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高中数学函数概念与基本初等函数(南通中学杨建楠).doc


函数概念与基本初等函数Ⅰ
——新旧教材对比及教学建议 江苏省南通中学 杨建楠

一、新教材的变化
(一)、教学内容顺序的变化 新教材采用了对应——函数——映射的教学顺序,与旧教材的对 应——映射——函数教学的顺序安排相比,更利于学生对知识的理解 和掌握;图象在函数的概念中就出现,利于整体上、本质上表现函数 的概念,为函数的表示法的展开而“水到渠成”数形的统一。 (二)、对函数“三要素”要求的变化 了解函数的构成要素,会求一些简单函数的定义域,这也是与原 有内容很不同的地方。减弱了求定义域、值域的要求,尤其是避免了 一些求定义域和值域的偏题以及与之相关的烦琐的技巧训练。 (三)、关于“反函数”的变化 削弱了反函数的概念,只以具体函数为例进行解释和直观理解, 通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数 y ? a x (a >0, a ? 1 ) 和对数函数 y ? loga x(a >0, a ? 1 )互为反函数。不一般地讨论形式化的反

函数定义,也不要求求已知函数的反函数。互为反函数的两个函数的 图象间关于直线 y ? x 对称的性质,只通过具体函数讨论。 (四)、关于指、对、幂函数的要求与变化 幂、指、对数函数强调作为三种不同的函数增长模型突出背景和 应用。安排了“幂增长、指数增长、对数增长的比较。 (五)、新增的内容 幂函数、函数与方程、二次函数与一元二次方程、用二分法求方 程的近似解 幂函数是常见的初等函数之一,增加了幂函数内容有利于处理函 数问题;新教材第一章中去掉了一元二次不等式的解法一节,在第二 章中增加了函数与方程、二次函数与一元二次方程,使得结构更趋合 理;增加二分法求方程近似解是要加强信息技术在教学中的运用。

二、新教材设计特点
本章立足于现实生活, 从具体问题入手, 以问题为背景, 按照 “问 题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回 顾反思”的顺序结构,引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括, 数学地提出、分析和解决问题。运用集合的观点,理解函数的概念,

研究函数的性质,最后利用函数的知识和思想解决相关问题,体会函 数与方程的有机联系.通过函数知识的学习,使学生进一步感受函数 是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言,学会用函数的思 想、变化的观点分析问题、解决问题,达到培养学生的创新思维的目 的. 本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次: 一是一般科学方法, 如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等;二是数学 中常用的数学思想方法,如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、 分类讨论、化归等思想方法。 围绕教育目标和数学思想方法,本章有针对性地进行如下设计: 为了使学生了解函数概念产生的背景,丰富函数的感性认识,获 得认识客观世界的体验,本章采用“突出主题,螺旋上升,反复应用” 的方式,以实际问题为主线,由浅入深,将函数的知识串联起来,既 完善了知识体系完整性、系统性,又体现了知识之间的有机联系和一 以贯之的研究手段. 函数引入中的三个问题:我国从 1949 年到 1999 年的人口数据表、 自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式、某城市一天 24 小时内 的气温变化图,既与初中时学习的函数内容相联系,又蕴含了函数的

三种表示方法——列表法、 解析法、 图象法, 起到了承上启下的作用. 这 三个实际问题背景,既是函数知识的生长点,又突出了函数的本质, 为从数学内部研究函数打下了基础.而某城市一天 24 小时内的气温变 化将函数概念、函数的图象、函数的单调性、函数的零点有机地贯通。 为了所有学生都能参与到数学学习中来,激发每一个学生的学习 热情和学习兴趣,培养学生的实践能力、观察能力、判断能力,教材 设置了旁白、思考、探究、实验、阅读、链接等内容,为学生主动探 究数学知识的产生和发展提供了空间,从而促使教学方式和学生学习 方式的改变. 为了适应学生个性发展的需要,教材在练习的基础上,将习题分 为“感受·理解、思考·运用、探究·拓展”三个部分.“感受·理 解”面向全体学生,体现了本章的基本要求,初步理解函数知识,并 用来解决一些简单的问题;“思考·运用”面向多数学生,深化对函 数概念的理解, 并能运用函数函数知识解决一些较复杂问题; “探究· 拓 展”为学生提供一些富有挑战性的问题,以激发学习兴趣,拓宽视野, 提高数学素养。 本章注重信息技术与相关知识的整合。 利用信息技术在信息收集、 资源获取、数据计算、视觉显示等方面的优势,丰富学习手段,呈现

