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2016届二轮 几何证明选讲检测卷 文 (全国通用)


2016 高考数学二轮复习 专题 几何证明选讲检测卷 文(选修 4-1)
1.(2015·陕西卷)如图, AB 切⊙O 于点 B, 直线 AO 交⊙O 于 D, E 两点,

BC⊥DE,垂足为 C.
(1)证明:∠CBD=∠DBA; (2)若 AD=3DC,BC= 2,求⊙O 的直径. (1)证明 因为 DE 为⊙O 直径, 则∠BED+∠EDB=90°, 又 BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED, 又 AB 切⊙O 于点 B,得∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA. (2)解 由(1)知 BD 平分∠CBA,则 =

BA AD =3, BC CD
2 2 2

又 BC= 2, 从而 AB=3 2, 所以 AC= AB -BC =4, 所以 AD=3, 由切割线定理得 AB =AD·AE, 即 AE=

AB2 =6,故 DE=AE-AD=3,即⊙O 直径为 3. AD

2.(2015·全国Ⅰ卷)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小. (1)证明 连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt △AEC 中,由已知得,DE=DC, 故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是⊙O 的切线. (2)解
2

设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,BE= 12-x .由射影定理可得,AE =CE·BE,
2

2

2

所以 x = 12-x , 即 x +x -12=0. 可得 x= 3,所以∠ACB=60°. 3.(2015·全国Ⅱ卷)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底 边 BC 交于 M、N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相 切于 E、F 两点.
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4 2

(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积. (1)证明 由于△ABC 是等腰三角形, AD⊥BC, 所以 AD 是∠CAB 的平分线. 又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF.从而

EF∥BC.
(2)解 由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为

⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上. 连接 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 因为 OM=OE=2,DM= MN= 3, 2 所以 OD=1.于是 AD=5,AB= 10 3 . 3

1 ?10 3?2 3 1 3 16 3 2 所以四边形 EBCF 的面积为 ×? × - ×(2 3) × = . 2 ? 3 ? 2 2 2 3 ? 4.如图所示,⊙O 的直径为 AB,AD 平分∠BAC,AD 交⊙O 于点 D,BC∥DE, 且 DE 交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 AB=10,AC=6,求 DF 的长. (1)证明 如图所示,连接 OD, 可得∠ODA=∠OAD=∠DAC, 所以 OD∥AE,又 BC⊥AC 且 BC∥DE, 所以 DE⊥AC, 故 DE⊥OD,又 OD 为半径, 所以 DE 是⊙O 的切线. (2)解 过点 D 作 DH⊥AB 于 H,则有∠DOH=∠CAB,

又 AB 为⊙O 的直径, 则∠ACB=90°,则 cos∠DOH=cos∠CAB=

AC 3 OH = = . AB 5 OD

因为 OD=5,所以 OH=3,DH=4,AD=4 5, 由角平分线的性质知 AE=AH=8, 又由△AEF∽△DOF 可得

AF AE 8 = = , DF DO 5

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所以 DF=

5×4 5 20 5 = . 13 13

5.如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接 圆于 F,G 两点.若 CF∥AB. 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 证明 (1)如图,因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, 所以 DE∥BC.又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连接 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB, 所以 BC=AF,故 CD=BC. (2)因为 FG∥BC, 故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF, 所以 GB=BD. ∴∠BGD=∠BDG,由 BC=CD 知,∠CBD=∠CDB. 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD.

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