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江苏省2014届一轮复习数学试题选编4:基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)(教师版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 4:基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)
填空题 1 .(2013 安徽高考数学(文))函数 y ? ln(1 ?

1 ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. x

【答案】 ? 0,1

?

? 1 ?1 ? ? 0 ? x ? 0或x ? ?1 解: ? ,求交集之后得 x 的取值范围 ? 0,1? x 2 ? 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ?
江 苏 省 高 考 压 轴 卷 ) 若 函 数

2



(2012

1 f ( x) ? log a (2 x 2 ? x)( a ? 0, a ? 1)在区间(0, )内恒有f ( x) ? 0, 则 f(x)的单调递增区间是__. 2 1 【答案】 (??,? ) 2

a 2 ? b2 3 . (2013 届江苏省高考压轴卷数学试题)已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f ( a ) ? f (b) ,则 的最 a ?b
小值等于_________.
【答案】 2

2

4 .不等式 log 2 (2 x ? 1) ? log 2 (? x ? 5) 的解集为______________.

1 ? ?x ? 2 2x ?1 ? 0 ? ? ? 1 ? ? 【答案】 log 2 (2 x ? 1) ? log 2 ( ? x ? 5) ? ?? x ? 5 ? 0 ? ? x ? 5 ? ? x ? 2 ,故所求的解集为 2 ? ? 2x ?1 ? ?x ? 5 x?2 ? ? ? ? ?

1 ( , 2). 2
5 .(2012 年高考(上海春))方程 4 ? 2
x x?1

? 0 的解为_______.

【答案】

x ?1

6 . (山东省枣庄市枣庄十八中 2012 届高三 9 月月考(数学))当 x ?[?2,0] 时,函数 y ? 3 x?1 ? 2 的值域是___. 【答案】

5 [? ,1] 3

7 .若幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 (2,

2 ) ,则 y ? f ( x 2 ? 2 x) 的单调递减区间为_____________. 2

1 1 ? ? 1 2 1 2 【 答 案 】 设 f ( x) ? x , 则 由 2 ? ,该函数是定义在 ? 2 ? ? ? ? , 所 以 f ( x) ? x 2 ? 2 2 x

?

?

(0, ??) 的单调减函数.而 u ? x2 ? 2 x ? 0 ? x ? 2 或 x ? 0 ,且 u ? x 2 ? 2 x 的对称轴为 x ? 1 ,故所求函
第 1 页,共 7 页

数 y ? f ( x ? 2 x) 的减区间为 (2, ??) .
2

8 . (2011 年高考(江苏卷) 函数 f ( x) ? log 5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ ) 【答案】 【命题立意】本题主要考查复合函数的单调性及函数的定义域等基础知识.复合函数的单调性

由“同增异减”的原则确定.

1 1 (? ,??)【解析】函数 f ( x) 的定义域为 (? , ??) , f ( x) ? log 5 u (u ? 0) 是单调增函数,因此只需求 2 2 函数 u ? 2 x ? 1 的单调增区间,而函数 u ? 2 x ? 1 在定义域内单调递增
9 .若

f ( x) ? x

??

1 2

? 1 ,且 f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ,则 a 的取值范围为______.
? 1 2

【答案】由

f ( x) ? x

? 1 为定义在 (0, ??) 上的减函数,可知

?a ? 1 ? 0 ?a ? ?1 ? ? ? ? f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ? ?10 ? 2a ? 0 ? ?a ? 5 ? 3 ? a ? 5 ? ? ?a ? 1 ? 10 ? 2a ?a ? 3 ? ?
10. (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修历史) 若幂函数 y ? mx (m, n ? R) 的图象 )
n

经过点( 8,

1 ),则 n=______________. 4 2 【答案】 ? 3

11. (江苏海门市 2013 届高三上学期期中考试模拟数学试卷)若函数 f ? x ? ? log ( a 2 ?3) ( ax ? 4) 在 ?1,1 上是

?

?

单调增函数,则实数 a 的取值范围是_______
【答案】 ?2, ? 3 ? ? 2, 4 ? 12.已知函数 f ( x) ? 2 【答案】
| x|

?

?

? 2 ,不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是__________________.

答案: (?1,0) ? (1,??)

13. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)已知直线 y=a 与函数 f ( x) ? 2 x 及函数 g ( x) ? 3 ? 2 x

的图象分别相交于 A,B 两点, 则 A,B 两点之间的距离为________.
【答案】 log 2 3 14.对数函数

f ( x) 的图像过点 (3, ?2) ,则 f ( 3) ? ___________.

