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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】2016 届高考数学一轮复习 第 8 章 第 4 节 直线与圆、 圆与圆的位置关系课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1. (2014?浙江高考)已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是________. [解析] 由圆的方程 x +y +2x-2y+a=0 可得,圆心为(-1,1),半径 r= 2-a.圆 |-1+1+2| ?4?2 2 2 心到直线 x+y+2=0 的距离为 d= = 2.由 r =d +? ? 得 2-a=2+4,所以 ?2? 2
2 2 2 2

a=-4.
[答案] -4 2.(2012?安徽高考改编)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. [解析] 由题意知,圆心为(a,0),半径 r= 2. 若直线与圆有公共点, 则 |a-0+1| ≤ 2. 2
2 2

∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1. [答案] [-3,1] 3.(2014?连云港检测)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的 距离|C1C2|=________. [解析] 依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此圆的方程是(x -a) +(y-a) =a ,由圆过点(4,1)得(4-a) +(1-a) =a ,即 a -10a+17=0,则该方 程的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2? 10 -4?17=8. [答案] 8 4.(2014?宿迁模拟)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x- 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2, 则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_________________. [解析] 由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知
2 2 2 2 2 2 2 2

?|a-1|?2 2 ? ? +2=(a-1) ,解得 a=3 或 a=-1,又圆心在 x 轴的正半轴上,∴a=3,故圆心 ? 2 ?
坐标为(3,0).∵圆心(3,0)在所求的直线上,∴3+0+m=0,即 m=-3,故所求的直线方

1

程为 x+y-3=0. [答案] x+y-3=0 5.(2014?山东高考)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为______________________. [解析] 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题意得 a=2b>0,且 a =( 3) +b ,解得 a =2,b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =4. [答案] (x-2) +(y-1) =4 6.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程是________. [解析] 圆心 Q(2,0), 点 P(1, 3)在圆上, 则过点 P 的切线与直线 PQ 垂直, ∵kPQ= =- 3,∴过点 P 的切线方程为 y- 3= [答案] x- 3y+2=0 7.(2014?南京质检)从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切 线间的劣弧长为________. [解析] 设过原点的圆的切线是 y=kx,由 x +(y-6) =9,容易求得 k=± 3.所以 π 两切线的夹角为 . 3 π 2π 2π 所以两条切线间的劣弧所对的圆心角为 π - = , 劣弧长为 l=α R= ?3=2π . 3 3 3 [答案] 2π 8.两圆 x +y +2ax+a -4=0 和 x +y -4by-1+4b =0 恰有三条公切线,若 a∈R,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3-0 1-2

3 (x-1)即 x- 3y+2=0. 3

b∈R 且 ab≠0,则 2+ 2的最小值为________. a b
[解析] 将圆的方程化为标准方程,得(x+a) +y =4,x +(y-2b) =1, 两圆有三条公切线,即两圆相外切,所以圆心距等于两半径之和. 1 2 2 2 2 故有 a +4b =9,∴ (a +4b )=1, 9 1 ? 1? 4b a ? 1 1 2 2 ?1 ∴ 2+ 2= (a +4b )? 2+ 2?= ?5+ 2 + 2?≥ (5+2 4)=1 a b a b? 9 a b 9 ? ? 9? 1 1 1 1 2 2 当且仅当 a =2b 时,等号成立,即 2+ 2的最小值为 1.
2 2 2 2 2 2

1

1

a

b

[答案] 1 二、解答题 9.(2014?盐城一中检测)已知圆 C:x +y +x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0.
2
2 2

(1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. [解] 37-4m ? 1?2 2 (1)圆的方程化为?x+ ? +(y-3) = , 4 ? 2?

37-4m 37 故有 >0,解得 m< . 4 4 由?
? ?x+2y-3=0, ?x +y +x-6y+m=0, ?
2 2 2

消去 y,

得 x +?

