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【金识源】高中数学 2.1.2 指数函数及其性质教材分析 新人教A版必修1


1 x y=( 2 )

8 7 6 5 4 3 2 1

y=2x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

《指数函数及其性质》 一、教材分析 (一)教材的地位和作用 人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书? ?数学(1) 》 (人教 A 版)$2.1.2“指数 函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展 开研究的。 作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 又对高中阶段研究对数函数、 三角函数等完整的函数知识, 初步培养函数的应用意识打下了 良好的学习基础, 也为今后研究其他函数提供了方法和模式。 指数函数在知识体系中起了承 上启下的作用, 同时在生活及生产实际中有着广泛的应用, 因此它也是对学生进行情感价值 观教育的好素材,所以指数函数应重点研究。 (二)课时划分 指数函数的教学在中共分三个课时完成。指数函数的图象及其性质,指数函数及其 性质的应用(1) ,指数函数及其性质的应用(2) 。这是第一课时“指数函数的图象及其 性质” 。 “指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概 念和性质,通过学习指数函数的定义,图象及性质,可以进一步深化学生对函数概念的 理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,并且为学习对数函数作

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好准备。 二、学情分析 (一)有利因素 通过初中学段的学习和高中对集合、 函数等知识的系统学习, 学生对函数和图象的关系 已经构建了一定的认知结构,主要体现在三个层面: 知识层面:对正比例函数、反比例函数、一次函数,二次函数等最简单的函数概念和性 质已有了初步认识, 能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来 认识函数。 技能层面:学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握,能够为研究《指数 函数》的性质做好准备。由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会,已初步了解了数形 结合的思想。 情感层面:学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。 (二)不利因素 本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,学生 学习起来有一定难度。 三、教学目标: (一)知识技能目标 使学生理解指数函数的定义,掌握指数函数的图象和性质,初步学会运用指数函数 解决问题。 (二)过程方法目标 引入,剖析、定义指数函数的过程,启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法,通过运用多媒体的教学手段, 引领学生主动探索指数函数性质,体会学习数学规律的方法,体验成功的乐趣。 (三)情感态度、价值观目标 通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法,提高学生的学习能力养成 积极主动,勇于探索,不断创新的学习习惯和品质,树立学科学,爱科学,用科学的精 神。 四、教学重点、难点 (一)重点
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指数函数的定义、图象、性质。 (二)难点 指数函数图象和性质的发现过程,指数函数的图象特征及指数函数的性质。 五、教法学法以及整合点的诊断 (一) 教学方法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析,本着教法为学法服务的宗旨,确定以 下教法、学法:探究发现式教学法、类比学习法,并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生 为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为 概念学习的特点,类比学习函数的一般思路,以问题的提出、问题的解决为主线,始终在 学生知识的“最近发展区”设置问题,倡导学生主动参与,通过不断探究、发现,在师生 互动、生生互动中,让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 (二)整合点的诊断 根据以上重难点的分析我认为本节课两个部分, 一、 对于一个新的函数我们如何去研究, 研究什么?二、指数函数的性质和底数 a 的关系。用传统的教学方法有一定的局限性,基于 以上的原因我将以上两点作为本节课与信息技术的整合点。 1.学生在得到指数函数的定义 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)后,面对一个新的函数,我们要 学习这个函数的什么内容?怎么学习?在这个地方, 通过用 PPT 展示他们学习过的函数, 一 次函数, 反比例函数, 二次函数我们都学习了什么内容, 这些内容老师是怎么带我们得到的。 让学生认识到前面函数的学习,都是在学完定义后,做出了函数的图象后,进而利用了函数 的图象研究函数的性质。 从而为指数函数的学习找到了方向。 对于义务教育阶段学习的这三 个函数,因为时间间隔较长,记忆比较零乱,通过 PPT 的展示,让学生的回忆清晰,感受直 观,知识的呈现系统,有条理。达到传统教学无法达到的效果。支撑软件 Microsoft PowerPoint。 2.本节的难点内容之一是指数函数图象和性质的发现过程。对于指数函数图象的得到,
x 我准备分三个层次进行。1、学生利用列表、描点、连线方法自行作出 y=2 和 y= ( ) 的图

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x

象,教师利用多媒体演示,强调作图的规范性,通过作图观察出图象关于 y 轴对称。2、利 用动画演示得到指数函数图象初步猜想。3、利用《几何画板》软件验证猜想正确。由于手
x 段的限制,教科书只用“描点法”作出 y=2 和 y= ( ) 的两个图象,然后直接给出指数函数

