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2016届山西省太原市高三第二次模拟考试数学(理)试题


2016 届山西省太原市高三第二次模拟考试数学(理)试题 数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x log 2 ( x ? 1) ? 2} , B ? {x a ? x ? 6} ,且 A ? B ? {x 2 ? x ? b} ,则

a?b ?(
A.7

) B.6 C.5 D.4

2.如图,在复平面内,表示复数 z 的点为 A ,则复数 A. i B. ?i C. i

z 的共轭复数是( 1 ? 2i



3 5

D. ? i

3 5

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是( A. y ? ?


3

1 x

B. y ? 3

?x

? 3x

C. y ? x x

D. y ? x ? x )

4.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于( A.30 B.24 C.12 D.4

第 1 页(共 16 页)

5.若函数 f ( x) 同时满足以下三个性质:① f ( x) 的最小正周期为 ? ;②对任意的 x ? R ,都 有 f (x ?

?

) ? f (? x) ? 0 ;③ f ( x) 在 ( , ) 上是减函数,则 f ( x) 的解析式可能是( 4 4 2
B. f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x C. f ( x) ? sin( x ?

? ?



A. f ( x) ? sin 2 x D. f ( x) ? cos(2 x ?

?

3? ) 4

8

)

6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 2,则输入的正整数 a 的可能取值的集合是 ( ) B. {1, 2,3, 4,5, 6} C. {2,3, 4,5} D. {2,3, 4,5, 6}

A. {1, 2,3, 4,5}

第 2 页(共 16 页)

?x ? y ? 6 ? 0 ? 7.设 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 2a ? 4 ,最小值为 a ? 1 , ?3 x ? y ? 2 ? 0 ?
则实数 a 的取值范围是( A. [?2,1] B. [?1, 2] ) C. [?3, ?2] D. [?3,1]

8.已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 3 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC ,

SA ? 1 ,那么三棱锥 S ? ABC 的外接球的表面积为(
A. 2? B. 4? C. 6? D. 5?



9. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x ( x ? 0) 的图象交于点 P ,若函数 a 2 b2


y ? x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是(
A.

5?2 2

B.

5 ?1 2

C.

3 ?1 2

D.

3 2
n

10.已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ?an ? 和

? S ? 都是等差数列,且公差相等,则

S100 ? (
A.50

) B.100
2 2

C.1500

D.2500

11.已知圆 C : x ? y ? 1 ,点 P ( x0 , y0 ) 是直线 l : 3 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的动点,若在圆 C 上总 存在两个不同的点 A, B ,使 OA ? OB ? OP ,则 x0 的取值范围是( A. (0,

??? ? ??? ?

??? ?



24 13 13 C. (0, ) D. (0, ) , 0) 13 24 12 x 1 x?2 12.已知函数 f ( x) ? ln ? , g ( x) ? e ,若 g (m) ? f (n) 成立,则 n ? m 的最小值为 2 2
B. (? ( ) B. ln 2 C. 2 e ? 3 D. e 2 ? 3

24 ) 13

A. 1 ? ln 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13.已知 ( x ? ) 6 的展开式中含 x 2 的项的系数为 30,则实数 a ? ____________.

a x

3

第 3 页(共 16 页)

1 ”发生的概率为_____________. 2 a b 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 ? ? 2c ,则 ?C 的大小是 sin B sin A
14.在区间 ? 0,1? 上随机抽取两个数 x, y ,则事件“ xy ? __________.

2tx 2 ? 2t sin( x ? ) ? x 4 16.已知关于 x 的函数 f ( x) ? 的最大值为 a ,最小值为 b ,若 2 2 x ? cos x

?

a ? b ? 2 ,则实数 t 的值为_________.
三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 2 ,且 4 S n ? an ? an ?1 ,数列 ?bn ? 中, b1 ?

1 ,且 4

bn ?1 ?

nbn , n? N* . (n ? 1) ? bn

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ?

an 2
1 2 ? 3bn 3

( n? N* ) ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B ? AC ,且 A1 B ? AC ? 5 , AA1 ? BC ? 13 ,

AB ? 12 .
(1)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ACC1 A1 ; (2)求二面角 A ? BB1 ? C 的正切值的大小.

