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甘肃省部分高中高三数学2月第一次联考试卷 理_图文

2015 年 2 月甘肃省部分普通高中高三第一次联考 数学 试题(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 6 0 分) 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)

? 1 ? N ? ? x ( ) x ? 4? ? 2 ? , 则M ? N ?( ) 1.设集合 M ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0} ,集合
2

A. {x | x ? ?2}

B. {x | x ? ?1}

C. {x | x ? ?1}

D. {x | x ? ?2}

z?
2.下面是关于复数

2 1 ? i 的四个命题:

p1 : z ? 2 ,
其中真命题为( A.

p2 : z 2 ? 2i
)

p3 : z 的共轭复数为 ? 1 ? i p2 , p4 p3 , p4

p4 : z 的虚部为1

p2 , p3

B.

p1 , p2

C.

D.

?
3.已知平面向量 a与b 的夹角为 3 , A. 1 B. 3

且 b ? 1, a ? 2b ? 2 3 , 则 a ?
D. 2

( )

C. 3

4.下列推断错误的是( )
2 A.命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”

2

2 x ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则非 p : 任意 x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 B.命题 p : 存在 0

C.若 p 且 q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D.“ x ? 1 ”是“ x ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 ( )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A. 12 3

B. 36 3

C. 27 3

D. 6
-1-

6.等比数列 A. 4

{an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于( )
B. 5 C. 6 D. 1 ? lg 4

7.若实数 x、y 满足不等式组 A. 10 B. 11

?y ? 5 ? ?2 x ? y ? 3 ? 0. ?x ? y ?1 ? 0 ?
C. 13

则 z ?| x | ?2 y 的最大值是( ) D. 14

x2 ?
8.抛物线 为

1 y 2 2 在第一象限内图象上一点 (a i ,2a i ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标记

ai ?1 ,其中 i ? N ? ,若 a 2 ? 32 ,则 a 2 ? a 4 ? a 6 ? ( )
B. 42 C. 32 D. 21

A. 64

a1 a2
9. 定义行列式运算:

a3 a4

? a1a4 ? a2 a3
. 若将函数

f ( x) ?

-sinx cos x 1 - 3
的图象向左平移

m (m ? 0) 个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( )

?
A. 6

?
B. 3
k

2? C. 3

5? D. 6

? x? 1 ?1 ? ? k ? 的展开式中第四项的系数为 16 ,记函数 y ? x 2 与 y ? kx 的 10.设 k 是一个正整数, ?
图像所围成的阴影部分为 S ,任取 x ? [0,4], y ? [0,16] , 则点

( x, y ) 恰好落在阴影区域内的概率为( )

17 A. 96 1 C. 6

5 B. 32 7 D. 48

y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 F F F b 11.已知 2 、 1 是双曲线 a 的上、下焦点,点 2 关于渐近线的对称点
恰好落在以 A. 3

F1 为圆心, OF1 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )
B. 3 C. 2 D. 2
-2-

a ? 2e a 1 ? c ? ?1 b d ?1 12.已知实数 a, b, c, d 满足 其中 e 是自然对数的底数,
则 (a ? c) ? (b ? d ) 的最小值为( )
2 2

A. 4

B. 8

C. 12

D. 18

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题 (本大题共 4 个小题, 每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图: 则式子 5 ? 3 ? 2 ? 4 ? _________.

14.正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点在同一球面上,若正四棱锥的底面边长是 4 ,侧棱长为

2 6 ,则此球的表面积___________.
15.从某校数学竞赛小组的 10 名成员中选 3 人参加省级数学竞赛, 则甲、 乙 2 人至少有 1 人入选, 而丙没有入选的不同选法的种数为 (用数字作答).
2 2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是____. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.) 17.(本题满 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c 的值.

18.(本小题满分 12 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分

-3-

或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率 p 5 比赛结束时比赛停止的概率为 9 . (1)求 p 的值;

1 (p ? ) 2 ,且各局胜负相互独立.已知第二局

(2)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

19.(本题满分 12 分) 己知斜三棱柱 形,侧面

ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角

A1 ACC1 为菱形, ?A1 AC ? 60 ,平面 A1 ACC1 ? CC1 的中点.

