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2018高考调研新课标数学理高三总复习大书讲义4-4


高考调研 ·高三总复习·数学(理)

第4课时 二倍角公式

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…2017 考钢下载…
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

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请注意 1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换, 进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容. 2.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及 运用正、余弦定理判定三角形的形状,求三角形的面积等问题是 在知识交汇点处命题的一个热点问题.

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课前自助餐

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二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α =2sinα cosα ; (2)cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; 2tanα (3)tan2α = 1-tan2α

kπ π π (α≠ + 且 α≠kπ + ,k∈Z). 2 4 2

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半角公式(不要求记忆) 1-cosα α (1)sin =± 2 2 ; α (2)cos =± 2 sinα 1-cosα 1+cosα 2 ;

1-cosα α (3)tan =± 2

= = . 1+cosα 1+cosα sinα

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二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式,其他如 4α= α α 3α 2·2α; =2·;3α=2· 都适用. 2 4 2 由 cos2α =2cos2α -1=1-2sin2α 可得降幂公式:cos2α = 1+cos2α 2 1-cos2α 2 ;

;sin2α =

升幂公式 cos2α =2cos2α -1=1-2sin2α .

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3 1.(课本习题改编)下列各式中,值为 的是________. 2 ①2sin15°cos15°; ③2sin215°-1;
答案 ②

②cos215°-sin215°; ④sin215°+cos215°.

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2.(2016· 四川改编)cos A.0 C.1



8

-sin



8

等于(

)

2 B. 2 2 D.2

答案 B

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3.已知 sin10°=a,则 sin70°等于( A.1-2a2 C.1-a2
答案 解析 选 A. A

)

B.1+2a2 D.a2-1

由题意可知,sin70°=cos20°=1-2sin210°= 1-2a2.故

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4.化简 2+cos2-sin21的结果是( A.-cos1 C. 3cos1
答案 C 解析 2+cos2-sin 1 =
2

)

B.cos1 D.- 3cos1

1-cos2 2+cos2= 2

3+3cos2 = 2

3cos21= 3cos1.

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π π 4 5 .设 α 为锐角,若 cos(α+ ) = ,则 sin(2α+ ) 的值为 6 5 12 ________.

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17 2 答案 50 π 4 解析 因为 α 为锐角,cos(α+ )= ,所以 6 5 π π π 3 24 7 sin(α+ )= ,sin2(α+ )= ,cos2(α+ )= . 6 5 6 25 6 25 π π π 2 17 17 2 所以 sin(2α+ )=sin[2(α+ )- ]= × = . 12 6 4 2 25 50

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π 6.(2017· 山东淄博一模)已知 tan( +θ)=3,则 sin2θ -2cos2 4 θ =__________.

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答案

4 5

解析 方法一:sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1, π 1-tan (θ+ ) π 4 4 sin2θ=-cos2(θ+ )== , 4 5 π 2 1+tan (θ+ ) 4
2

π 2tan(θ+ ) π 4 3 cos2θ=sin2(θ+ )= = , 4 5 π 2 1+tan (θ+ ) 4

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43 4 ∴原式= - -1=- . 55 5 π 1+tanθ 1 方法二:tan( +θ)=3, =3,解得 tanθ= , 4 2 1-tanθ
2 2sin θ cos θ -2cos θ 2tanθ-2 4 2 sin2θ-2cos θ= = 2 =- . 2 2 sin θ+cos θ tan θ+1 5

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授 人 以 渔

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题型一 求 值
求值: π 2π 3π 4π (1)cos cos cos cos ; 9 9 9 9 1+cos20° (2) -sin10°( -tan5°). 2sin20° tan5° 1

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π 2π 4π 【思路】 (1)注意到 , , 之间的关系,可考虑分子 9 9 9 π 分母同时乘以 sin ,这样即可连续使用二倍角的正弦公式,从 9 而实现化简的目的. (2)切化弦、通分.

