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1.2.2《组合》课件(新人教版A选修2-3)


组合2

复习 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的组合数。用符号 C 表示
组合数计算公式
m m

n

n! (2)Cn ? m!(n ? m)!
m

An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) (1)Cn ? n ? Am m!

例 在歌手大奖赛的文化素质测 试中,选手需从5个试题中任意 选3题,问 (1)有几种不同的选题方法? (2)若有一道题是必答题, 有几种不同的选题方法?

练习:计算两个组合数  C10  ;C10
7 3

问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相 同?怎样对这一结果进行解释?

从10个元素中取出7个元素后,还剩下 3个元素,就是说,从10个元素中每次取 出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7) 个元素的组合是一一对应的。因此,从10 个元素中取7个元素的组合,与从这10个 元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的

即:C10 ? C10 (? C10 )
7 10 ? 7 3

问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质?

一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个 元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个 不同元素中取出 m个元素的每一个组合, 与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一 对应,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n ? m个元素的组合数

即:c

m n

? cn

n? m

组合数性质1:

Cn ? Cn
m

n?m

n m 1、为简化计算,当m> 时,通常将计算 C n 2 n ?m 改为计算 Cn
2、 为了使性质1在m=n时也能成立,规定 C n
0

证明 说明:

?1

3、C ? C ? x ? y或x ? y ? n
x n y n

组合数性质2引例

一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 ①从口袋里取出3个球,共有多少种取法? ②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球, 有多少种取法? ③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有 多少种取法?
从引例中可以发现一个结论:C 3
8

? C7 ? C7
2

3

对上面的发现(等式)作怎样解释?

一般地,从a1 , a2 ,? , an?1这n ? 1个不同的元素中取 出m个元素的组合数是C ,
这些组合可分成两类:一类含有a1,一类不含有a1,
含有a1的组合是从a2 , a3 ,? , an?1这n个元素中取出
m ?1 m ? 1个元素与a1组成的,共有C n 个;

m n ?1

不含a1的组合是从a2 , a3 ,? , an?1这n个元素中取出
m m个元素组成的,共有Cn 个

由分类计数原理,得
组合数性质2

Cnm?1 ? Cnm ? Cnm?1

组合数性质2: m
证明 说明:

? ? c n ?1 c n c n

m

m ?1

1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合 数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今 后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主 要应用.


(1)

计算

( 2)

C C

198

; 200
2

C
3 100

2 200

?

200 ? 199 2?1

? 19900

3 99

? C 99;
100 ? 99 ? 98 3? 2?1 ? 161700
3 2

( 3)

?C ? 2C ? C ? C .
3 8 9 8
3 3

? 2C 8 ? (C 8 ? C 8 ) ? C 8 ? C 8 ? 56

2

2

3

例 证明

1、 C

m n?1

?C
n n?1

m ?1 n

?C

m n?1

?C

m ?1 n?1
n?1 n? m ?1

2、 C ? C
n n

??? C

n n? m

?C

例 在100件产品中,有98件合格品,2件不 合格品.从这100件产品中任意抽出3件 (1)一共有多少种不同的抽法?

(2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的 抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的 抽法有多少种?

课堂练习
课本24页1、2、3、4





通过这一节课的学习我们要进一 步熟悉组合数的公式;了解组合数性 质推导时的思维方法,掌握组合数的 两个性质

作业:
课本25页:3、4、5、6


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