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第二章 系统建模的基本方法与模型处理技术


自动化专业选修课程

计算机辅助设计基础
武汉大学动机学院 郭江华 Email: haihua2@163.com Tel: 13098857567

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第2章 系统建模的基本方法 和模型处理技术

相似原理

模型处理 技术

建模方法学

确定型系统 数学模型

本章的学习目的和要求
系统建模是系统仿真的基础,系统模型化 技术是系统仿真的核心。有了数学模型,便可 以在计算机上研究实际系统的动态特性了。 本章主要介绍系统数学模型的建模原理、 建立方法,并对数学模型的几种常见的表示形 式进行归纳,以及模型之间的转换和处理方法。 这些内容将为学习计算机仿真技术和对系 统的动态特性进行深入研究建立一个基础。

2.1 相似原理
? 相似的定义
所谓相似,是指各类事物间某些共性的客观存在。 相似性是客观世界的一种普遍现象,它反映了客观世 界中不同物理系统和物理现象具备某些共同的特性和 规律。 采用相似理论建立物理系统的相似模型,这是相 似理论在系统仿真中最基本的体现。相似理论是系统 仿真的最主要的基础理论之一。

2.1 相似原理
? 相似性定理1
(1)自反性 (2)对称性 (3)传递性

? 相似性定理2
(1)相似的系统具有相同的数学描述 (2)表征相似系统的参数在四维空间成比例关系

(3)相似倍数不能是任意的,而是彼此相约束的

相似的方式
? 几何相似,就是把真实系统按比例放大或缩 小,其模型的状态向量与原物理系统的状态完全相 同。土木建筑、水利工程、船舶、飞机制造多采用 几何相似原理进行各种仿真实验。 ? 环境相似,就是人工在实验室里产生与所研 究对象在自然界中所处环境类似的条件,比如飞机 设计中的风洞,鱼雷设计中的水洞、水池等等。 ? 性能相似,则是用数学方程来表征系统的性 能,或者利用数据处理系统,来模仿该数学方程所 表征的系统。性能相似原理也是仿真技术遵循的基 本原理。

相似的方式
(1) 几何相似 (3) 数学相似 (2) 模拟

相似的方式
(4) 感觉信息相似 (5)逻辑思维相似 (6)生理相似

2.2 建模方法学
? 数学模型的作用

提 高 认 识 能 力

?

通信

管理

思考

控制

理解

设计

?

加 强 决 策 能 力

2.2 建模方法学
? 数学建模方法 一、信息源
? 建模目的:它规定了建模的过程和方向,从 而造成了系统描述不是唯一的。 ? 先验知识:

? 实验数据:

2.2 建模方法学
? 数学建模方法
二、建模途径
? 白盒系统:利用已知的基本定律,经过分析 和演绎导出模型。 ? 黑盒、灰盒系统(允许实验性观测):可假 设模型并进行实验验证和修改。 ? 黑盒系统(不允许实验性观测) :可采用数 据收集和统计归纳的方法来假设模型。

2.2 建模方法学

2.2 建模方法学
? 数学建模方法
三、模型可信性
? 行为水平上:模型是否能重现真实系统的行为。 ? 状态结构水平上:模型是否与真实系统在状态上 互相对应,可以对未来的行为进行唯一的预测。

? 分解结构水平上 :模型是否能表示出真实系统 内部的工作情况,而且是唯一的表示出来。

2.3 确定型系统的数学模型
? 连续时间系统的模型 ? 连续系统数学模型之间的转换

? 离散时间系统的模型
? 采样系统的数学模型

2.3.1 连续时间系统的模型
? 微分方程(时域模型) ? 传递函数(复域模型)

? 状态方程
? 结构图(几何模型)

微分方程
例 机械位移系统 根据牛顿第二定律 ? F ? t ? ? FK ? t ? ? FB ? t ? ? ma ? ? FK ? t ? ? ky ? t ? ? ? dy ? t ? ? FB ? t ? ? f
? dt ? d 2 y ?t ? ?a ? ? dt 2 ?

输入量为 输出量为

F (t )

y (t )

m

d 2 y ?t ? dt
2

? f

dy ? t ? dt

? ky ? t ? ? F ? t ?