平面 ABC , N 是 (1)求证:

A1C ? BN ; B ? A1 N ? C 的余弦值.

(2)求二面角

20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和

3 (1, ) F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点 2 在该椭圆上.
(1)求椭圆 C 的方程;

12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 ?AF2 B 的面积为 7 ,求以 F2 为圆心且
与直线 l 相切圆的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)当
f ( x) ? ln( x ? 1) ? a x?2

a?

25 4 时,求 f ( x) 的单调递减区间;

(2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围;
-4-

(3)求证:

ln(n ? 1) ?

1 1 1 ? ? ? 3 5 7

?

1 (n ? N ? ) 2n ? 1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

PA ? 20 , PB ? 10, ?BAC 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO交圆O于B, C两点,
的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E . (1)求证 AB ? PC ? PA ? AC (2)求 AD ? AE 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? cos ? (? ? y ? sin ? xOy ? C 在直角坐标系 中,圆 的参数方程 为参数) .以 O 为极点, x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程;

2 ? sin(? ? ) ? 3 3 OM : ? ? 3 3 与圆 C 的交点为 O、P , (2)直线 l 的极坐标方程是 ,射线
与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.

?

?

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 |, g ( x) ?| x | ? a (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若存在 x ? R ,使得, f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

2015 年 2 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考 数学试题答案(理科) 一、选择题:1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 14. 36?

9.A 10.C 11.C 12.B

二、填空题:13. 14 三、解答题

15. 49

4 16. 3 ?

17【解析】 : (I)由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,

则2 R sin B cos C ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3 sin A cos B, 即 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得 sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0,
1 cos B ? . 3 因此

…………6 分

(II)解:由 BA ? BC ? 2 ,可得 ac cos B ? 2 ,

1 又 cos B ? , 故ac ? 6, 3 2 2 由b ? a ? c 2 ? 2ac cos B, 可得a 2 ? c 2 ? 12, 所以(a ? c) 2 ? 0, 即a ? c,
所以 a=c= 6 ----------12 分 18. 解: (Ⅰ)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束. 5 2 1 p 2 ? (1 ? p) 2 ? p? p? 9. 3或 3. ?有 解得
p? 1 2, ?p? 2 3.

………………………………5 分

(Ⅱ)依题意知,依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.………………6 分
5 设每两局比赛为一轮, 则该轮结束时比赛停止的概率为 9 . 若该轮结束时比赛还将继续, 则甲、 乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 5 5 5 20 5 5 16 P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? (1 ? )( ) ? P(? ? 6) ? (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? 9, 9 9 81 , 9 9 81 . 从而有 10 分
-6-

? 随机变量 ? 的分布列为:

?
P

2
5 9

4
20 81

6
16 81

5 20 16 266 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81 则
19 【解析】 : (Ⅰ)证明:方法一

……………………12 分
z A1 C1 B1 O C y x B

取 AC 的中点 O ,连结 BO , ON ,由题意知 BO ? AC . 又 因 为 平 面

A1 ACC1 ? 平 面 ABC ,

所 以

BO ? 平 面
A

N

A1 ACC1 .………………2 分
因为

A1C ? 平面 A1 ACC1 所以 BO ? A1C A1 ACC1 为菱形,所以 A1C ? AC1

因为 四边形

AC1 , 所以 A1C ? ON 又因为 ON ∥
所以

A1C ? 平面 BON ………………4 分

A C ? BN .…6 分 又 BN ? 平面 BON , 所以 1
方法二 取 AC 的中点 O ,连结 BO , 又因为 平面

A1O , 由题意知 BO ? AC , A1O ? AC .

A1 ACC1 ? 平面 ABC ,所以 A1O ? 平面 ABC

以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………2 分



O ? 0, 0, 0 ? B
,

?

? 3 3? N? ? 0, 2 , 2 ? ? C ? 0,1, 0 ? 3, 0, 0 A1 0, 0, 3 ?, , , ? ,

? ?

?

A1C ? 0,1, ? 3

?

?.

? 3 3? BN ? ? ? 3, , ? ? 2 2 ? ? ?

……………………4 分

3 A1C BN ? 0 ? ? ? 3 2 因为

?