【答案】 ?1 15.已知 a ? 0且a ? 1 ,函数 y ? a ? 2 与 y ? 3a 的图像有两个交点,则 a 的取值范围是 ______________.
x

【答案】 (0,

2 ) 3
第 2 页,共 7 页

16.已知 f ( x) ? 3 【答案】

2x

? (k ? 1) ? 3x ? 2 ,当 x ? R 时, f ( x) 恒为正值,则 k 的取值范围是_______.
2x x

解法一(函数法 1):依题意可知 3 ? (k ? 1) ? 3 ? 2 ? 0 恒成立,即

2 2 恒成立,故 k ? 1 ? [3x ? x ]min x 3 3 2 2 x 设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,则 y ? 3x ? x ? t ? 在 t ? 2 时取得最小值 2 2 3 t k ? 1 ? 3x ?
所以 k ? 1 ? 2 2 即 k ? 2 2 ? 1. 法二函数法(2):设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,且 y ? f ( x) ? t ? (k ? 1) ? t ? 2
x
2

依题意可知 y ? t ? (k ? 1) ? t ? 2 在 t ? (0, ??) 时恒大于 0
2

①当对称轴 t ?

k ?1 ? 0 即 k ? ?1 时,关于 t 的二次函数 y ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 在 (0, ??) 单调递增,故 2

有 y ? 0 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 成立;

k ?1 k ?1 取得最小值,依 ? 0 即 k ? ?1 时, t 的二次函数 y ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 在对称轴 t ? 2 2 k ?1 2 k ?1 题 意 须 有 ( ) ? (k ? 1) ? ? 2 ? 0 ? k 2 ? 2k ? 7 ? 0 ? ?1 ? 2 2 ? k ? ?1 ? 2 2 , 故 此 时 2 2
②当对称轴 t ?

?1 ? k

? 1? 2 2 ?

综上可知 k ? 2 2 ? 1. 法 三 ( 零 点 分 布 法 ): 设 t ? 3 , 则 t ? (0, ??) , 且 y ? f ( x) ? t ? (k ? 1) ? t ? 2 , 依 题 意 可 知
x
2

t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 0 没有正根
而方程 t ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 0 有正根的条件为(注意到 t ? 0 时 t ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 2 )
2 2

?? ? (k ? 1)2 ? 8 ? 0 ?k ? ?1 ? 2 2或k ? ?1 ? 2 2 ? ? ?? ? k ? ?1 ? 2 2 ? k ?1 ?0 ? ?k ? ?1 ? ? 2
故方程 t ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 0 没有正根的条件为 k ? 2 2 ? 1.
2

故所求 k 的取值范围是 k ? 2 2 ? 1. 法四(图像法):设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,且 y ? f ( x) ? t ? (k ? 1) ? t ? 2
x
2

依题意可知,关于 t 的二次函数 y ? t ? (k ? 1) ? t ? 2 要么与 x 轴没有交点,要么与 x 轴的交点都在 x 轴
2

的负半轴上
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①与 x 轴没有交点时,只须满足 ? ? (k ? 1) ? 8 ? 0 ? ?1 ? 2 2 ? k ? ?1 ? 2 2 ;
2

②与与 x 轴的交点都在 x 轴的负半轴时,只须满足

?? ? (k ? 1)2 ? 8 ? 0 ?k ? ?1 ? 2 2或k ? ?1 ? 2 2 ? ? ?? ? k ? ?1 ? 2 2 ? k ?1 ?0 ? ? ?k ? ?1 ? 2
综上可知 k ? 2 2 ? 1.
17. (浙江省温州中学 2011 学年第一学期期末考试高三数学试卷(文科)2012.1)关于 x 的不等式 2
x2 ? x

? 4的

解集为____________ .
【答案】

?? 2,1?
? ? x ? a, x ? 1,
x ?2 , x ? 1

18. (2012 年石景山区高三数学一模文科)设函数 f ( x ) ? ?

的最小值为 2 ,则实数 a 的取值范

围是_______.[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
【答案】

a?3

19. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)函数 f ( x) ? log 2 (4 ? x 2 ) 的值域为______. 【答案】 (??, 2] 20.(2012 年高考(上海文))方程 4 ? 2
x x ?1

? 3 ? 0 的解是_________.
x x

【答案】

[解析] (2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 0 , (2 ? 1)( 2 ? 3) ? 0 , 2 ? 3 , x ? log2 3 .
x 2 x

x

21.已知对数函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) log ( m ?1) x ,则 f (27) ? _________.
2

【答案】3 22. (2012 年江苏理)函数 f ( x) ?