第 4 页(共 16 页)

19.(本小题满分 12 分) 近几年来,我国许多地区经常出现雾霾天气,某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如 下规定:课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动,若无雾霾则组织集体活动,预报得知, 这一地区在未来一周从周一到周五 5 天的课间操时间出现雾霾的概率是:前 3 天均为 50%, 后 2 天均为 80%,且每一天出现雾霾与否是相互独立的. (1)求未来一周 5 天至少一天停止组织集体活动的概率; (2)求未来一周 5 天不需要停止组织集体活动的天数 X 的分布列; (3)用? 表示该校未来一周 5 天停止组织集体活动的天数,记“函数 f ( x) ? x ? ? x ? 1 在
2

区间 (3,5) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 . a b 2
(1)已知点 A, B 是椭圆上两点,点 C 为椭圆的上顶点, ?ABC 的重心恰好是椭圆的右焦 点 F ,求 A, B 所在直线的斜率; (2)过椭圆的右焦点 F 作直线 l1 , l2 ,直线 l1 与椭圆分别交于点 M , N ,直线 l2 与椭圆分别 交于点 P, Q ,且 MP ? NQ ? NP ? MQ ,求四边形 MPNQ 的面积 S 最小时直线 l1 的方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 ( a, b ? R , e 为自然对数的底数).
x 2

???? 2

???? 2

??? ?2

???? ?2

第 5 页(共 16 页)

(1)若对于任意 a ? ? 0,1? ,总存在 x ? [1, 2] ,使得 f ( x) ? 0 成立,求 b 的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时请写清题号.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O1 与 ? O2 相交于 A, B 两点, AB 是 ? O2 的直径,过 A 点作 ? O1 的切线交 ? O2 于 点 E ,并与 BO1 的延长线交于点 P , PB 分别与 ? O1 , ? O2 交于 C , D 两点. (1)求证: PA ? PD ? PE ? PC ; (2)求证: AD ? AE .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 设倾斜角为 ? 的直线 l 的方程为 ?

? ? x ? 2 ? t cos ? , ( t 为参数) , y ? 3 ? t sin ? ? ?

以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

?2 ?

4 ,直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A, B . 1 ? 3sin 2 ?

(1)若 ? ?

?

3

,求线段 AB 中点 M 的直角坐标;
2

(2)若 PA ? PB ? OP ,其中 P (2, 3) ,求直线 l 的斜率. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? a , a ? R . (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 的解集;

第 6 页(共 16 页)

(2)当 a ? ?

1 1 时,对于 ?x ? (??, ? ] ,都有 f ( x) ? x ? 3 成立,求 a 的取值范围. 2 2

太原市 2016 年高三年级模试题(二) 数学试卷(理工类)参考答案
一、选择题:
1-5.ABCBB 6-10.CADBD 11-12.AB

二、填空题:
13.-5 14.

1 ? ln 2 2

15.

?
2

16.1
第 7 页(共 16 页)

三、解答题:
17.解: (1) n ? 1 时,可得 a2 ? 4 ,

∴ ?an ? 的奇数项和偶数项分别以 4 为公差的等差数列, 当 n ? 2k ? 1, k ? N 时, an ? a2 k ?1 ? 4k ? 2 ? 2n ;
*

当 n ? 2k , k ? N * 时, an ? a2 k ? 4k ? 2n . ∴ an ? 2n (n ? N ) .
*

(2)∵

1 n ?1 1 1 1 1 , ? ? , ? ? bn ?1 nbn n (n ? 1)bn ?1 nbn n(n ? 1)



1 1 1 1 ? ? ?( ? ), nbn (n ? 1)bn ?1 n ?1 n

1 1 1 1 ? ? ?( ? ), (n ? 1)bn ?1 (n ? 2)bn ? 2 n ? 2 n ?1
?

1 1 1 ? ? ?(1 ? ) , 2b2 b1 2


1 3n ? 1 , ? nbn n

1 1 (n ? 2) , n ? 1 也适合, bn ? (n ? N * ) , 3n ? 1 3n ? 1 n ∴ cn ? n , 2 n?2 再由错位相减得 Tn ? 2 ? n . 2
∴ bn ? 18.
第 8 页(共 16 页)