微分方程

? 编写微分方程的步骤
1.将系统正确划分为若干环节,并确定出个 各节乃至整个系统的输入量和输出量。
2.根据各环节物理规律,依次列写微分方程, 联立方程组。 3.消去中间变量,求取系统的微分方程。 4.将系统的微分方程整理成标准形式。

微分方程
例 RLC电路 根据基尔霍夫第二定律
Ri ? t ? ? L i ?t ? ? C di ? t ? dt ? u0 ? t ? ? ui ? t ?

du0 ? t ? dt

输入量为 ui (t ) 输出量为 u0 (t )

du0 ? t ? d 2 u0 (t ) LC ? RC ? u0 ? t ? ? ui ? t ? 2 dt dt

微分方程
系统的阶数就是指描述该系统的微分方程的阶 数,可能是一阶、二阶或高阶,完全取决于系统自 身的结构和参数。 对于单输入—单输出的线性定常系统来讲,其 动态特性可用下列微分方程的一般形式来表示:
a0 d nc ?t ?
n

? b0

dt d m r ?t ? dt
m

? a1

d n ?1c ? t ?
n ?1

? b1

dt d m ?1r ? t ? dt
m ?1

? ? ? an ?1

dc ? t ?

? ? ? bm ?1

dt dr ? t ? dt

? an c ? t ? ? bm r ? t ?

微分方程

? 微分方程的求解
1.经典法求解

2.零输入响应和零状态响应
3.拉氏变换法

4.直接迭代法

传递函数
例 RC电路

(1)当u1为输入,u2为输出时:

?u1 ? Ri ? u2 ? ? du2 ?i ? C dt ?

RCsU 2 ? s ? ? U 2 ? s ? ? U1 ? s ?
du2 RC ? u 2 ? u1 dt

U 2 (s) 1 G (s) ? ? U1 ( s ) RCs ? 1

传递函数
例 RC电路

(2)当u1为输入,i 为输出时:

?u1 ? Ri ? u2 ? ? du2 ?i ? C dt ?

1 RsI ? s ? ? I ? s ? ? sU1 ? s ? C
du1 di 1 R ? i? dt C dt
G(s) ? I (s) Cs ? U1 ( s ) RCs ? 1

传递函数

? 传递函数的定义
当初始条件为零时,系统输出量的拉氏 变换与系统输入量的拉氏变换之比。 The transfer function of a linear timeinvariant system is defined as the Laplace transform of the impulse response, with all the initial conditions set to zero.

传递函数
设线性定常系统的输入量为 ,输出 量为 ,则系统微分方程一般形式为:

传递函数
在零初始条件下取Laplace变换得:

传递函数为:

分析、理解
?

传递函数表示系统传递输入信号的能力,反 映系统本身的动态性能。它只与系统的结构 和参数有关,与外部作用等条件无关。 一般有n≥m 同一个系统,当输入量和输出量的选择不相 同时,可能会有不同的传递函数。 不同的物理系统可以有相同的传递函数。

? ?

?

传递函数

? 传递函数的性质
1.传递函数只适用于线性定常系统。 2.传递函数只描述系统的输入输出特性,不能 表示系统内部所有状态的特性。 3.传递函数只取决于系统的结构和参数与输入 量无关。 4.传递函数不能反映系统的物理结构。 5.传递函数通常为s有理分式。

状态方程

? 定义
(1)状态:系统过去、现在和将来的状况 能够完全表征系统运动状态的 (2)状态变量: 最小一组变量:

a. x ? t ?t ?t ? x(t0 ) 表示系统 t 时刻的状态 b. 当 t ? t 时的输入 u ?t ? 给定,且上述初始
0

0

0

状态确定时,状态变量能完全确定系统 在 t ? t 0 时的行为

状态方程
(3) 状态向量:以系统的 n 个独立状态变量
x1 ? t ? , L, xn ? t ? 作为分量的向量,即 x ? t ? ? ? x1 ? t ? , L, xn ? t ?? .
T

(4) 状态空间: 以状态变量 x1 ? t ? ,?, xn ? t ?为坐
标轴构成的 n 维空间。

状态方程
(5)状态方程:描述系统状态与输入之间关系

? 的、一阶微分方程(组):x(t ) ? Ax(t ) ? Bu(t )
(6)输出方程:描述系统输出与状态、输入之间关 系的数学表达式: y(t ) ? Cx(t ) ? Du(t )
(7)状态空间表达式: (5)+ (6).

状态方程

? 状态变量的特点
(1)独立性:状态变量之间线性独立.

