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中考数学考前热点冲刺《第21讲 直角三角形与勾股定理》(单课考点自主梳理反馈 典例真题归纳分析 考向探究_图文

第21讲┃直角三角形与勾股定理

第21讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 定义 直角三角形的概念、性质与判定 有一个角是 ________ 直角 的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余 (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所 性质 对的直角边等于 ____________ 斜边的一半 (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 ________ (1)两个内角互余的三角形是直角三角形 判定 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 1 1 (1)SRt△ ABC= ch= ab,其中 a、 b为两直角边, c为斜 2 2 拓展 边, h为斜边上的高; (2)Rt△ ABC内切圆半径 r= a+ b- c c ,外接圆半径 R= ,即等于斜边的一半 2 2

第21讲┃ 考点聚焦 考点2 勾股定理及逆定理

勾股 定理 直角 三角 形的 判定 勾股 数

直角三角形两直角边 a、 b的平方和,等于斜边 c的平方.即: ____________ a2+b2=c2 如果三角形的三边长 a、 b、 c有 a2+b2=c2 ,那么这 定理 关系: ____________ 个三角形是直角三角形 (1)判断某三角形是否为直角三 用途 角形; (2)证明两条线段垂直; (3)解决生活实际问题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数, 称为勾股数

第21讲┃ 考点聚焦 考点3 互逆命题

互逆 命题 互逆 定理

如果两个命题的题设和结论正好相反,我们把 这样的两个命题叫做互逆命题,如果我们把其 中一个叫做________ 原命题 ,那么另一个叫做它的 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的,那么它就是这 逆定理 ,称这两个定理为互逆定理 个定理的 ________

第21讲┃ 考点聚焦 考点4 命题、定义、定理、公理

在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称 定义 和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就 是给他们下定义 定义 判断一件事情的句子叫做命题 真命题 分类 正确的命题称为 ________ 命题 假命题 错误的命题称为 ________ 组成 每个命题都由 ______ 条件 和 ______ 结论 两个部分组成 公理 公理 公认的真命题称为 ________ 除公理以外,其他真命题的正确性都经过推理的 证明 .经过证明 定理 方法证实,推理的过程称为 ________ 的真命题称为 ________ 定理

第21讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度: 1. 利用勾股定理求线段的长度; 2. 利用勾股定理解决折叠问题.

第21讲┃ 归类示例
[2011· 黄石 ] 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在 一张宽为 3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上, 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图 21- 1,则三角板的最大边的长为 ( D )

A. 3 cm

B. 6 cm

图 21- 1 C. 3 2 cm

D. 6 2 cm

[解析] 如图所示,过点A作AD⊥BD,垂足为D,所以AB= 2AD=2×3=6 (cm),△ABC是等腰直角三角形,AC= 2 AB= 6 2(cm).

第21讲┃ 归类示例

[2012· 广州] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9, BC=12,则点C到AB的距离是 ( A ) 36 12 9 3 3 A. B. C. D. 5 25 4 4

第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据题意画出相应的图形,如图所示:

在 Rt△ ABC中, AC= 9, BC= 12, 根据勾股定理得: AB= AC2+BC2= 15,过 C作 CD⊥ AB,交 AB于点 D, 1 1 又 S△ ABC= AC· BC= AB· CD, 2 2 AC·BC 9× 12 36 ∴ CD= = = , AB 15 5 36 则点 C到AB的距离是 . 5 故选 A.

第21讲┃ 归类示例

勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边求第三 边;(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系;(3)用于证 明平方关系的问题.

第21讲┃ 归类示例 ? 类型之二 实际问题中勾股定理的应用

命题角度: 1. 求最短路线问题; 2. 求有关长度问题.

第21讲┃ 归类示例
如图 21- 2,一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙 ),有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面 爬到柜角 C1处.

图 21- 2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径; (2)当 AB= 4, BC= 4, CC1= 5时,求蚂蚁爬过的最短路径 的长; (3)求点 B1到最短路径的距离.

第21讲┃ 归类示例

解: (1)如图,木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1′D1, 和ACC1A1.

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1和AC1.

第21讲┃ 归类示例

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到 C′1,爬过的路径的长是 l1= 42+( 4+ 5)2 = 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1到 C1,爬过的路径的长是l2= (4+4) 2+52= 89. l1>l2,最短路径的长是l2= 89. B1C1 4 20 (3)作B1E⊥ AC1于 E,则 B1E= ·AA1= · 5= AC1 89 89 89.

第21讲┃ 归类示例

利用勾股定理求最短线路问题的方法:将起点和终点所 在的面展开成为一个平面,进而利用勾股定理求最短长度.

第21讲┃ 归类示例 ? 类型之三 勾股定理逆定理的应用

命题角度: 勾股定理逆定理.
[2012· 广西] 已知三组数据:①2,3,4;②3,4, 5;③1, 3 ,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边 长,构成直角三角形的有 ( D ) A.② B.①② C.①③ D.②③

第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据直角三角形的判定,只要两边的平方 和等于第三边的平方即可构成直角三角形.只要判断两个 较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可. ①∵ 22+ 32= 13≠ 42, ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故 不符合题意; ②∵ 32+ 42= 52 , ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符 合题意; ③∵ 12+( 3)2= 22, ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符 合题意. 故构成直角三角形的有②③ .故选 D.

第21讲┃ 归类示例

判断是否能构成直角三角形的三边,判断的方法是:判 断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.

第21讲┃ 回归教材

回归教材
巧用勾股定理探求面积关系

教材母题 人教版八下 P71T11 如图 21-3,∠C=90° ,图中有阴影的三个半圆的面积有 什么关系?

图 21-3

第21讲┃ 回归教材

解: 记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1、 S2、 S3,则 S1、 S2、 S3 的关系是 S1+S2= S3.理由如下: 1 ?BC ?2 1 S1= π? ? = πBC2; 2 ?2 ? 8 1 ?AC ?2 1 S2= π? ? = πAC2; 2 ?2 ? 8 1 ?AB ?2 1 S3= π? ? = πAB2. 2 ?2 ? 8 而由勾股定理,得 BC2+ AC2= AB2, 于是可得 S1+ S2= S3.

第21讲┃ 回归教材

[ 点析 ] 若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似 形,S1+S2=S3 都成立.

第21讲┃ 回归教材

中考变式
1. [2011· 贵阳 ] 如图 21- 4,已知等腰 Rt△ ABC的直 角边长为 1,以 Rt△ ABC的斜边AC为直角边,画第二个等 腰 Rt△ ACD,再以 Rt△ ACD的斜边 AD为直角边,画第三 个等腰 Rt△ ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△ AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 31 ________. 2

图 21- 4

第21讲┃ 回归教材

1 [解析 ] 第 1个三角形的面积为 ,第 2个三角形的面积 2 1 1 2 为 × ( 2) = 1,第 3个三角形的面积为 × 22= 2,第 4个三角 2 2 1 1 2 形的面积为 × ( 8 ) = 4,第 5个三角形的面积为 × 42= 8, 2 2 1 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 + 1+ 2+ 4 2 31 + 8= . 2

第21讲┃ 回归教材
2.[2010· 汕头 ] 如图 21- 5①,已知小正方形 ABCD 的面 积为 1,把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1;把正方 形 A1B1C1D1 各边按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2(如图 21 625 . - 5② );依此下去…,则正方形 A4B4C4D4 的面积为 ________

图 21- 5


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