(1)证明:在 ?ABC 中,∵ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AC ? AB , 又∵ A1 B ? AC ,且 A1 B, AB 是平面 ABB1 A1 内的两条相交直线, ∴ AC ? 平面 ABB1 A1 , 又 AC ? 平面 ACC1 A1 , ∴平面 ABB1 A1 ? 平面 ACC1 A1 . (2)在 ?A1 BA 中,∵ A1 B 2 ? AB 2 ? AA12 , ∴ A1 B ? AB , 双∵ A1 B ? AC ,且 AB, AC 是平面 ABC 内的两条相交直线, ∴ A1 B ? 面 ABC , 建立如图所示的坐标系, 则 B (0, 0, 0) ,A(12, 0, 0) ,C (12,5, 0) ,A1 (0, 0,5) ,B1 (?12, 0,5) , 取平面 ABB1 A1 的一个法向量 n1 ? (0,1, 0) , 设平面 BCC1 B1 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z ) ,

??

?? ?

?? ? ???? ? ??12 x ? 5 z ? 0 ?n2 ? BB1 ? 0 由 ? ?? ,得 ? , ? ??? ? ?12 x ? 5 y ? 0 ? ?n2 ? BC ? 0 ?? ? 取 x ? 5 ,则 n2 ? (5, ?12,12) , ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 12 12 ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? , 设二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 ? , 则 cos ? ? , ? ?? 313 313 n1 ? n2
∴ tan ? ?

13 13 ,二面角 A ? BB1 ? C 的正切值为 . 12 12

第 9 页(共 16 页)

19.解:

1 1 2 5 199 则至少有一天停止组织集体活动的概率是 1 ? P ? . 200
(2) X 的取值是 0,1,2,3,4,5, 则 P ( X ? 0) ?

(1)未来一周 5 天都组织集体活动的概率是 P ? ( )3 ( ) 2 ?

1 , 200

2 , 25

1 4 1 56 7 1 1 1 3 4 2 , P( X ? 1) ? ( )3 ? C2 ? ? ? C3 ( ) ( ) ? ? 2 5 5 2 5 200 25 1 4 1 4 1 1 73 1 1 3 1 , P( X ? 2) ? C32 ( )3 ( ) 2 ? C3 ( ) ? C2 ? ? ? ( )3 ( ) 2 ? 2 5 2 5 5 2 5 200 1 1 4 1 4 43 1 1 3 1 2 1 , P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? C32 ( )3 ? C2 ? ? ? ( )3 ( ) 2 ? 2 5 2 5 5 2 5 200 1 1 1 1 4 11 1 , P( X ? 4) ? C32 ( )3 ( ) 2 ? ( )3 ? C2 ? ? ? 2 5 2 5 5 200 1 1 1 , P( X ? 5) ? ( )3 ( ) 2 ? 2 5 200
∴不需要停止组织集体活动的天数 X 分布列是

X

0

1

2

3

Y

2 25

7 25

73 200

4 2

(3)因为函数 f ( x) ? x ? ? x ? 1 在区间 (3,5) 上有且只有一个零点,且 0 ? ? ? 5 ,
2

则 f (3) f (5) ? 0 ,∴ 故? ? 3 或 4 ,

8 24 , ?? ? 3 5

第 10 页(共 16 页)

故所求概率为:

1 1 4 1 1 1 4 1 1 4 73 7 129 1 1 3 4 2 1 1 P( A) ? [C3 ( ) ( ) ? C32 ( )3 ? C2 ? ? ? ( )3 ( ) 2 ] ? [( )3 ? C2 ? ? ? C32 ( )3 ( ) 2 ] ? ? ? 2 5 2 5 5 2 5 2 5 5 2 5 200 25 200

20. (1)由题意:

c 2 2b 2 , ? 2 ,解得 a 2, b ? 1, c ? 1 , ? a a 2

x2 所求椭圆的方程为 ? y2 ? 1. 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,∵ F (1, 0) ,∴ C (0,1) ,根据题意 即 x1 ? x2 ? 3 , y1 ? y2 ? ?1 .

x1 ? x2 y ? y2 ? 1 ? 1, 1 ? 0, 3 3



x12 x2 2 ? y12 ? 1 ①, 2 ? y2 ?1 ② 2 2
( x1 ? x2 ) y ?y ? ( y1 ? y2 ) ? 1 2 ? 0 , 2 x1 ? x2 y1 ? y2 x ?x 3 ?? 1 2 ? . x1 ? x2 2( y1 ? y2 ) 2

① ? ②得

∴ k AB ?