1 ? 2 log 6 x 的定义域为____.

【答案】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ?? ?? ? 0< x ? 6 . 1 ? 1 1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? ?x ? 62 = 6 2 ? ?
23.(2013 北京高考数学(文))函数 f(x)= ?

? log 1 x, x ? 1 ? 2 ?2 x , ? x ?1

的值域为_________.

【答案】

1 1 (-∞,2) [解析] 函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数,当 x≥1 时,函数 y=log x 的值域为 2 2
x x

(-∞,0];函数 y=2 在上是增函数,当 x<1 时,函数 y=2 的值域为(0,2),所以原函数的值域为(-∞,2).
24.已知命题

p :关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 的解集为 ? ;命题 q :函数 y ? (2a 2 ? a) x 为增函

数,若函数“ p 或 q ”为真命题,则实数 a 的取值范围是________.
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【答案】

高三一轮复习错误人数:68/89

1 1 答案:a> 或 a<3 2 解析:命题 p 为真,则有 Δ =(a-1)2-4a2<0. 1 解得 a> 或 a<-1;命题 q 为真命题,则 2a2-a>1, 3 1 解得 a>1 或 a<- . 2 又∵“p∨q”为真命题, 1 1 ∴a> 或 a<- . 3 2
25. (2009 高考(江苏))已知 a

?

5 ?1 x ,函数 f ( x ) ? a ,若实数 m, n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m, n 2

的大小关系为_★___.
【答案】 【答案】 m ? n

【解析】略
26. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期中考试数学试题) 若 y ? f (x) 是幂函数,且满足

f ( 4) 2 ? ,则 f ( 2) 2

f (3) ? __________ _.

【答案】

3 3

27.(2011 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)函数 y ? lg ? x ? 2 ? 的定义域是__________. 【答案】 【解】 ? 2, ?? ? .函数 y

? lg ? x ? 2 ? 的定义域满足 x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 ,

所以函数 y ? lg ? x ? 2 ? 的定义域为 ? 2, ?? ? .
28. (2012 年高考(山东文))若函数 f ( x) ? ax ( a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.
【答案】

答案:

1 1 解析:当 a ? 1 时,有 a2 ? 4, a?1 ? m ,此时 a ? 2, m ? ,此时 g ( x) ? ? x 为减函数,不 4 2

1 1 合题意.若 0 ? a ? 1 ,则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16

另解:由函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数可知 1 ? 4m ? 0, m ?
2

1 ; 4
?1

当 a ? 1 时 f ( x) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得 a ? 2 ,最小值为 m ? a 去 ; 当 0 ? a ? 1 时 , f ( x) ? a x 在 [-1,2] 上 的 最 大 值 为 a
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?1

?

1 不符合题意,舍 2

? 4 ,解得 a ?

1 ,此时最小值为 4

m ? a2 ?
故 a=

1 1 ? ,符合题意, 16 4

1 . 4
1

?x 2 , 0 ? x ? c, ? 29.(2012 年西城区高三一模数学理科)已知函数 f ( x) ? ? 其中 c ? 0 .那么 f ( x) 的零 x 2 ? x, ? 2 ? x ? 0, ? ?
点是_____;若 f ( x) 的值域是 [ ?
【答案】 解答题 30. (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修历史) 在函数 f ( x) ? 1gx 的图象上有三点 )

1 , 2] ,则 c 的取值范围是_____ 4

?1 和 0 , (0, 4] ;

A、B、C,横坐标依次是 m ? 1, m, m ? 1(m ? 2). (1)试比较 f (m ? 1) ? f (m ? 1)与2 f (m)的大小 ; (2)求△ABC 的面积 S ? g (m) 的值域.

【答案】

(2) S ? g (m) ? S ABB1 A1 ? SCBB1C 1 ? SCAA1C 1

1 1 1 ? [lg(m ? 1) ? lg m] ? [lg(m ? 1) ? lg m] ? [lg(m ? 1) ? lg(m ? 1)] ? 2 2 2 2
第 6 页,共 7 页

1 m2 S ? lg 2 (m ? 1)(m ? 1)

1 m2 1 1 ? lg 2 ? lg(1 ? 2 ) , 2 m ?1 2 m ?1

1 4 因为 m ? 2 时,单调递减,所以 0 ? S ? lg 2 3

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