以往教学中难以呈现的课程内容。如在作指数函数、对数函数、幂函 数的图象以及探索方程根的存在性与二分法求方程的近似解、数据拟 合等活动中,多次利用 Excel 等现代信息技术,并且通过旁白、阅读 等作了使用信息技术的提示,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探 索和发现,感受现代技术手段在数学学习中的作用,促进学习,帮助 学生认识数学的本质. 为了使学生了解掌握函数的基本研究方法,本章多次设计了让学 生观察、思考、判断的情境.如在函数的单调性、奇偶性的学习过程 中,引导学生观察函数的图象,由图象的直观性理解数学的本质,培 养学生的观察、判断、抽象、概括能力.在基本初等函数(指数函数、 对数函数、幂函数)的性质、方程的解与函数的零点的关系、二分法 求方程的近似解等知识点,也进行了多次的探索. 为了使学生了解数学是人类文化的重要组成部分,了解数学在人 类文明发展中的作用,体现数学的文化价值。本章在旁白、阅读材料、 探究案例中介绍了无理指数幂、对数的发明者与发展历史及其价值、 开普勒、钢琴与指数曲线等,使学生感受到数学对推动社会发展的作 用,明白数学的社会需求是数学发展的动力,了解数学家的创新精神, 逐步形成正确的数学观,激发学生学习数学的兴趣.

在学生的能力培养上,本章也进行了整体设计.通过对函数知识 的运用,培养学生的理性思维能力;通过探究、思考,培养学生的实 践能力、观察能力、判断能力;通过揭示对象之间的内在联系,培养 学生的辩证思维能力;通过实际问题的解决,培养学生分析问题、解 决问题和交流的能力;通过案例探究,培养学生的创新意识与探究能 力;通过实习作业,培养学生的数学建模能力和实践能力.

三、教材分析及教学建议
(一) 函数的概念与图象 1. 教学目标 (1)体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 理解函数的概念; (2)了解构成函数的要素有定义域、值域、对应法则,会求 一些简单函数的定义域和值域; 掌握函数的三种表示方法 (图象法、 列表法、解析法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; 了解简单的分段函数,并能简单地应用; (3)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,能判别 或证明一些简单函数的单调性;了解奇偶性的含义,会判断函数的

奇偶性,能证明一些简单函数的奇偶性;学会运用函数图象理解和 研究函数的性质; (4)了解映射的概念,进一步了解函数是非空数集到非空数 集的映射; (5)通过本节的学习,使学生学会用运动、发展、变化的观 点认识世界. 2.教学建议 (1)函数的概念 以生活中的现象为背景,引出描述两个量之间依赖关系的必要 性,上承集合,下引函数.描述三个问题的方法各不相同,与函数 的三种表示方法相对应. 通过背景设计激发学生在集合的基础上研 究两个量之间关系的欲望和兴趣.这三个问题是这一章的核心背 景,后面将多次引用. 函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解 函数概念的本质.函数概念的引入,一般有两种方式,一种方式是 先学习映射,再学习函数;另一种方式是通过具体实例,体会两个 非空数集之间的一种特殊的对应关系(单值对应),即函数.考虑

到多数高中学生的认知特点, 为了有助于他们对函数概念本质的理 解,教材采用后一种方式,从学生已掌握的具体函数和函数的描述 性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举 各种各样的函数,构建函数的一般概念. 通过本节的学习,使学生养成用运动变化的观点认识世界。 在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上,学习用集合与 对应的语言来刻画单值对应,领悟函数就是从一个数集到另一个数集 的单值对应.“单值对应”是函数对应法则的根本特征。“箭头图” 给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性,应突出“输 进”与“输出”的关系. 在构建函数的概念时,要重点突出一个对象对另一个对象的依赖 关系.在函数的定义教学时,需突出以下几点: (a)集合 A 与集合 B 都是非空数集; (b)对应法则的方向是从 A 到 B; (c)强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词. 符号 f(x)是一个抽象的概念,是对函数概念的深化,可以理解为 对应法则 f 对自变量 x 作用.f(a)是 f(x)在 x=a 时的函数值。教学时 注意发展学生的数感、符号感。