(2)设 M ( xM , yM ) , N ( xN , y N ) , P ( xP , yP ) , Q ( xQ , yQ ) , 则由题意: MP ? NQ ? NP ? MQ , 即

???? 2

???? 2

??? ?2

???? ?2

( xM ? xP ) 2 ? ( yM ? yP ) 2 ? ( xN ? xQ ) 2 ? ( y N ? yQ ) 2 ? ( xN ? xP ) 2 ? ( y N ? yP ) 2 ? ( xM ? xQ ) 2 ? ( yM ? yQ ) 2

整理得: xN xP ? xM xQ ? xM xP ? xN xQ ? y N y P ? yM yQ ? yM y P ? y N yQ ? 0 , 即 ( xN ? xM )( xP ? xQ ) ? ( y N ? yM )( yP ? yQ ) ? 0 ,所以 l1 ? l2 . ①若直线 l1 ? l2 中有一条斜率不存在,不妨设 l2 的斜率不存在,则 l2 ? x 轴, 所以 MN ? 2 2 , PQ ? 故四边形 MPNQ 的面积 S ?

2,
1 1 PQ MN ? ? 2 2 ? 2 ? 2 . 2 2
第 11 页(共 16 页)

②若直线 l1 , l2 的斜率存在,设直线 l1 的方程为: y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 则由 ? 2 ,得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?
则 xM ? xN ?

4k 2 2k 2 ? 2 , , x x ? M N 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

MN ? 1 ? k 2 xM ? xN
? 1? k
2

4k 2 2 4(2k 2 ? 2) 2 2(1 ? k 2 ) ( 2 ) ? ? , 2k ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2 2(1 ? k 2 ) ,故四边形 MPNQ 的面积: 2 ? k2

同理可求得, PQ ?

S?

1 1 2 2(1 ? k 2 ) 2 2(1 ? k 2 ) PQ MN ? ? ? ? 2 2 2k 2 ? 1 2 ? k2 2?

4 1 1 k2 ? 2 ? 2 k

?

16 9

(当 k ? ?1 取“=” ) , 此时,四边形 MPNQ 面积 S 的最小值为

16 ? 2, 9

所以直线 l1 方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 21.解: (1)设 g (a ) ? e ? ax ? bx ? 1 ,则 x ? [1, 2] 时, g (a ) 在 ? 0,1? 上为减函数,
x 2

所以只要 g (0) ? e ? bx ? 1 ? 0 ,
x

所以只要 e x ? bx ? 1 ? 0 在 [1, 2] 上有解即可. 即b ?

ex ?1 ex ?1 在 [1, 2] 上有解,设 h( x) ? , x x
'

e x ( x ? 1) ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 [1, 2] 上为增函数,只要 b ? h(1) ? e ? 1 ,所以 b 因为 h ( x) ? x2
的最小值是 e ? 1 . (2) f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 , f ( x) ? e ? 2ax ? b ,
x 2 ' x

第 12 页(共 16 页)

由 f (1) ? 0 ,得 e ? a ? b ? 1 ? 0 ,∴ b ? e ? a ? 1 , ∴ f ( x) ? e ? 2ax ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 .
' x

若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,设 x0 为 f ( x) 在区间 (0,1) 内的一个零点, 则由 f (0) ? f ( x0 ) ? 0 可知, f ( x) 在区间 (0, x0 ) 内不可能单调, 则 f ( x) 在区间 (0, x0 ) 内不可能恒为正,也不可能恒为负, 故 f ( x) 在区间 (0, x0 ) 内存在零点 x1 ,同理 f ( x) 在区间 ( x0 ,1) 内存在零点 x2 , 故函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间,
' ' '

f ' ( x) 在区间 (0,1) 内至少有两个零点.
设 u ( x) ? f ( x) ? e ? 2ax ? b ,
' x

∴ u ( x ) ? e ? 2a .
' x

当a ?

1 e ' 或 a ? 时,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内单调, 2 2

不满足“函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间” ; 当

1 e ? a ? 时, f ' ( x) 在区间 (0, ln(2a)) 内单调递减,在区间 (ln(2a),1) 内单调递增, 2 2

因此 x1 ? (0, ln(2a)) , x2 ? (ln(2a ),1) , 又 f ' ( x) min ? g (ln(2a )) ? 2a ? 2a ln(2a) ? e ? a ? 1 ? 3a ? 2a ln(2a) ? e ? 1 , 令 v( x) ? 3 x ? 2 x ln(2 x) ? e ? 1 ( 令 v ( x) ? 0 ,得 x ?
'

1 e ? x ? ) ,则 v ' ( x) ? 1 ? 2 ln(2 x) , 2 2

e ,列表如下: 2 1 e ( , ) 2 2 e 2

h' ( x)

+

第 13 页(共 16 页)

h( x )



e ?e?