1 2

x

y ? a x 的性质。这是有些“强加于人”的,例如,学生对为什么要把底数 a 分为 0<a<1

3

和 a>1 两种情况加以讨论就不一定理解,学习过程比较被动。我在实际教学中先引导学生 用信息技术完成函数 y=2 的对应值表,作出图象,并在信息技术环境下动态观察图象,形 成对指数函数性质的感性认识, 再让学生自由选择 a 的值, 并用图形计算器或计算机在同一 坐标系内作图象。在此过程中,学生可清楚地看到底数 a 如何影响并决定着函数 y ? a x 的 性质。 由于函数的图象随着 0< a <1 和 a >1 自然聚集, 学生可以清楚地看到 a =1 这条分界线, 而函数的定义域、值域、单调性、特殊点(0,1)等更是一目了然。然后再通过 a 的连续变 化来演示函数图象的变化规律,从而让学生更直观、更清楚地“看到”函数 y ? a x 的性质。 这样呈现内容,对学生发现和认识“为什么以 a =1 为分界点”“过点(0,1)为什么要作 为性质之一”等,都营造了很好的环境,使教学的开放性、“探索式学习”等成为可能。显 然,如果没有信息技术,上述过程很难实现。支撑软件 Microsoft PowerPoint,Flash,几 何画板。 六、教学过程设计 新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业 教学 环节 1.请同学们听一则报道: “古莲子年龄之谜”? 问题:据新华社报道,1950 年,中国科学院植物研 究所在辽东半岛普兰店附近干涸的湖泊地下挖出大量的 普兰店古莲子种子。这些种子保存到 1974 年,重新发芽 (一) 新 课 引 入 开花,震惊了全世界。1978 年中国科学院测定了这些古 莲子的年龄。 你知道科学家使用什么办法来测定古莲子的 年龄?科学家是采用 C 法测定古生物的年代:生物存活 的时候, C 含量是恒定不变的,但生物体的生命一旦终 止, C 不会产生, 且原有 C 会自动衰变, 通过测定 C 的残留量就可以测出古生物的年龄。 同学们知道这个方法 后,下面我们来看如何计算古莲子的年龄,现在知道古莲 子中 C 含量,每经过 500 年的剩留量为原来的 84%。现 测出古莲子中的剩留量为原来的一半, 你能推算出古莲子
14 14 14 14 14 14
x

教学程序及设计

设计意图

以“古莲子年 龄之谜”做引子, 为学生抛出一个建 立指数函数模型的 问题,设置悬念。

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是多少年前的遗物吗? 这个问题目前不容易解决,那先解决以下两个问题: (1)某种细胞分裂时,由一个分裂成 2 个,2 个 分裂成 4 个??,这样的细胞分裂 x 次后,得到的细 胞个数 y 与 x 有怎样的函数对应关系? (2) “一尺之棰,日取其半,万世不竭” 。木椎截取 x 次后,剩余量 y 与 x 有怎样的函数对应关系? (可列表引导得出:1→ 2 ;2→ 2 ;?;x→ 2 ) 答: 细胞个数 y 与 x 的函数关系式是 y=2 ,木棰的剩
x

由两个较简单 的建立函数对应关 系的实际问题引出 指数函数的一般模 型——即指数函数 的解析式。问题 2 的引用还可以让学

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1

x

生感受到中国古代 数学辉煌成就,体 现数学文化。

余量 y 与 x 的函数对应关系是 y= ( ) 。 1.指数函数的概念 在这个函数关系中,底数是一个常量,指数是一个变 量,我们把这样的函数叫做指数函数,你能给出它的一般 形式吗? y ? a x (1)类比一次函数 y ? kx ? b, k ? 0 ,反比例函数 (二) 新 授 课 (2)这里 a 的取值范围如何呢? ①假设 a =0,那么当 x>0 时, a =0,当 x≤0 时, a 无意义; ②假设 a <0,那么 a 对某些 x 值可能没有意义,如
x (-1) 对于 x =1/4, x =1/2,...无意义; a =-1 时,

1 2

x

由学生抽象出 指数函数的一般形 式,其中指数函数 x 的范围以及对 a 的限定不强加给学 生,由学生自己进 行讨论得出。

y?

k , k ? 0 ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c, a ? 0 中的 x

限制条件,思考指数函数中底数的限制条件。

x

x

x

③假设 a=1,那么 y=1 =1 对任意 x 都是常数。为了避
x

免出现上述情况,所以规定 a >0 且 a ≠1。

(3)指数函数的定义:

5

一般地,函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)的函数叫做指 数函数,其中 x 为自变量,定义域为 R。 (4)判断下列是不是指数函数? y ? 5 ? 3 ,
x

加深学生对指 数函数定义的理 解。

y ? 32 x , y ? ?3 x
2.指数函数的图象与性质 (1)目前我们在研究函数一般可以包括哪些方 面? (2) 研究函数可以怎么研究?用什么方法?从什 么角度研究? 可以从图象,解析式和列表研究,但对于今天 研究的函数显然解析式和列表法不易得到性质,从 “数”的角度研究其解析式有难度,我们转而从“形” 的角度研究其图象,然后从图象中看能否发现规律总 结出指数函数的性质。 (3)研究几个具体的指数函数图象: ①绘制图象 请同学们分成四组分别做出以下函数图象并讨论 总结图象规律: (Ⅰ)y=2
x