?

3 ?0 A C ? BN 2 ,所以 1 ……………………6 分

(Ⅱ)取 AC 的中点 O ,连结 BO ,

A1O , 由题意知 BO ? AC , A1O ? AC .

-7-

又因为 平面

A1 ACC1 ? 平面 ABC ,所以 A1O ? 平面 ABC

以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………7 分



O ? 0, 0, 0 ? B
,

?

? 3 ? 3 3? 3? A1 N ? ? 0, , ? N? 0, , ? ? ? 2 ? 2 2 ? 3, 0, 0 A1 0, 0, 3 2 ? ? ?, ? ? , , ,

? ?

?

A1 B ?

?

3, 0, ? 3

?.


? ? A1 N ? n1 ? 0, ? n ? ( x , y , z ) A BN ? A1 B ? n1 ? 0. 1 1 设平面 的法向量为 ,则 ?
令 x ? 1 .所以 又平面

?3 3 z ? 0, ? y? 2 ?2 ? 3 x ? 3 z ? 0. ?

n1 ? (1,

3 , 1) 3 .

…………………………………………9 分 …………………………………10 分

A1 NC 的法向量 n2 ? (1, 0, 0)

设二面角

B ? A1 N ? C 的平面角为 ? ,则

cos ? ?

n1 ? n2 21 ? n1 ? n2 7

.……………12 分

x2 y2 ? ?1 3 20. (12 分) 【解析】 (1)椭圆 C 的方程为 4

……………. . (4 分)

3 3 (2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,- 2 ) ,B(-1, 2 ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题
意. …………(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ? ?

8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 ,可得|AB|= 3 ? 4k 2 ……………. . (10 分)

12 | k | k 2 ? 1 12 2 1 3 ? 4k 2 又圆 F2 的半径 r= 1 ? k ,∴ ? A F2 B 的面积= 2 |AB| r= = 7 ,化简得:
2
4 2 17 k + k -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2 ……………. . (12 分)

2|k |

2

2

4x 2 ? 9x ? 9 (4 x ? 3)( x ? 3) ' 25 f ( x) ? ? a? 2 4( x ? 1)( x ? 2) 4( x ? 1)( x ? 2) 2 4 时 21. (Ⅰ) 当
-8-

3 (? ,3) ? f ( x) 的单调递减区间为 4 ln( x ? 1) ?
(Ⅱ) 由

………………………………… 4 分

a ?1 x?2 得 a ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ln( x ? 1)

记 g ( x) ? ( x ? 2)?1 ? ln( x ? 1)?

g ' ( x) ? 1 ? ln( x ? 1) ?
当 x ? 0 时 g ( x) ? 0
'

x?2 1 ? ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1
? g ( x) 在 (0,??) 递减 ? g ( x) ? 2 ( x ? 0)

又 g (0) ? 2 ? ?1 ? ln 1? ? 2

?a?2

………………………………………………………… 8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

ln( x ? 1) ?

2 ?1 ( x ? 0) x?2

?

ln( x ? 1) ?

x x?2

1 ln( ? 1) ? 1 1 k ?2 x? k k得 取
ln

1 k

ln(


k ?1 1 )? k 2k ? 1

?

2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ? ? ??? 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 …… 12 分

22.(1)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB ∽ ?PCA

?

AB PA ? AC PC .

……………………4 分
2

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA ? PB ? PC ,

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 900

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 又由(1)知 AC PC 2
连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB,

AB ? 6 5
,

AB AD ? ?ACE ∽ ?ADB ,则 AE AC ,
-9-

∴ AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ? 12 5 ? 360 .
2 2

------10 分

23.解:圆 C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? (5 分)

? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? ?? ?1 ? 1,?1 ? ? 3 解得 3 设 P ( ?1 , ?1 ) ,则有 ?
? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? ? ? ? ?? ? 2 ? 3,? 2 ? ? 3 3 设 Q ( ? 2 , ? 2 ) ,则有 ? 解得
所以 | PQ |? 2 24 (10 分)

1 1 1 h( x) min ? h(? ) ? ? a?? 2 2 ,从而所求实数 a 的范围为 2 故

--------10 分

- 10 -


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