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红对勾文科数学选4-5-1


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第一节

绝对值不等式

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考纲解读 1.理解绝对值不等式的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何 意义证明以下不等式: ?1?|a+b|≤|a|+|b|; ?2?|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c; |ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.

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考情剖析 从近两年的高考试题可以看出,本节重点考查含绝对值不等式的 解法?可能含参?或以函数为背景证明不等式,题型为解答题.

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1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c? -c≤ax+b≤c . .

②|ax+b|≥c? ax+b≥c 或 ax+b≤-c

(2)|x-a|+ |x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的解法

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法 1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形 结合思想; 法 2: 利用“零点分段法”求解, 体现了分类讨论思想; 法 3:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函 数与方程的思想.

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1.解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么? 提示:关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值.

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2.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅 当 ab≥0 时,等号成立. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b -c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.

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2 .绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什 么? 提示:当 a,b 不共线时,|a+b|<|a|+|b|,它的几何意 义是三角形的两边之和大于第三边.

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1.不等式 1<|x+1|<3 的解集为________.
答案:(-4,-2)∪(0,2)

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2.不等式|x-8|-|x-4|>2 的解集是________.

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解析:令:f(x)=|x-8|-|x-4| ?4,x≤4, ? =?-2x+12,4<x≤8, ?-4,x>8, ? 当 x≤4 时,f(x)=4>2; 当 4<x≤8 时,f(x)=-2x+12>2,得 x<5,即 4<x<5; 当 x>8 时,f(x)=-4>2,不成立. 综上所述不等式的解集为{x|x<5}.
答案:{x|x<5}
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|x+1| 3.不等式 ≥1 的实数解为________. |x+2|

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? ?|x+1|≥|x+2|, |x+1| 解析: ≥1?? ? |x+2| ?x+2≠0,
2 2 ? ??x+1? ≥?x+2? , ?? ? ?x+2≠0,

? ??x+1+x+2??x+1-x-2?≥0, 即? ? ?x≠-2,

3 解得 x≤- 且 x≠-2. 2
3 答案:(-∞,-2)∪(-2,-2]
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4.函数 y=|x+1|+|x+3|的最小值为________.
解析:由|x+1|+|x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2, ∴ymin=2.

答案:2

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5.若存在实数 x 满足不等式|x-4|+|x-3|<a,则实数 a 的取值范围是________.

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解析:由绝对值不等式的几何性质知, |x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 所以函数 y=|x-4|+|x-3|的最小值为 1, 又因为原不等式有实数解,所以 a 的取值范围是(1,+ ∞).
答案:(1,+∞)

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绝对值不等式的性质应用

【例1】

“|x-a|<m,且|y-a|<m”是“|x- )

y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

利用绝对值三角不等式,推证
? ?|x-a|<m ? ? ?|y-a|<m

与|x-y|<2m的关系即得答案.

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【解析】 ∵|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y- a|<m+m=2m, ∴|x-a|<m,且|y-a|<m是|x-y|<2m的充分条件.取x =3,y=1,a=-2,m=2.5,则有 |x-y|=2<5=2m,但|x-a|=5,不满足|x-a|<m= 2.5, 故|x-a|<m且|y-a|<m不是|x-y|<2m的必要条件.故选 A.
【答案】 A
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1.对绝对值三角不等式定理 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|中等号成 立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时 . 2.对于y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的最值求法利 用绝对值三角不等式更简洁、方便 .

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(1)设a,b是满足ab<0的实数,则( A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|

)

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(2)已知命题p:|a|<1,且|b|<2,命题q:|a+b|<3,则p 是q的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

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解析:(1)由ab<0得a,b异号, 易知|a+b|<|a-b|, |a-b|=|a|+|b|, |a-b|>||a|-|b||. ∴选项B成立,A,C,D均不成立.