依表格知:当

1 e ? x ? 时, v( x) max ? e ? e ? 1 ? 0 , 2 2

∴ f ' ( x) min ? 3a ? 2a ln(2a ) ? e ? 1 ? 0 恒成立,

e ?1 ?2 ? a ? 2 ? 于是,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间满足 ?u (0) ? 0 , ?u (1) ? 0 ? ? e ?1 ?2 ? a ? 2 ? 即 ?2 ? e ? a ? 0 , ??a ? 1 ? 0 ? ?
解得 e ? 2 ? a ? 1 ,综上所述, a 的取值范围为 (e ? 2,1) . 22.(1)∵ PE , PB 分别是 ? O2 的割线, ∴ PA ? PE ? PD ? PB , 又∵ PA, PB 分别是 ? O1 的切线和割线, ∴ PA2 ? PC ? PB , ∴

PE PD , ? PA PC

∴ PA ? PD ? PE ? PC . (2)连结 AC , ED , ∵ BC 是 ? O1 的直径,∴ ?CAB ? 900 , ∴ AC 是 ? O2 的切线, 由(1)知

PA PC ,∴ AC // ED , ? PE PD

∴ AB ? DE , ?CAD ? ?ADE , 又∵ AC 是 ? O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED ,
第 14 页(共 16 页)

∴ ?AED ? ?ADE ,∴ AD ? AE ,

? ,∴ AD ? AE .) (或 AB ? DE ,∵ AB 是 ? O2 的直径,由垂径定理得, ? AD ? DE

23.解: (1)曲线 C 的普通方程是

x2 ? y 2 ? 1, 4

1 ? x ? 2? t ? 2 ? ? 当 ? ? 时,设点 M 对应的参数为 t0 ,直线 l 方程为 ? , ( t 为参数) , 3 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
代入曲线 C 的普通方程

x2 ? y 2 ? 1 ,得 13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 , 4
t1 ? t2 28 ?? , 2 13

设直线 C 上的点 A, B 对应参数分别为 t1 , t2 ,则 t0 ? 所以点 M 的坐标为 (

12 3 ,? ) . 13 13

(2)将 ?

? x2 ? x ? 2 ? t cos ? ? y2 ? 1, 代入曲线 C 的普通方程 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?

得 (cos 2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3 sin ? ? 4 cos ? )t ? 12 ? 0 , 因为 PA ? PB ? t1t2 ? 解得 tan 2 ? ?

12 12 2 , OP ? 7 ,所以 ? 7, 2 2 cos ? ? 4sin ? cos ? ? 4sin 2 ?
2

5 5 ,由于 ? ? 32 cos ? (2 3 sin ? ? cos ? ) ? 0 ,故 tan ? ? , 4 16 5 . 4
第 15 页(共 16 页)

所以直线 l 的斜率为

24.解

1 ;令 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 . 2 5 ①当 x ? 2 时,原不等式化为 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,即 x ? ,无解; 3 1 1 ②当 ? ? x ? 2 时,原不等式化为 2 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? 1 ,得 ? ? x ? 1 . 2 2 1 1 ③当 x ? ? 时,原不等式化为 ?2 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? ?1 ,得 ?1 ? x ? ? , 2 2
(1)令 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ? 所以原不等式的解集为 {x ?1 ? x ? 1} . (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ,当 x ? ?

1 时, g ( x) ? x ? a ? x ? 1 , 2

1 ? 1 ??1 ? a, a ? x ? ? 由 a ? ? ,得 g ( x) ? ? 2, 2 ? ??2 x ? a ? 1, x ? a
对于 ?x ? (??, ? ] 使得 f ( x) ? x ? 3 恒成立,只需 g ( x) min ? 3 ( x ? ( ??, ? ]) 即可, 作出 g ( x) 的大致图象,易知, g ( x) min ? g (a ) ? ? a ? 1 , ∴ ? a ? 1 ? 3 ,得 a ? ?4

1 2

1 2

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