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π 2π 3π 4π 【解析】 (1)方法一:cos cos cos cos 9 9 9 9 π π 2π 4π 2π 4π 1 8sin 9 cos 9 cos 9 cos 9 1 π = cos cos cos = · 2 9 9 9 2 π 8sin 9 2π 2π 4π 4π 4π 8π 4sin cos cos 2sin cos sin 9 9 9 1 9 9 1 9 1 = · = · = · 2 2 2 π π π 8sin 8sin 8sin 9 9 9 π π sin(π - ) sin 9 9 1 1 1 = · = · = . 2 2 π π 16 8sin 8sin 9 9
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sin2α 方法二:由 sin2α=2sinαcosα,得 cosα= . 2sinα 2π 4π 8π sin sin sin 9 9 9 1 1 ∴原式= · · · = . π 2π 2 4π 16 2sin 2sin 2sin 9 9 9

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2cos210° cos5° sin5° (2)原式= -sin10° ( ) 2×2sin10°cos10° sin5° cos5° cos10° cos25°-sin25° = -sin10°· 2sin10° sin5°cos5° cos10° cos10° = -sin10°· 1 2sin10° sin10° 2 cos10° cos10°-2sin20° = -2cos10°= 2sin10° 2sin10°

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cos10°-2sin(30°-10°) = 2sin10° 1 3 cos10°-2( cos10°- sin10°) 2 2 = 2sin10° 3sin10° 3 = = . 2 2sin10° 1 【答案】 (1) 16 3 (2) 2

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★状元笔记 对于给角求值问题,如果所给角是非特殊角,解决这类问题 的基本思想有: (1)化非特殊角为特殊角; (2)化为正负相消的项,消去后求值; (3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值; (4)当有 α,2α,3α,4α同时出现在一个式子中进行,一 般将 α 向 2α,3α(或 4α)向 2α 转向,再求关于 2α 式子的值.

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思考题 1 求值:(1)sin18°cos36°; 1+cos20° (2) 2sin20° -2sin10°·tan80°.

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2sin18°cos18°cos36° 【解析】 (1)原式= 2cos18° 2sin36°cos36° sin72° 1 = = = . 4cos18° 4cos18° 4

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2cos210° sin80° (2)原式= -2sin10°· 4sin10°cos10° cos80° cos10° 2sin10°cos10° = 2sin10° sin10° cos10° sin20° cos10°-2sin20° = = 2sin10° sin10° 2sin10° cos10°-2sin(30°-10°) = 2sin10° cos10°-2(sin30°cos10°-cos30°sin10°) = 2sin10°

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1 3 cos10°-2( cos10°- sin10°) 2 2 3 = = . 2 2sin10° 1 3 【答案】 (1) (2) 4 2

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π π 12 已知 cos( -α) = , α ∈ (0 , ) ,则 4 13 4

cos2α π sin( +α) 4 =

________.

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【解析】

π sin( +2α) cos2α π 2 = = 2cos( +α) = 4 π π sin( +α) sin( +α) 4 4

π π π π π π π 2cos[ -( -α)]=2sin( -α), ∵0<α< , ∴0< -α< .又 cos( -α) 2 4 4 4 4 4 4 π 12 = ,∴sin( -α)= 13 4 5 10 式=2× = . 13 13 【答案】 10 13 π 1-cos ( -α)= 4
2

12 2 5 1-( ) = ,∴原 13 13

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★状元笔记 π 解决此类问题相对来说,已知条件中的角 -α,尽量不拆开 4 而作为一个整体去表示其他角,这样可减少运算量. 注意下列变换: π π sin2x=cos( -2x),sin2x=-cos( +2x), 2 2 π π cos2x=sin( -2x),cos2x=sin( +2x). 2 2 π 以上变换, 结合二倍角公式可将 2x 的三角函数与 ±x 的三 4 角函数联系在一起.
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π 3 17 7 思考题 2 若 cos( +x)= , π <x< π , 4 5 12 4 sin2x+2sin2x 求 的值. 1-tanx

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17π 7π 5π π 【解析】 ∵ <x< ,∴ < +x<2π . 12 4 3 4 π π 3 4 又 cos( +x)= ,sin( +x)=- , 4 5 4 5 π π ∴cosx=cos[( +x)- ] 4 4 π π π π 2 =cos( +x)cos +sin( +x)sin =- . 4 4 4 4 10 7 2 ∴sinx=, tanx=7. 10

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sin2x+2sin2x 2sinxcosx+2sin2x ∴ = 1-tanx 1-tanx 7 2 2 7 2 2 2()· (- )+2() 10 10 10 28 = =- . 1-7 75 28 【答案】 75

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题型二
2 2 2




2

1 化简:sin α sin β +cos α cos β - cos2α cos2β. 2

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【解析】 方法一:(从“角”入手,化复角为单角) 1 原式=sin αsin β+cos αcos β - (2cos2α-1)(2cos2β -1) 2
2 2 2 2