(2)多样性:状态变量的选取并不唯一,实际上存在
无穷多种方案. (3)等价性:两个状态向量之间只差一个非奇异变换 (4)现实性:状态变量通常取为涵义明确的物理量 (5)抽象性:状态变量可以没有直观的物理意义.

状态方程

? 状态空间表达式的一般形式
(1)线性系统
? x ?t ? ? A ?t ? x ?t ? ? B ?t ? u ?t ?

{??

其中,A为系统矩阵,B

y t ? C ?t ? x ?t ? ? D ?t ? u ?t ?

为控制矩阵,C为输出矩
阵,D为直接传递矩阵。

x ? Rn , u ? R p ,
(2)非线性系统

y ? Rq



? x ? f ? x, u, t ? y ? g ? x, u, t ?

结构图

? 定义
将系统中所有的环节用方框图表示,图 中标明其传递函数,并且按照在系统中各环 节之间的联系,将各方框图连接起来。

结构图也是系统的一种数学模型,它实 际上是数学模型的图解化。

结构图

? 动态结构图组成符号
信号线 综合点 引出点 方框

结构图

? 动态结构图的绘制步骤
1.由输入到输出的顺序,依次列写出系统 的全部运动方程。 2.对上述方程进行拉氏变换,求出全部象 方程。 3.根据象方程画出对应各个环节的方框。 4.正确连接各环节方框。

结构图
例 画出下图两级RC网络动态结构图。

结构图
(1)列写系统全部运动方程,并进行拉氏变换

结构图
(2)画出各环节框图

结构图
(3)将基本方框按照信号流向正确连接

2.3.2 连续系统数学模型之间的转换
? 微分方程 → 状态方程 ? 传递函数 → 状态方程 ? 结构图 → 状态方程 ? 状态方程 → 传递函数

化微分方程为状态方程
? ?

对于单输入/单输出系统

假如一个连续系统可用微分方程来描述,系 统输入量中不含导数项,即:

d y d y d y dy ? a1 n?1 ? a2 n?2 ? ? ? an?1 ? an y ? u n dt dt dt dt

n

n ?1

n ?2

化微分方程为状态方程
引入各状态变量
x1 ? y x2 xn ? dy ? ? ? x1 ? ? dt ? ? ? d n ?1 y ? ? ? ? xn ?1 ? n ?1 dt ?
n ?1 n?2

则有:

d y d y d y dy ? xn ? n ? ?a1 n?1 ? a2 n?2 ? ? ? an?1 ? an y ? u ? dt dt dt dt ? a1 xn ? a2 xn?1 ? ? ? an?1 x2 ? an x1 ? u

n

化微分方程为状态方程
将上述

n

个一阶微分方程组写成矩阵形式可得

? x ? Ax ? Bu
y ? Cx

其中
1 ? 0 ? 0 0 ? A? ? ? ? ? ?? an ? an?1 ? ? ? ? ? ? ? ? a1 ? 0 ? 0 1 ? 0 ? ? 1 ? 0? ? 0? B?? ? ??? ?? ?1? C ? ?1 0 ? 0?

化微分方程为状态方程
例 系统如图所示
L

R2

u

iL

R1

uc

选择状态变量:

x1 ? iL , x2 ? uC ,

化微分方程为状态方程
duC diL 1 iL ? (u ? L ) ?C dt R1 dt duC diL L ? uC ? C R2 ? u dt dt
整理得:

uC R1 diL u iL R1R2 ? ? ( )? dt L L R1 ? R2 L R1 ? R2

duC R1 1 ? iL ? uc dt C ? R1 ? R2 ? C ? R1 ? R2 ?

化微分方程为状态方程
状态方程为:

dx1 R1 x2 uC 1 R1R2 ?? ( ) x1 ? ? dt L R1 ? R2 R1 ? R2 L L dx2 R1 1 ? x1 ? x2 dt C ? R1 ? R2 ? C ? R1 ? R2 ?
输出方程为:

y ? uC ? x2

化微分方程为状态方程
写成矩阵形式
? 1 R1 R2 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? ? L R1 ? R2 ? ? ? R ? x2 ? ? ?? ? ? C ( R1 ? R2 ) R1 ? ?1? ? ? ? x1 ? ? ? L ? R1 ? R2 ? ? ? L ? ? ? ?u ?? ? ? ? 1 ? ? ? x2 ? ? 0 ? C ( R1 ? R2 ) ? ? ? ? ?

y ? ?0

? x1 ? 1? ? ? ? ? ? x2 ? ? ?

