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高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第二章 函数 2.2.1

2. 2 学习目标 函数的表示法(一) 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点 .2.掌握求函数解析式的常见方法 .3.尝 试作图并从图像上获取有用的信息. 知识点一 解析法 思考 一次函数如何表示? 答案 y=kx+b(k≠0). 梳理 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称 为解析法. 知识点二 图像法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图像法. 知识点三 列表法 思考 在街头随机找 100 人, 请他们依次随意地写一个数字. 设找的人序号为 x, x=1,2,3, …, 100.第 x 个人写下的数字为 y,则 x 与 y 之间是不是函数关系?能否用解析式表示? 答案 对于任意一个人的序号 x,都有一个他写的数字 y 与之对应,故 x,y 之间是函数关系, 但因为人是随机找的,数字是随意写的,故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表 示 x 的值与 y 的值之间的对应关系. 梳理 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法. 函数三种表示法的优缺点: 1.y=x+1 与 y=x+1,x∈N 是同一个函数.( × ) 2.在坐标平面上,一个图形就是一个函数图像.( × ) 3.函数 y=f(x)的图像上任一点(x0,y0)必满足 y0=f(x0).( √ ) 4.列表法表示 y=f(x),y 对应的那一行数字可能出现相同的情况.( √ ) 类型一 解析式的求法 例 1 根据下列条件,求 f(x)的解析式. (1)f(f(x))=2x-1,其中 f(x)为一次函数; 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 由题意,设 f(x)=ax+b(a≠0), ∵f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b =a2x+ab+b=2x-1, 2 ? ?a =2, 由恒等式性质,得? ?ab+b=-1, ? ? ? ?a= 2, ?a=- 2, ∴? 或? ? ? ?b=1- 2 ?b=1+ 2. ∴所求函数解析式为 f(x)= 2x+1- 2或 f(x)=- 2x+1+ 2. 1? 2 1 (2)f? ?x+x?=x +x2; 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 1? 2 1 ? 1?2 解 ∵f? ?x+x?=x +x2=?x+x? -2, ∴f(x)=x2-2. 1 1 又 x≠0,∴x+ ≥2 或 x+ ≤-2, x x 1? 1 ∴f(x)中的 x 与 f? ?x+x?中的 x+x取值范围相同, ∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)f(x)+2f(-x)=x2+2x. 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 解 ∵f(x)+2f(-x)=x2+2x, 将 x 换成-x,得 f(-x)+2f(x)=x2-2x, ∴联立以上两式消去 f(-x),得 3f(x)=x2-6x, 1 ∴f(x)= x2-2x. 3 反思与感悟 (1)如果已知函数类型,可以用待定系数法. (2)如果已知 f(g(x))的表达式,想求 f(x)的解析式,可以设 t=g(x),然后把 f(g(x))中每一个 x 都换成 t 的表达式. (3)如果条件是一个关于 f(x),f(-x)的方程,我们可以用 x 的任意性进行赋值.如把每一个 x 换成-x,其目的是再得到一个关于 f(x),f(-x)的方程,然后消元消去 f(-x). 跟踪训练 1 根据下列条件,求 f(x)的解析式. (1)f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-f(x)=2x+9; 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 由题意,设 f(x)=ax+b(a≠0), ∵3f(x+1)-f(x)=2x+9, ∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即 2ax+3a+2b=2x+9, ? ?2a=2, 由恒等式性质,得? ?3a+2b=9, ? ∴a=1,b=3. ∴所求函数解析式为 f(x)=x+3. (2)f(x+1)=x2+4x+1; 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 解 设 x+1=t,则 x=t-1, f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1, 即 f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数解析式为 f(x)=x2+2x-2. 1? (3)2f? ?x?+f(x)=x(x≠0). 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 1? 1 解 ∵f(x)+2f? ?x?=x,将原式中的 x 与x互换, 1? 1 得 f? ? x?+2f(x)=x. ? ?f?x?+2f? ?x?=x, 于是得关于 f(x)的方程组? 1? 1 ?f? ?x?+2f?x?=x, 2 x 解得 f(x)= - (x≠0). 3x 3 1 类型二 图像的画法及应用 命题角度 1 画函数图像 例 2 试画出函数 y= 1-x2的图像. 考点 函数图像 题点 求作或判断函数的图像 解 由 1-x2≥0 解得函数定义域为[-1,1]. 当 x=± 1 时,y 有最小值 0.当 x=0 时,y 有最大值 1. 1 3 x=± 时,y= . 2 2 利用以上五点描点连线,即得函数 y= 1-x2的图像如下: 反思与感悟 描点法作函数图像的三个关注点 (1)画函数图像时首先应关注函数的定义域,即在定义域内作图. (2)图像是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像. (3)要标出某些关键点,例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实 心点还是空心点. 跟踪训练 2 作出下列函数的图像并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; 2 (2)y= ,x∈[2,+∞); x (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 考点 函数图像 题点 求作或判断函数的图像 解 (1)列表: x y 0 1 1 2 2 1 3 3 2 4 2 5 当 x∈[0,2]时,图像是

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