数成等差数列的充要条件是 2b ? a? c” ,
以上四个命题中,正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 【解析】 A(四个命题中只有最后一个是真命题) D. 4 个

习题2.

(2009 全国Ⅰ14) 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn .若 S9 ? 72 ,则 a 2 ? a4 ? a9 ?


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【解析】 24 ; a2 ? a4 ? a9 ? 3a1 ? 12d ?3a5 , S9 ? 9a5 ? 72 ,从而 a5 ? 8 , a2 ? a4 ? a 9 ?24 .

习题3.

(2008 浙江)
已知数列 ? xn ? 的首项 x1 ? 3 ,通项 x n ? 2n p ? nq ( n ?N?, p , q 为常数) ,且 x1 , x 4 , x5 成等差 数列, 求: ⑴ p , q 的值;⑵ 数列 ? xn ? 的前 n 项的和 S n 的公式.

【解析】 ⑴由 x1 ? 3 ,得 2 p ? q? 3, 又 x4 ? 24 p ? 4 q , x 5 ?25 p ? 5q ,且 x1 ? x5 ?2x4 ,得 3 ?25 p ? 5q ?25 p ? 8q , 解得 p ? 1,q ? 1.
n? n? 1? 1 ⑵ Sn ? 2? 22 ? ?? 2n ? ? 1? 2? ?? n? ? 2 n? ? 2? . ? ? 2

第 6 讲.等差数列与等比数列.理科

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