化微分方程为状态方程
?

假如系统输入量中含有导数项,则:

? ? x1 ? ? ? a1 ? x ? ? ?a ?2 ? ? ? 2 ? ? ??? ? ? xn?1 ? ?? an?1 ? ? ? ? ? xn ? ? ? an ?? ? ?

1 0 ? 0? ? x1 ? ? c1 ? c0 a1 ? ?? x ? ? c ?c a ? 0 1 ? 0 2 ?? ? ? 2 0 2 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?u 0 0 ? 1? ? xn?1 ? ?cn?1 ? c0 an?1 ? ? ?? ? ? 0 0 ? 0? ? xn ? ? cn ? c0 an ? ?? ? ? ?

化微分方程为状态方程
? x1 ? ?x ? ? 2 ? y ? ?1 0 ? 0? ? ? ? ? c0u ?x ? ? n ?1 ? ? xn ? ? ?

若已知 y, u 及其各阶导数项的初始值,则可 直接求出各个状态变量的初值。这是因为由上式表 示的状态方程的状态变量仅与输入 u 和输出 y 及 其各阶导数有关,而与其他状态变量无关。

化微分方程为状态方程
例 已知微分方程及初值如下,将其化成状态空间表 达式。
d3y d2y dy d 2u du ? 7 2 ? 12 ? 2 ? 3 ? 2u 3 dt dt dt dt dt

解: 据公式可写出状态空间表达式如下:
? ? x1 ? ? ? 7 1 0? ? x1 ? ?1? ? x ? ? ?? 12 0 1? ? x ? ? ? 3?u ? ? 2? ? ?? 2 ? ? ? ? x3 ? ? 0 0 0? ? x3 ? ?2? ?? ? ? ?? ? ? ?

? x1 ? y ? ?1 0 0? ? x2 ? ? ? ? x3 ? ? ?

化传递函数为状态方程

? 直接分解法
单输入单输出线性定常系统传递函数:

Y ?s? b1s n ?1 ? ? ? bn ?1s ? bn G ?s? ? ? n U ? s ? s ? a1s n ?1 ? ? ? an ?1s ? an

化传递函数为状态方程
Y ?s? b1s n ?1 ? ? ? bn ?1s ? bn G ?s? ? ? n U ? s ? s ? a1s n ?1 ? ? ? an ?1s ? an
输出为:

b1s ? ? ? bn ?1s ? bn s ? n Y ?s? ? U ?s? 1 ? a1s ?1 ? ? ? an ?1s ? ( n ?1) ? an s ? n
令:

?1

?? n ?1?

1 E ?s? ? U ?s? 1 ? a1s ?1 ? ? ? an?1s ? ( n?1) ? an s ? n

化传递函数为状态方程
则有:

E ? s ? ? U ? s ? ? a1s ?1E ? s ? ? a2 s ?2 E ? s ? ?? ? an s ?n E ? s ?
Y ? s ? ? b1s ?1 E ? s ? ? b2 s ?2 E ? s ? ? ? ? bn ?1s ? ( n ?1) E ? s ? ? bn s ? n E ? s ?

令: s ?1 E ( s), s ?2 E ( s), ?, s ? n E ( s) 分别表示

的L氏反变换,则系统的状态空间 xn , xn?1 ,?, x1,
表达式为:

化传递函数为状态方程
? ? x1 ? ? 0 ?x ? ? ? ?2 ? ??? ?? ? ? 0 ? ? ? ? ? xn ? ? ?an 1 ? 0 ?an?1 ? 0 ?? x1 ? ? 0 ? ?? x ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? u ? 1 ?? ? ? ? 0 ? ?? ? ? ? ? ?a1 ?? xn ? ? 1 ?

y ? ? bn

bn?1 ? b1 ?? x1

x2 ? xn ? ? b0u.
T

可控标准型

化传递函数为状态方程
? ? x1 ? ? 0 0 ? ?an ? ? x1 ? ? bn ? ? x ? ? 1 0 ? ?a ? ? x ? ? ? ? ?2 n ?1 ? ? 2 ? ? ??? ? ? ?u ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? b2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? xn ? ? 0 0 ? ?a1 ? ? xn ? ? b1 ?