1 =sin2αsin2β -cos2αcos2β +cos2α+cos2β 2 1 =sin αsin β +cos αsin β +cos β 2
2 2 2 2 2

1 1 1 =sin β +cos β - =1- = . 2 2 2
2 2

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方法二:(从“名”入手,化异名为同名) 1 原式=sin αsin β +(1-sin α)cos β - cos2αcos2β 2
2 2 2 2

1 =cos β -sin α(cos β -sin β )- cos2αcos2β 2
2 2 2 2

1 =cos2β -sin2αcos2β - cos2αcos2β 2 1 =cos β -cos2β (sin α+ cos2α) 2
2 2

1+cos2β 1 1 = - cos2β = . 2 2 2

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方法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1-cos2α 1-cos2β 1+cos2α 1+cos2β 1 原式= · + · - cos2α· cos2 2 2 2 2 2 1 β = (1+cos2 α cos2 β -cos2 α -cos2 β +1+cos2 α cos2 β +cos2 α 4 1 1 1 1 +cos2β )- cos2αcos2β = + = . 2 4 4 2

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方法四:从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方 原式=(sinα· sinβ -cosα· cosβ )2+2sinα· sinβ · cosα· cos 1 1 1 2 β - cos2α·cos2β =cos (α+β)+ sin2α· sin2 β - cos2α· cos2 2 2 2 1 1 1 2 2 β =cos (α+β)- ·cos(2α+2β)=cos (α+β)- ·[2cos (α+β )-1]= . 2 2 2
2

1 【答案】 2

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★状元笔记 分式的化简关键是将分子、分母、分解因式,然后约分,运 用二倍角的变形公式.可将一些多项式化为完全平方式,便于分 解因式.同学们应熟练掌握下列公式. 1±sin2α=(sinα±cosα)2, 1+cos2α=2cos2α, 1-cos2α=2sin2α. 在一些根式的化简中也经常用到上述公式.

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α

α

(1+sinα+cosα)(sin -cos ) 2 2 思考题 3 化简: 2+2cosα

(π <α <2π ).

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α α α α (2cos +2sin cos )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 【解析】 原式= 2α 4cos 2 α α α α α 2cos (cos +sin )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 = α 2|cos | 2 α α 2α 2α cos (sin -cos ) cos (-cosα) 2 2 2 2 = = , α α |cos | |cos | 2 2



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π α α ∵π <α<2π ,∴ < <π .∴cos <0. 2 2 2 α -cos cosα 2 ∴原式= =cosα. α -cos 2 【答案】 cosα

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π (1) 函 数 f(x) = cos(2x+ )+sin2x 的 最 小 正 周 期 是 3 ________. π (2)函数 f(x)=4cosω x·sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为π , 4 则 ω=________.

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【解析】

π π 1-cos2x 1 (1)f(x) = cos2xcos -sin2xsin + = 3 3 2 2

3 11 1 3 cos2x- sin2x+ - cos2x= - sin2x. 2 22 2 2 ∴f(x)的最小正周期为π .

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π (2)f(x)=4cosωx·sin(ωx+ )=2 2sinωx·cosωx+2 2cos2 4 π ωx= 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2=2sin(2ωx+ )+ 2, 因为 f(x)的最 4 2π 小正周期为π ,且ω>0,所以有 =π ,故 ω=1. 2ω 【答案】 (1)π (2)1

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★状元笔记 三角函数式的化简,经常需要降次,记住下列经常使用的降 次公式: cos2x-sin2x=cos2x, 1-cos2x 1+cos2x 2 sin x= ,cos x= , 2 2
2

1 sinxcosx= sin2x,sin2x+cos2x=1. 2

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思考题 4

(2015· 浙江,文)函数 f(x)=sin2x+sinxcosx+1

的最小正周期是________,最小值是________.

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π 3 2 【解析】 由题可得 f(x)= sin(2x- )+ ,所以最小正周期 2 4 2 3- 2 T=π ,最小值为 . 2 【答案】 π 3- 2 2

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求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型,其解题一般 思路为“五遇六想”即:遇切割,想化弦;遇多元,想消元;遇 差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引 辅角.“五遇六想”作为解题经验的总结和概括,操作简便,十 分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联系,促进转化), 两种数学思想(转化思想和方程思想);三个追求目标(化为特殊角 的三角函数值,使之出现相消项或相约项),三种变换方法(切割 化弦法,消元降次法,辅助元素法).

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高考调研 ·高三总复习 ·英语

请做:题组层级快练 (二十三)

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