使学生进一步体会对应关系(对应法则)在刻画函数概念中的核 心作用。一般地,如果函数的对应法则与定义域都确定了,那么,函 数的值域也确定了. 在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重 要方法. 作函数 y=f(x) (x∈A)的图象,就是在直角坐标系内作出点集{(x, f(x)) | x∈A}或{(x, y) | y=f(x), x∈A}。函数 y=f(x) (x∈A)的图 象在 x 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域。从“形”的角度, 进一步加深对函数概念的理解。 教材“阅读”中,力求通过信息技术与课程内容的整合,激发学生 对学习的兴趣。应鼓励学生,把现代教育技术作为学习研究和探索解 决问题的工具。例如,利用计算器、计算机画出函数的图象,探索、 比较函数的变化规律,为研究函数的性质,以及以后学习求方程的近 似解、数据拟合等打下基础。 在本节的习题中,注意了复合函数概念的渗透。 (2)函数的表示法 在实际情境中,会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数,理 解同一个函数可以用不同的方法表示。第 2.1.2 节仍然以第 2.1.1 节

开头的三个问题为背景,引入函数的表示方法,体现知识情境呈现的 一致性.列表法、解析法和图象法是三种常用的函数表示方法.在教 学中除了书中的例子外,还应引导学生多举一些社会生活或其他学科 中的例子,以加深对函数表示法的理解。 列表法简洁明了,函数的“输入值”与“输出值”一目了然。 中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数,在教学中注意 回顾与复习初中所学的内容,如一次函数、二次函数、反比例函数等, 为后面学习建立函数模型研究实际问题打基础. 图象法的优点是能直观地反映函数值的变化随自变量值变化的趋 势。 了解简单的分段函数的特点及应用。分段函数是指函数的表达式 是分段表示的,它是一个函数。分段是对于定义域而言的,将定义域 分成几段,各段的对应法则不一样。教学过程中,可让学生收集一些 实例,诸如邮资、出租车费、电话费等资料。 如果在直角坐标系内给出了函数 y=f(x)的图象,那么,求 f(a)的 值只要作直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象交点,所得的点的纵坐标就是 f(a)的值。这为后面学习利用函数的图象求解方程做准备。

根据实例,使学生感受到函数就在身边,体会到数学知识的广泛应 用性,培养学生的抽象概括能力和解决问题的能力。 (3)函数的简单性质 以本节开头问题中的气温曲线引出函数的单调性.通过生活实例 感受函数单调性与函数奇偶性的意义,培养学生的识图能力与数形语 言转换的能力. 函数的简单性质包括函数的单调性与函数奇偶性。 为了说明函数 f(x)在某个区间上不是单调增(减)函数,只需在 该区间上,找到两个值 x1、x2,当 x1<x2 时,有 f(x1)≥f(x2)(或 f(x1) ≤f(x2) )成立. 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它反映的是函数的 局部性质,函数在某个区间上单调,并不能说明函数在定义域上也单 调。 让学生体会函数最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义, 引导学生通过函数的单调性研究最大(小)值。 通过已学过的函数特别是二次函数,进一步理解函数的单调性、 最大(小)值及其几何意义。

由实例,通过观察图象,抽象出函数奇偶性的定义。在教学中要 注意展现出探索过程,引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性 的关系。 只要函数的定义域内有一个 x 值不满足 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)),这个函数就不是奇(偶)函数;或只要函数图象上有 一个点不满足“关于原点(或 y 轴)的对称点都在函数的图象上,” 这个函数就不是奇(偶)函数。 (4)映射概念 了解映射的概念。在讲解映射的概念时应指出,映射是函数概念 的推广,函数是一类特殊的映射.对于映射 f:A?B 而言,集合 A、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合。 关于映射中象与原象的概念,以及映射的分类,一般不要涉及。 函数是两个非空数集之间的映射。

(二)指数函数 1. 教学目标 (1)了解指数函数模型的实际背景,认识到学习指数函数的必要 性;理解分数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,理解 n 次方根