y ? ? 0 0 ? 1? ? x1

x2 ? xn ? ? b0u.
T

可观标准型

化传递函数为状态方程

? 并联分解法
极点两两相异时

N ?s? G?s? ? N ?s? D?s? ? ? s ? ?1 ?? s ? ?2 ??? s ? ?n ? c1 c2 cn ? ? ??? ? s ? ?n ? ? s ? ?1 ? ? s ? ?2 ?
其中:

ci ? lim ? s ? ?i ? G ? s ?
s ??i

化传递函数为状态方程
1 令: xi ? s ? ? u ?s? ? s ? ?i ? ? sxi ? s ? ? ?i xi ? s ? ? u ? s ?
则有:

? xi ? t ? ? ?i xi ? t ? ? u ? t ? n n ci y?s? ? ? ui ? s ? ? ? ci xi ? s ? i ?1 s ? ?i i ?1
y ? t ? ? ? ci xi ? t ?
i ?1 n

则有:

化传递函数为状态方程
系统的矩阵式表达:

? ? x1 ? ? ?1 0 ? 0 ?? x1 ? ?1? ? x ? ? 0 ? ? ? ?? x ? ? ? ? 2 ? 2??? ?? 2 ? ? ? ? ? u ? ? ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? ?1? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? xn ? ? 0 ? 0 ?n ?? xn ? ?1? ? x1 ? ?x ? ? 2? y ? ? b1 b2 ? bn ? ? ? ? ? ? ? xn ?

对 角 线 标 准 型

化传递函数为状态方程
?1 为 r 重
0 ??1 1 ? ? ? ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 A?? ? r ?1 ? ?第 行 ?k ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?n ? ? ?
T

特征根

约 当 标 准 型

B ? ?0 ? 0 1 1 ? 1?

C ? ?r11 r12 ? r1k rk ?1 ? rn ?

化传递函数为状态方程
4s 2 ? 17s ? 16 , 求其约当标准型实现。 例 设 G ?s ? ? 3 2 s ? 7s ? 16s ? 12

解: 将 G?s ? 按分母因式展开成部分分式,由公式得
r13 r11 r12 G ?s ? ? ? ? 2 ?s ? 2? s ? 2 s ? 3 4 s 2 ? 17 s ? 16 r11 ? lim ?s ? 2 ? G ?s ? ? lim ? ?2 s ??2 s ??2 s?3 d d ? 1 ? 2 ?s ? 2? G?s ? ? slim2 ?4s ? 5 ? r12 ? lim ??3 s ??2 ds ?? ds s ? 3? ? r13 ? lim ?s ? 3?G ?s ? ? 1
2

?

?

s ??2

化传递函数为状态方程
? ? x1 ? ?? 2 1 0? ? x1 ? ?0? ? x ? ? ? 0 ? 2 0? ? x ? ? ?1?u ?2 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? x3 ? ? 0 0 3? ? x3 ? ?1? ?? ? ? ?? ? ? ? ? x1 ? y ? ?? 2 3 1? ? x2 ? ? ? ? x3 ? ? ?

由上述可见,对于同一个系统,实现不是唯一的。 因此在进行数字仿真研究时,可以根据具体情况选择适 当的形式。当给定初值为状态变量 x1 ?0?,?, xn ?0? 时,选 用可控标准型比较方便;而当给定初值为输入和输出量 的各阶导数 u?0?, u?0?, ?, u ?n?2 ? ?0?, y ?0?, y ?0?, ?, 时,选用可 ? ? 观标准型比较方便。

化系统结构图为状态方程
在系统设计过程中较为经常遇到的情况是,已知 系统的动态结构图,并且其中某些环节的参数已知, 要求确定一些环节的参数或者改变一些环节的形式, 使系统的性能满足要求。此时若用结构图化简求出等 效的闭环传递函数,再将其转换成状态空间的形式, 就显得不方便了。其主要缺点是: ⑴ 系统经常是由许多环节组成的,并且系统中常有 许多小环节,如果用传递函数仿真计算,就必须由研 究人员事先将小闭环的传递函数求出,然后求出总的 开环或闭环传递函数,这项工作显然是十分麻烦的。

化系统结构图为状态方程
⑵ 既然写出了总的传递函数,系统中某个环节或某 个小闭环中的参数对系统传递函数的影响将是复杂的, 这样研究参数变化对系统性能的影响是十分不方便的。 ⑶ 若系统中含有非线性环节时,就很难处理。 为了解决这些实际问题,就很自然地想到,能否将结 构图不经化简略做变换或直接对应写出状态空间表达 式。显然,这样处理,由于输入的数据是各节的参数, 因此,要研究某些参数对系统性能的影响将是十分方 便的。这一节所讨论的问题也是面向结构图仿真技术 的基础。