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-1<a<1? ? ? (2)∵|a|<1且|b|<2,∴ -2<b<2? ? ?-3<a+b<3?|a+b|<3, 反之不成立(如a=2,b=-3适合|a+b|<3,但不适合 |a|<1且|b|<2).
答案:(1)B (2)A

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含绝对值不等式的解法

【例2】 a>1.

(2013· 辽宁卷)已知函数f(x)=|x-a|,其中

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为 {x|1≤x≤2},求a的值.

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(1)将不等式转化为三个不等式即可求得解集; (2)根据题设,将含参数的不等式的解求出后,根据不等式 与相应方程之间的关系列出等式即可求解.

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【解析】

(1)当a=2时,f(x)+|x-4|

?-2x+6,x≤2, ? =?2, 2<x<4, ?2x-6, x≥4. ? 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5; 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.
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(2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x), x≤0, ?-2a, ? 则 h(x)=?4x-2a, 0<x<a, ?2a, x≥a. ? a-1 a+1 由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, ? ?a-1=1, ? 2 所以? ?a+1 =2, ? ? 2
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于是 a=3.

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?1?用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划 区间、去绝对值符号;③分别解去掉绝对值的不等式;④ 取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点 值.?2?用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式, 使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种 较好的方法.

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(1)(2013· 江西卷)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为________. (2)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3, 则b的取值范围是________.

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解析:(1)由||x-2|-1|≤1得-1≤|x-2|-1≤1 即|x-2|≤2,-2≤x-2≤2解得0≤x≤4. b-4 b+4 (2)∵|3x-b|<4,∴ <x< . 3 3 ? ?0≤b-4<1 3 ? 由题意得? ? b+4 3< 3 ≤4 ? ?

,解得5<b<7,

∴b的取值范围是(5,7).
答案:(1)[0,4]
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(2)(5,7)
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含绝对值的不等式恒成立问题

【例3】

已知函数f(x)=|x|+2|x-a|(a>0).

(1)当a=1时,解不等式f(x)≤4; (2)若不等式f(x)≥4对一切x∈R恒成立,求实数a的 取值范围. 不等式恒成立问题转化为最值问题求解.

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【解析】

? ?x<0, (1)当a=1时,? ? ?-x-2x+2≤4 ? ?x>1, 或? ? ?x+2x-2≤4

? ?0≤x≤1, 或? ? ?x+2-2x≤4



? 2 ? 解得x∈?-3,0?或x∈[0,1]或x∈(1,2], ? ? ? 2 ? ∴不等式解集为?-3,2?. ? ?

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(2)原不等式化为f(x)=|x|+2|x-a| ?2a-3x?x<0?, ? =?2a-x?0≤x≤a?, ?3x-2a?x>a?, ? ∴当x=a时,f(x)取得最小值a, ∴a≥4.

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1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分 类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后利用数形 结合思想,是常用的解决方法; 2.f?x?<a恒成立?f?x?max<a, f?x?>a恒成立?f?x?min>a.

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设函数f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)画出函数y=f(x)的图象; (2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1-2m|有解,求实数m的 取值范围.

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x≤-2, ?-3, ? 解:(1)函数f(x)可化为f(x)=?2x+1, -2<x<1, ?3, x≥1, ? 其图象如下:

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(2)关于x的不等式f(x)+4≥|1-2m|有解等价于(f(x)+ 4)max≥|1-2m|. 由(1)可知f(x)max=3, 于是|1-2m|≤7,解得m∈[-3,4].

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1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号. 2.绝对值的性质使绝对值不等式很难直接求解,我们 应把它转化为易于求解的不等式或不等式组来解,它体现 了化归思想的具体运用.

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3.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时 也有独特的作用,需灵活运用,同时还要注意等号成立的 条件. 4.绝对值式子的零点相当重要,以绝对值的零点为界 点进行分段,这样在某一个区间段内绝对值式子可变为不 等式或不等式组.然后将求得的结果与前面分段的区间求 交集,最后再对几个不同分段的区间求并集,则得该绝对 值不等式的解集.

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