让学生在研究 函数时有明确的目 标:函数的三要素 和函数的基本性 质。

让学生知道图 象法不是研究函数 唯一的方法。要具 体问题具体分析。

由具体的几个 指数函数的图象发 现规律总结这类函 数性质。
x

1 x (Ⅱ) y=2 和 y= ( ) 2
展示同学们的手作图,考虑到列表描点作图比较 麻烦,同时手功作图不精确,又是本节的关键,故借 助现代化的教学手段――电脑作图,从而使学生较直 观地认识到指数函数的图象。 ②探究性质: 请同学们尝试归纳出图象的变化规律与特性: (Ⅰ)过点(0,1)

让学生自己动 手做图,互相讨论 发现规律。 借助多媒体, 在电脑中将几个图 同时展示于一个坐

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(Ⅱ)y>0 (Ⅲ)底数 a >1 时,函数在 R 上单调递增; 底数 0< a <1 时,函数在 R 上单调递减。 其他规律(指数函数间图象的特性) : 当指数函数的底数互为倒数时,图象关于 y 轴对 称; 当底数 a >1 时,底数越大函数值增长越快越靠近 y 轴即底大图高,底数 0< a <1 时,情况相反。 ③归纳性质 将指数函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)的性质(对应

标系,从而使学生 较直观地认识到指 数函数的图象。 同时让学生更 加清晰的认识指数 函数图象教师通过 几何画板中改变参 数 a 的值, 追踪 y=a
x

的图象,在变化过 程中让全体学生进 一步观察函数的变 化规律。 通过引导学生

图象)归纳如下表,进行课件演示: 指数函数 y=a 的性质
x

分析图象特征,帮 助学生总结函数性 质,培养学生形数

a >1
(Ⅰ)定义域:R (Ⅱ)值域: (0,+∞) (Ⅲ)当 x=0 时,y=1 (Ⅳ)单调性: 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 是 增 函数

0< a <1

结合的能力。

以表格的形式 归纳总结指数函数 ( 即过点(0,1) ) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 的性质,以展示研 究函数的一般方 法:研究定义域; 值域;单调性等。

是减函数

3.指数函数的应用 (1)已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图
x

象经过点 (3, ? ) ,求 f (), f (1), f (?3) 的值。

7

解:因为 f ( x) ? a x 的图象经过点 (3, ? ) ,所以

f (3) ? ?
即 a ? ? ,解得 a ? ? ,于是 f (3) ? ? 。
3

通过本题加深 学生对指数函数的
1 3

x 3

理解。同时让学生 明确底数是确定指 数函数的要素,同

所以 f (0) ? 1, f (1) ? 3 ? , f (?3) ?

1

?



时向学生渗透方程 的思想。

(2)解决“古莲子年龄之谜”问题 问题: 现知道古莲种子中 c 的含量,每经过 500 年的剩留量为原来的 84%,现测出古莲种子中 c 的剩留 量为原来的一半, 你能推算出古莲子是多少年以前的遗物 吗? 应用所学指数 函数知识解决引例 中预设的问题,建 立指数函数关系模 型。 以上我们研究指数函数经历了一个由“具体” (研究 几个具体的指数函数)到“一般” (归纳指数函数的一般 性质) ,再由“一般”到“具体” (应用指数函数的一般性 质研究解决指数函数的具体问题)的思维过程。 (三) 小 结 概括、总结一 堂课主要的思想方
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1.指数函数的定义。 (研究了对 a 的限定以及定义域) 法与内容,便于学 生系统性考虑所学 2.指数函数的图象 知识。 3.指数函数的性质: (1)定义域(-∞,+∞) ,值域(0,+∞) ; (2)函数的特殊值(0,1) ; (3)函数的单调性:a>1,单调增; 0<a<1,单调减。

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1. 练习 (四) 作 业 课本 58 页: 2 2. 课后作业 (1)课本 59 页:5、6 (2)收集关于指数函数应用的相关资料,通过分析 整理,写一篇报告。 七、教学设计说明 (一)抛出一个生活中的实例,需要建立一个关于指数函数的数学模型,为学生提出问 题;提高学生学习新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。 (二)用简单易懂的实例引入指数函数概念,体会由特殊到一般的思想。 (三)探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决,转而由“形”——图象 突破, 体会数形结合的思想。 通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数 函数的图象规律,从而归纳指数函数的一般性质,经历一个由特殊到一般的探究过程。让学 生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质, 从而对函数进行较为系统 的研究。 (四)进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。 (五)解决引例中预设的问题,建立一个指数函数的模型。 八、课后反思 本节课最大的特点就是在开放的教学环境中, 在信息技术与数学整合的理念和教师的指 导下的教学,真正体现了以学生为主的教学,它充分调动了学生的积极性和自主探索的热 情. 如用传统教学使用描点法指数函数的图象是难以实现的, 在现代信息技术的支持下难题 迎刃而解,学生通过《几何画板》这一教学软件快速、轻松做出指数函数图象的动态图象, 并借此逐步探究归纳出指数函数概念和性质, 引导学生执因索果, 发现问题所蕴含的规律和 思想,揭示数学的本质,从而使学生自主探索学习得以实现,主动性得以发挥成为课堂真正 的主人;教师在课堂中主要负责引导、启发、组织学生讨论学习,提示研究的方向控制课堂 的进度和节奏,成为学生学习的帮助者。 检验课堂掌 握,巩固练习

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九、板书设计

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