化系统结构图为状态方程

? 模拟结构图
所谓模拟结构图,就是将整个系统的动态环节 全部用积分环节及比例环节来表示。采用这种方法, 首先要将结构图变换成模拟结构图的形式,然后根 据积分环节选择状态变量,积分环节的个数便为状 态方程的阶数,由各环节连接关系可方便地得到状 态方程和输出方程。

化系统结构图为状态方程
首先将动态结构图转换为模拟结构图:

图2.3.2 系统的模拟结构图

化系统结构图为状态方程
若选取每个积分环节的输入为 ui ,输出为 xi 。 则各积分环节的微分方程为 a1 u1 ? ? x4 ? x1 ? u0 ? x1 ? B1u1 B1 ? b1 ? a1 ? B1 ? ? x 2 ? u2 ? u2 ? x1 ? ?u0 ? x4 ? ? ? x 3 ? a 3 u3 u3 ? x 2 ? x 3 ? ? ? x 4 ? a 4 u4 u4 ? x3 ? x4 ? 若用矩阵表示,则有

? x ? Ku u ? Wx ? W0 u0

化系统结构图为状态方程
式中: K是一个 4 ? 4 维的对角方阵,即
K ? diag ?B1 ,1, a3 , a4 ?
? 1? 0 0 ? 1? ? 1 ?1 0 ? ? 0 1 ? 1? 0 0

W 及 W0 为连接矩阵,分别为
?? a1 B1 ? 1 W ?? ? 0 ? ? 0 ?1? ?1? W0 ? ? ? ? 0? ? ? ? 0?

若将 式中

? u 代入 x 中,则得
A ? KW

? x ? KWx ? KW0u0 ? Ax ? Bu 0 B ? KW0

分析、理解
利用模拟结构图转换为状态方程的步骤如下: ⑴ 首先将结构图变换成模拟结构图的形式; ⑵ 然后确定状态变量,每个积分环节选做一个状态变 量并编号; ⑶ 根据模拟结构图写出积分环节增益矩阵 ; ⑷ 根据各环节输入与输出之间的关系写出连接矩阵; ⑸ 列写状态方程。 上述方法是针对单输入单输出系统讨论的,它使用 起来比较简单。其基本思想可以推广到多输入多输出 系统,采用仿真矩阵的方法来实现。

实际中应用的一般方法
? 积分环节
G (s) ? Y ( s ) a0 ? U (s) S

u

a0

? x

1 s

y

x

状态方程为:

? x ? a0 u y?x

? ? ?

实际中应用的一般方法
? 比例积分环节
其中
u
c ? ds ? a0 ? a a G (s) ? 0 1 bs S a0 ? c / b a1 ? d / c

? x
a0
a0a1

1 s

x

+

?
+

y

状态方程为:

? x ? a0 u

? ? y ? x ? a0 a1u ?

实际中应用的一般方法
? 惯性环节
其中
u
a0

c ? a0 G ( s) ? a ? bs S ? a1 a0 ? c / b a1 ? a / b

?

? x
-

x 1
s
a1

y

状态方程为:

? x ? a1 x ? a0u y?x

? ? ?

化状态方程为传递函数
状态方程:

传递函数矩阵为:

其中

2.3.3 离散时间系统的模型
? 差分方程 ? 离散传递函数

? 结构图
? 离散状态方程

? 数学模型之间的转化

2.3.3 离散时间系统的模型
一.离散时间系统定义
一个系统,若输入是离散时间信号,输出也是离

散时间信号,则此系统为离散时间系统.

X(n)

T?

?

Y(n)=T[x(n)]

2.3.3 离散时间系统的模型
线性时不变离散系统的数学模型为常系数线性差分 方程:

a0 y(n) ? a1 y(n ? 1) ? ? ? aN y(n ? N )
? b0 x(n) ? b1 x(n ? 1) ? ? ? bM x(n ? M )
各序列的序号自 n 以递减方式给出,称后向 (或 右移序)差分方程。
或写作

? a y (n ? k ) ? ? b x(n ? r )
k ?0 k r ?0 r

N

M

2.3.3 离散时间系统的模型
另一种形式:

aN y(n ? N ) ? aN ?1 y(n ? N ? 1) ? ? ? a0 y(n)
? bM x(n ? M ) ? bM ?1 x(n ? M ? 1) ? ? ? b0 x(n)
各序列的序号自 n 以递增方式给出,称前向 (或左移序)差分方程。 或写作