与 n 次根式的概念,熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的 算术根;掌握有理指数幂的运算性质,灵活地运用乘法公式进行有理 指数幂的运算与化简,会进行根式与分数指数幂的相互转化; (2)理解指数函数的含义,能借助计算器或计算机画出指数函数 的图象,探索并理解指数函数的性质,能利用函数图象的平移与对称 变换,讨论指数函数的图象;能运用指数函数的单调性,解决比较两 个指数式的大小,会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值 域、单调性等,了解函数图象的平移这一最基本的变换方法;在解决 简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,能利 用现代信息技术手段分析问题、解决问题; (3)引导学生进行观察、分析、抽象、概括,发展学生的思维能 力。 2.教学建议 (1)分数指数幂 教材通过细胞的分裂的实例, 了解指数函数模型的实际背景, 感受 指数函数模型在现代科技中的应用,体现学习指数运算、指数函数的 必要性,激发学生的学习热情.细胞的分裂实验是本节的重要背景.

结合具体实例,回顾整数指数幂的概念及其运算性质,为引入有理 数指数幂及其运算性质做准备,便于类比得出实数指数幂的意义及其 运算性质。 通过实例,了解分数指数幂的意义,以及分数指数幂与根式之间 的关系,使学生感受到“n (n∈N,n≥2)次方根”实际上就是平方根 与立方根的推广。教学时可由平方根与立方根的运算性质类比得到 n 次方根的性质。 在进行根式运算时,应先将根式化成有理数幂,再进行运算。 (2)指数函数 教材通过考古中利用 14C 的衰减来测定古物的年代这个例子,激发 学生学习指数函数的欲望,体会指数函数是一类重要的函数模型,并 且有广泛的用途. 利用计算机(器)作不同的指数函数的图象,通过观察,探索并 理解指数函数的单调性与特殊点。并关注指数增长趋势与底数的关系。 比较两个同底数幂大小,可以利用指数函数的单调性来解决。 对一般的函数图象平移变换来说,h>0 时,将 y=f(x)的图象向右平 移 h 个单位以后,得到 y=f(x-h)的图象;向左平移 h 个单位以后,得

到 y=f(x+h) 的图象。类似地,还考虑函数 y=f(x)±h 与 y=f(x)的图 象之间的关系。 利用某种放射性物质变化的函数图象, 求出它的半衰期, 为后面学 习利用函数的图象解方程做铺垫。 教材给出三个解决实际问题的例题, 让学生进一步体会学习指数函 数的重要性,感受到指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重 要数学模型.在这几个例题的讲解过程中,应体现从具体到抽象,从 特殊到一般的思维过程,体会归纳、总结的一般方式、方法.还可以 让学生自己举一些体现指数函数模型在实际生活中应用的例子,进一 步让学生感受到学习指数函数的重要性,以及现代科学技术手段在分 析问题、解决问题中的作用.

(三)对数函数 1.教学目标 (1)理解对数的概念及其运算性质,会熟练地进行指数式与对数 式的互化,能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计 算;了解对数恒等式,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数

或常用对数,会用换底公式进行一些简单的化简与证明;了解对数的 发现历史以及对简化运算的作用. (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 使学生感受到科学的发展源于实际生活;初步理解对数函数的概念, 体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具 体对数函数的图象,探索并了解对数函数的性质. (3) 知道指数函数 y=ax (a>0, a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1)互为反函数;能准确地运用对数函数的性质比较两个对数式值的 大小;能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调 性等. (4)让学生感受化归与转化、数形结合的思想,能用相互联系的 观点辩证地看问题,培养他们数学地分析问题的意识。 2.教学建议 (1)对数 教材通过具体实例说明研究对数的必要性。 使学生能熟练地进行指数式与对数式的互化,理解指数式与对数
指数 对数

式的相互关系:

a =N

b

logaN=b 底数 幂 真数

通过具体实例,借助计算机或计算器,探索对数的两个运算性质。 要注意对数的运算性质成立的条件,并能灵活地用来简化对数的运算。 教学中要注意展现类比联想、观察验证、推理证明的过程。 通过换底公式的应用,体现化归与转化的数学思想。 教学时要让学生掌握对数换底公式,会用换底公式将一般的对数 化为常用对数或自然对数,并进行一些简单的化简与证明。 “阅读”让学生了解对数的发明过程及其对简化运算的作用,激 发学生学习数学的兴趣。 教师可以提供资料或指导学生阅读有关书籍、查找相关网页,使 学生了解对数的发展历史以及在现代生产、科技上的作用,体现数学 知识的产生和发展是源于实践而又服务于实践的特点。 (2)对数函数 教材再次以细胞分裂实验为背景,直观了解对数函数模型所刻画 的数量关系,初步理解对数函数的概念,并感受研究对数函数的意义。 对照指数函数图象,画出对数函数的图象.根据函数 y=logax 图 象的特征,说明其性质,指出 y 轴是函数 y=logax 图象的“渐近线”. 通过对指数函数、对数函数相互关系的研究,加深对函数概念的 理解。

