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专题2 第1课时 三角恒等变换


专题二

三角函数与平面向量

1.同角三角函数基本关系 sin α 2 2 sin α + cos α = 1; = tan α; α cot α = 1. tan cos α 2.两角和与差的三角公式 sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β; tan α ± tan β tan(α ± β ) = . 1 m tan α tan β

3.二倍角的正弦公式 sin2α = 2sinα cosα; cos2α = 2cos 2α ? 1 = 1 ? 2sin 2α = cos 2α ? sin 2α; 2 tan α tan2α = . 1 ? tan 2α

4.变形公式 tan α + tan β = tan(α + β )(1 ? tan α tan β ); 1 ? cos 2α 1 + cos 2α 2 2 sin α = ; α= cos . 2 2 5.辅助角公式 a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ), 其中 cos ? = a a 2 + b2 ,n? = si b a 2 + b2 .

考点1 考点1 无条件求值式

1 ? tan 30 ° tan 120 ° ? 1 例1 . 计 算: = __________ . 1 + tan 30 ° tan 120 ° + 1
分析: 观察所求式不难发现两个积式在结构 上与两角差的正切公式类似,因此可考虑先将 “1”代换为“ tan45°”,再根据所得的两个三角 函数积的形式,利用二倍角式可求 得结果.

变式题.计算:cos ( A + 15°) + cos ( A ?15°) ? cos30°cos2A =
2 2

_______________.
解析: 1 3 原式 = [1 + cos2( A + 15°) + 1 + cos2( A ? 15°)] ? cos2A 2 2 1 3 cos2A = [2 + cos(2A + 30°) + cos(2A ? 30°)] ? 2 2 1 3 cos2A = (2 + 2cos2Acos30°) ? 2 2 3 3 cos2A ? cos2A = 1. = 1+ 2 2

考点2 考点2 条件求值
4 例2.若 cos α = ? ,α 是第三象限的角,则 5 (    ) 1 A. ? 2 C. 2 1 + tan 1 ? tan

α α
2 =

2

1 B. 2 D. 2 ?

分析:首先可通过同角三角函数基本关系求tanα,然 后利用正切的二倍角公式求得tan

α

2 求出结果.本题也可以从化所求式中的正切为正弦与 余弦,再经过三角代换与代数变换将所求式化为关于

,代入所求式即可

sinα 与cosα的表达式,而sinα的值可通过同角三角函数 基本关系求得.

3 3 解析:方法1:由已知得 sin α = ? ,所以 tan α = . 5 4 又

α

2

是第二或第四象限的角, 2 tan

2 ,解得 tan α = ?3, 故由 tan a = α 2 1 ? tan 2 2 2 = 1 ? 3 = ? 1 ,故选A. 从而 α 1+ 3 2 1 ? tan 2 1 + tan

α

α

4 方法 2: 由已知 cos α = ? , α 是第三象限的角, 5 3 得 sin α = 1 ? cos 2α = ? , 5

1 + tan 所以 1 ? tan

α α
2 =

1+

sin cos

α α α
2 = 2 cos cos

α α
2 2

+ sin ? sin

α α
2

2

1?

sin cos

α
2

2

2

1 + sin α 1 = = = ? ,故选 A. α α cos α 2 cos 2 ? sin 2 2 2 2 2

(cos

α

+ sin

α

)2

【评析】本题两种解法代表了解答三角函数问题的 两个方向:方法1主要是从变角入手,策略是观察 题中的条件角与结论角之间的关系,常常采取复 角与单角的互化、单角与二倍角的互化;方法2 是从函数的名称入手,常常采取“切化弦”、 “弦化切”手段变换三角函数名称.

1 变式题.已知tan( + α ) = 2,则 4 2sin α cos α + cos 2 α 的值为 __________ .

π

1 + tan α 1 解析:由 tan( + α ) = = 2,得 tan α = , 4 1 ? tan α 3 1 sin 2 α + cos 2 α 于是 = 2 2 2sin α cos α + cos α 2sin α cos α + cos α 1 2 ( ) +1 2 tan α + 1 2 3 = = = . 2 tan α + 1 2 × 1 + 1 3 3

π

1 π 1 备选例题:已知tan(α + β + ) = ,tan( β ? ) = ? , 6 2 6 3 则tan(α + ) = __________ . 3

π

π

分析:观察条件角与结论角易发现

α+

) ? ( β ? ),由此直接利用两 3 6 6 角差的正切公式就可顺利求解.

π

= (α + β +

π

π

解析: tan(α + tan(α + β +

π π
3

) = tan[(α + β +

π
6

) ? (β ?

π
6

)]

=

6

) ? tan( β ?

π
6

) )

1 + tan(α + β +

π
6

) tan( β ?

π
6

1 1 ? (? ) 3 = 1. = 2 1 1 1 + × (? ) 2 3

【评析】发现条件角与结论角之间的关系是快速解 答本题的关键.在三角函数求值中,有时也需要 将条件角表示为结论角的和差形式,这就要求在解 题要灵活处理条件与结论之间的关系.

1.减少函数种类:可以结合同角三角函数基本关 系采取切化弦﹑弦化切及正余切函数互化或利 用诱导公式进行正余函数的互化.另外还可以 采用倍角公式,如cos2a=1-2sin2a,进行正余弦 的互化等. 2.统一为结论角(或条件角):三角函数是以“角” 为自变量的函数,因此,角的统一是解答许多 三角函数问题的主要手段之一,主要是要理清 题设与结论中的角之间的联系,巧妙变换,达 到角的统一.

3.消除结构上的差异,主要从两个方面考虑: (1)分析题中所给三角函数式与已知三角函数公式 在结构上的异同点; (2)分析题中所给的几个三角函数式间的结构特点 及相互间的联系与差异.找到了差异,通过适 当的变换和调整,达到和谐统一,常可使问题 得到快速的解决.

3π 1.(2011 全国大纲卷)已知α ∈ (π, ),tanα = 2,则 2 cosa = ________________  .

3π 解析:因为α ∈ (π , ),所以 cos α<0, 2 cos 2 α 所以 cos α = ? cos 2 α = ? cos 2 α + sin 2 α 1 5 =? =? . 2 5 1 + tan α

解析:因为 tan( x + ) = 2,所以 = 2, 4 1 ? tan x 2 1 2 tan x 3 = 3, 解得 tan x = ,所以 tan 2 x = = 2 3 1 ? tan x 1 ? 1 4 9 1 tan x 3 4 所以 = = . tan 2 x 3 9 4

tan x 2.(2011 江苏卷)已知tan( x + ) = 2,则 的值 4 tan 2 x 为____________  . π tan x + 1

π


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