? a y (n ? k ) ? ? b x(n ? r )
k ?0 k r ?0 r

N

M

M ?N

2.3.3 离散时间系统的模型
说明: (1)差分方程的阶数:输出序列的最高序号与最低序号之

差。
(2)前向差分方程与后向差分方程之间可以相互转换。 (3)要求解n 阶差分方程,需要有n 个独立的初始条件 。

2.3.3 离散时间系统的模型
二、离散时间系统的基本符号单元
y (n ) y (n )

1/E D

y ( n ? 1) y ( n ? 1)

y (n )

?
a

ay (n )

a
ay (n )

(a)单位延时
x1 ?n?

y (n )

?

x1 ?n? ? x2 ?n?

y (n )

x2 ?n?

a

ay (n )

(b)相加

(c)乘系数

2.3.3 离散时间系统的模型
例:某离散系统如图所示,试写出其差分方程。
x(n)
?

y (n ? 1)
D

y (n)
D

y (n ? 1)

3
?2

解:由模拟图知,加法器的输出为 y (n ? 1) ,另一延时器的 输出为 y (n ? 1) 。 对加法器列方程,得

y(n ? 1) ? x(n) ? 3 y(n) ? 2 y(n ? 1)

整理,得 y(n ? 1) ? 3 y(n) ? 2 y(n ?1) ? x(n)

2.3.3 离散时间系统的模型
例如:给出下面两个系统

x(n)

?

y(n) ? ay(n ? 1) ? x(n)
?a

y (n)
1 E

(a)

x(n)
(b)

?

y(n ? 1)

1 E

1 y(n) ? [ y(n ? 1) ? x(n)] a
y (n)

a

2.3.3 离散时间系统的模型
讨论: 1这两个系统没有本质 区别,仅输出信号的取 出端有所 不同。在相同输入下, 响应形式相同,但(b )图较(a) 图输出延时一位。

2、一般因果系统用后 向差分方程比较方便( 如数 字滤波器描述)。 3、在状态变量分析中 习惯用前向形式的差分 方程。 4、前向差分方程的求 解方法与后向差分方程 类似。

2.3.3 离散时间系统的模型
三、从常系数微分方程得到差分方程
1、差分方程的迭代求解(阶次较低时常用此法)
y(n) ? ay(n ? 1) ? x(n) x(n) ? ? (n)
n ? 0,y (0) ? ay(?1) ? x(0) ? 0 ? ? (n) ? 1 n ? 1,y (1) ? ay(0) ? x(1) ? a ? 0 ? a n ? 2,y (2) ? ay(1) ? x(2) ? a ? a ? 0 ? a 2 ? n ? n,y (n) ? ay(n ? 1) ? x(n) ? a n ? y ( n) ? a n u ( n)

2.3.3 离散时间系统的模型
2、从常系数微分方程得到差分方程
在连续和离散之间作某种近似:

y (t ) ? y (n) dy (t ) 1 ? [ y ( n ? 1) ? y (n)] dt Ts

2.3.3 离散时间系统的模型
dy ? y (t ) ? x(t ) dt
dy y (t ? T ) ? y (t ) ? dt T

dy dt

y (t ? T )

t
T

dy y (nT ? T ) ? y (nT ) 1 1 ? ? y ( n ? 1) ? y ( n) dt T T T

y (n ? 1) ? (1 ? T ) y (n) ? Tx(n)

2.3.3 离散时间系统的模型
x(t )
取近似: y (t ) ? y (n)
y (t )
dy (t ) RC ? y (t ) ? x(t ) dt

dy (t ) RC RC ? [ y (n ? 1) ? y (n)] dt Ts

RC [ y (n ? 1) ? y (n)] ? y (n) ? x(n) Ts

Ts Ts y (n ? 1) ? (1 ? ) y ( n) ? x ( n) RC RC

2.3.3 离散时间系统的模型
例:梯形网络如图,试列写节点电压v(n)的差分方程。
v(0)
?
v( N ? 1)

v(1)

v(2)

R

R

?
R

v (N )

vs ?