通过对数函数的图象,观察发现对数函数的性质,提高学生的识 图能力,并通过对数函数性质的应用,加深对对数函数性质的理解。 关于求函数的反函数知识,只要求以具体函数为例进行解释和直 观理解,不要求一般地讨论形式化的反函数定义,对求已知函数的反 函数也不作要求. 通过阅读链接材料,知道反函数的含义,了解一个函数的反函数的 求法以及记法,了解函数与其反函数的定义域、值域之间的关系。

(四)幂函数 1. 教学目标 (1)了解幂函数的概念,会画幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y 1 = ,y= x 的图象,结合这几个幂函数的图象,了解幂函数的变化 x
1 2

情况和性质. (2)了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较 两个底数不同而指数相同的指数式值的大小. (3)使学生进一步体会数形结合的思想. 2. 教学建议

教材通过实例引出幂函数的概念,使学生了解幂函数的模型, 了解幂函数与指数函数区别.教材通过几个常见的幂函数 y=x,y
1 1 =x2,y=x3,y= ,y=x2的图象,观察、总结出幂函数的变化情 x

况和性质,培养学生的抽象概括能力. 通过对幂函数的研究,结合一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等具体函数的学习,使学生加深对函数的理解,从而达到 掌握和应用函数解决问题的目的. 利用计算机等工具, 进一步感受幂函数与指数函数的本质差异.

(五)函数与方程 1.教学目标 (1) 能利用二次函数的图象与判别式的符号, 判断一元二次方 程根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的联系. (2) 能够借助计算器用二分法求方程的近似解, 理解这种方法 的实质. (3)体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.

2.教学建议 (1)二次函数与一元二次方程 教材通过观察函数图象, 给出二次函数与一元二次方程的关系。 在判断一元二次方程的实根个数时,应结合二次函数图象的顶 点位置以及开口方向,说明判别式的符号与方程根的个数的关系. (2)用二分法求方程的近似解 根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似 解. 用二分法求方程的近似解, 主要是找一个区间(m, n), 使 f(m)>0, m+n f(n)<0,然后通过取区间的中点 p= ,判断 f(p)的符号,以决定 2 取区间(m,p)还是区间(p,n)(如果 f(p)=0,则 p 就是方程的根),逐 步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点的近似值相同(符合精 确度要求).

(六)函数模型及其应用 1. 教学目标 (1)能根据实际问题的情境建立函数模型,利用计算工具,结合 对函数性质的研究,给出问题的解答.

(2) 理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法, 会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题. (3)能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题,启发、引导 学生数学地观察世界、感受世界,引导学生合作交流. (4)培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 2.教学建议 教材从实例出发,让学生体验用函数描述实际问题的价值,感受到 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 体验一次函数、 正(反) 比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切 联系及其在刻画现实问题中的作用. 在教学过程中,应指出建立函数模型就是将实际问题转化为数学问 题,是数学地解决问题的关键.结合对函数性质的研究,通过数学问 题的解决,达到解决实际问题的目的. 通过实际问题,说明数据拟合在预测、规划等方面的重要作用,进 一步学会用数学的知识、思想方法解决实际问题,提高学生运用数学 的能力.

常见的数据拟合有:直线型(一次函数)、抛物线型(二次函数或 幂函数)、指数型(指数函数)、对数型(对数函数)等.结合实例 体会这些不同函数类型增长(尤其是直线上升、指数增长)的含义. 在教学过程中,函数模型的建立应尽量利用 Excel 等现代信息技术 手段. 鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对 数函数、幂函数、分段函数等)的实例进行探索实践.

探究案例 钢琴与指数曲线 通过钢琴曲线这一实例,体验数学与现实世界有着密切联系,是分 析、研究客观世界变化规律的重要工具,这既利于培养学生探究、解 决问题的能力,又利于激发学生用数学知识研究现实世界的欲望.


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