?3-x?2+x-6?3-x+m=0, ? 2 ? 2 ?
2

整理,得 5x +10x+4m-27=0.① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点,∴方程①无解. 故有 Δ =10 -4?5(4m-27)<0,解得 m>8.
2

? 37? ∴m 的取值范围是?8, ?. 4? ?
(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 由 OP⊥OQ,得OP?OQ=0,即 x1x2+y1y2=0.② 由①及根与系数的关系,得

x1+x2=-2,x1x2=

4m-27 .③ 5

又 P,Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 1 ∴y1y2= ? = [9-3(x1+x2)+x1x2]. 2 2 4 将③代入上式,得 y1y2=

m+12
5

,④

将③④代入②得 x1x2+y1y2= 解得 m=3.

4m-27 m+12 + =0, 5 5

代入方程①检验得 Δ >0 成立,∴m=3. 10.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线:x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3,求直线 MN 的方程. [解] 即 r= (1)依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离, =2. 1+3
2 2

4

所以圆 O 的方程为 x +y =4.
3

(2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0. |m| 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= . 5 由垂径分弦定理得: +( 3) =2 ,即 m=± 5. 5 所以直线 MN 的方程为:2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0. [B 级 能力提升练] 一、填空题 1 . (2014?北 京高考 改编 ) 已 知圆 C : (x - 3) + (y - 4) = 1 和 两点 A( - m,0) ,
2 2

m2

2

2

B(m,0)(m>0).若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为________.
[解析] 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且 1 |AB|=2m.因为∠APB=90°,连接 OP,易知|OP|= |AB|=m.要求 m 的最大值,即求圆 C 上 2 的点 P 到原点 O 的最大距离.因为|OC|= 3 +4 =5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即 m 的最 大值为 6.
2 2

[答案] 6 2.(2014?扬州质检)若⊙O:x +y =5 与⊙O1:(x-m) +y =20(m∈R)相交于 A、B 两 点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. [解析] 由题意⊙O1 与⊙O 在 A 处的切线互相垂直, 则两切线分别过另一圆的圆心,
2 2 2 2

所以 O1A⊥OA. 又∵|OA|= 5,|O1A|=2 5, ∴|OO1|=5,
4

又 A、B 关于 OO1 对称, 所以 AB 为 Rt△OAO1 斜边上高的 2 倍, ∴|AB|=2? [答案] 4 二、解答题 3.已知平面直角坐标系 xOy 中 O 是坐标原点,A(6,2 3),B(8,0),圆 C 是△OAB 的外 接圆,过点(2,6)的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4 3. (1)求圆 C 的方程及直线 l 的方程; (2)设圆 N 的方程为(x-4-7cos θ ) +(y-7sin θ ) =1(θ ∈R),过圆 N 上任意一点
2 2

5?2 5 =4. 5

P 作圆 C 的两条切线 PE,PF,切点为 E,F,求CE?CF的最大值.
[解](1)因为 A(6,2 3),B(8,0),所以△OAB 为以 OB 为斜边的直角三角形,所以圆 C 的方程为(x-4) +y =16. 当直线 l 的斜率不存在时,l:x=2,被圆 C 截得的弦长为 4 3,所以 l:x=2 符合题 意. 当直线 l 的斜率存在时,设 l:y-6=k(x-2),即 kx-y+6-2k=0. 因为被圆 C 截得弦长为 4 3,所以圆心 C 到直线的距离为 2. |4k+6-2k| 4 4 所以 =2,解得 k=- ,所以 l:y-6=- (x-2),即 4x+3y-26=0. 2 3 3 1+k 综上,直线 l 的方程为 x=2 或 4x+3y-26=0. (2)因为圆心 N(4+7cos θ ,7sin θ ),若设 N(x,y),则? -4) +y =49.
2 2 2 2

→ →

?x=4+7cos θ , ? ?y=7sin θ ?

所以(x

即圆心 N 在以(4,0)为圆心,7 为半径的圆周上运动. → → → → 2 如图,设∠ECF=2α ,则CE?CF=|CE|?|CF|?cos 2α =16cos 2α =32cos α -16. 在 Rt△PCF 中,cos α = =

CF 4 .由圆的几何性质得 NC+1≥PC≥NC-1=7-1=6,所 PC PC

5

→ → → → 1 2 16 16 以 ≤cos α ≤ .由此可得CE?CF≤- ,则CE?CF的最大值为- . 2 3 9 9

6


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