R

R

R R

R

解:第 n个节点如图所示,其 KCL 方程为
v(n ? 1) ? v(n) v(n) ? v(n ? 1) v(n) ? ? R R R
v(n ? 1) v(n) v(n ? 1)

R

R

R

整理得

? v(n ? 1) ? (2? ? 1)v(n) ? v(n ? 1) ? 0

2.4 Matlab语言中的模型表示
在Matlab语言中有丰富的系统模型指令来处理各 种不同的问题,最常使用的模型有:传递函数模型、 零极点增益模型、状态空间模型三种形式。下面给出 他们的使用方法说明。 ?指令ss( ):产生一个状态空间模型,或将模型变换 为状态空间模型。 例:sys = ss(A,B,C,D) 产生一个连续时间状态空间模型sys,模型的参数矩 阵为A,B,C,D。

2.4 Matlab语言中的模型表示
sys = ss(A,B,C,D,Ts) 产生一个离散时间状态空间模型sys,采样时间是Ts sys = ss(sys1) 变换一个线性时不变模型sys1为状态空间模型sys, 即计算模型sys1的状态空间实现。 sys = ss(sys1,'min') 计算模型sys1的最小状态空间实现sys.

2.4 Matlab语言中的模型表示
指令 tf ( ): 产生一个传递函数模型,或将模型 变换为传递函数模型。 例:sys = tf(NUM,DEN) 根据模型的分子多项式NUM和分母多项式DEN产生 一个连续时间传递函数模型sys。 例如:num={-5 ; [1 -5 6]}; den={[1 -1] ; [1 1 0]}; ? ?5 ? h=tf(num,den) ? s ?1 ? 则传递函数的输出为: ? s 2 ? 5s ? 6 ?
? 2 ? ? s ?s ?

2.4 Matlab语言中的模型表示
指令zpk( ): 产生一个零极点增益模型,或将模 型变换为零极点增益模型。

例:sys = zpk(Z,P,K)
根据系统的零点Z、极点P和增益K产生一个零极点增 益模型sys。

2.5 非线性模型的线性化处理
? 线性化处理
实际上,所有的元件和系统都不同程度地存 在着非线性性质,而非线性元件或系统的数学模 型的建立和求解都比较困难。因此,在满足一定 条件的前提下,常将非线性元件或系统近似看做 线性元件或系统,相应地,可用线性数学模型近 似代替非线性数学模型。

2.5 非线性模型的线性化处理
? 线性化的方法
(1)忽略弱非线性环节(如果元件的非线性因素较弱 或者不在系统线性工作范围以内,则它们对系统的影响 很小,就可以忽略) (2)偏微法(小偏差法,切线法,增量线性化法) 偏微法基于一种假设,就是在控制系统的整个调 节过程中,各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附 近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作 情况的,因为对闭环控制系统而言,一有偏差就产生控 制作用,来减小或消除偏差,所以各元件只能工作在平 衡点附近。

2.5 非线性模型的线性化处理
控制系统都有一个平衡工作状态及相应的工作点。 非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平 衡工作点的偏离很小。若非线性函数不但连续,而且 其各阶导数存在,则可在给定工作点附近将非线性函 数展开成泰勒级数,略二阶及以上的各项后,即可用 所得的线性函数来代替原有的非线性函数。 设非线性元件的输入为x, 输出为y, 它们之间 的关系如下图所示, 相应的非线性方程为

y = f(x)

2.5 非线性模型的线性化处理
y K

y0

?x O x0 x

非线性特性的线性化

2.5 非线性模型的线性化处理
在给定工作点(x0, y0)附近,将式按泰勒级数 展开为:

df 1 d2 f 2 ??x ? ? ? y ? f ( x ) ? f ( x0 ) ? |x ? x0 ?x ? | 2 x ? x0 dx 2! dx 若在工作点(x0,y0)附近增量Δx很小,则可略去式 中(Δx)2项及其后面的高阶项,可近似得出: ?y ? K?x
df ?y ? y ? f ( x0 ), K ? |x ? x0 dx

2.5 非线性模型的线性化处理
例 已知某装置的输入输出特性 y( x ) ? E0 cos[ x( t )] 求小扰动线性化方程。
解 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 1 y( x ) ? y( x0 ) ? y?( x0 )( x ? x0 ) ? y??( x0 )( x ? x0 )2 ? ? 2! 取一次近似,且令



?y( x ) ? y( x ) ? y( x0 ) ? ? E0 sin x0 ? ( x ? x0 )

?y ? ? E0 sin x0 ? ?x


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