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【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用精品试题


【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第三节 第一部分 函数、方程及其应用 六年高考荟萃 2012 年高考题

1.[2012·北京卷] 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图 1-6 所示.从目前记录 的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 值为( )

图 1-6 A.5 B.7 C.9 D.11 答案:C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势,也就是函数增减速度的快 慢. 法一:因为随着 n 的增大,Sn 在增大,要使 取得最大值,只要让随着 n 的增大 Sn+1-Sn 的值 超过

Sn n

Sn+1-S1 Sn+1-S1 (平均变化)的加入即可,Sn+1-Sn 的值不超过 (平均变化)的舍去,由图像 n n

可知,6,7,8,9 这几年的改变量较大,所以应该加入, 到第 10,11 年的时候, 改变量明显变小, 所以不应该加入,故答案为 C. 法二:假设 是 取的最大值,所以只要 >

Sm Sn m n

Sm Sm+1 Sm-0 Sm+1-0 即可,也就是 > ,即可以看 m m+1 m-0 ? m+1? -0

作点 Qm(m,Sm)与 O(0,0)连线的斜率大于点 Qm+1(m+1,Sm+1)与 O(0,0)连线的斜率,所以观察 可知到第 Q9(9,S9)与 O(0,0)连线的斜率开始大于点 Q10(10,S10)与 O(0,0)连线的斜率.答案 为 C. 2.[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置 为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长 度),则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图 1-4.现假设:①失 12 2 事船的移动路径可视为抛物线 y= x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往 49 救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t. (1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的 大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 7 12 2 解:(1)t=0.5 时,P 的横坐标 xP=7t= ,代入抛物线方程 y= x ,得 P 的纵坐标 yP=3. 2 49 由|AP|= 949 ,得救援船速度的大小为 949海里/时. 2

7 7 7 由 tan∠OAP= ,得∠OAP=arctan ,故救援船速度的方向为北偏东 arctan 弧度. 30 30 30

-1-

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t ). 由 vt= ? 12t +12? 1? ? 2 2 整理得 v =144?t + 2?+337. +? 7t?
2 2 2

2



?

t?

1 2 因为 t + 2≥2,当且仅当 t=1 时等号成立.

t

所以 v ≥144×2+337=25 ,即 v≥25. 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 2 3 3.[2012·北京卷] 已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 2 (2)当 a =4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 2 解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x +b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b,解得 a=3,b=3. 1 2 1 2 1 2 3 2 2 (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a 时,h(x)=x +ax + a x+1,h′(x)=3x +2ax+ a . 4 4 4 令 h′(x)=0,得 x1=- ,x2=- . 2 6

2

2

a

a

a>0 时,h(x)与 h′(x)的情况如下: a ?-∞,-a? x - ? ?

?

2?

2

?-a,-a? ? 2 ? 6? ?
- ?

- 0

a
6

?-a,+∞? ? 6 ? ? ?
+ ?

h′(x) h(x)

+ ?

0

所以函数 h(x)的单调递增区间为?-∞,- ?和?- ,+∞?;单调递减区间为?- ,- ?. 2? ? 6 6? ? ? ? 2 当- ≥-1,即 0<a≤2 时, 2 函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a 1 2 - a. 4 当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 函数 h(x)在区间?-∞,- ?内单调递增,在区间?- ,-1?上单调递减,h(x)在区间(-∞, 2? ? ? 2 ? -1]上的最大值为 h?- ?=1. ? 2? 当- <-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间?-∞,- ?内单调递增,在区间?- ,- ?内单调 2? 6? 6 ? ? 2

?

a? ? a

?

? a

a?

a

a

a

?

a?

? a

?

? a?

a

?

a?

? a

a?

? ? 递减,在区间?- ,-1?上单调递增, ? 6 ?
a
1 2 1 ? a? 2 又因 h?- ?-h(-1)=1-a+ a = (a-2) >0, 2? 4 4 ?

-2-

所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h?- ?=1. ? 2? 4.[2012·浙江卷] 已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax -2bx-a+b.(1)证明:当 0≤x≤1 时, (i)函数 f(x)的最大值为|2a - b|+ a;(ii)f(x)+|2a - b|+a≥0;(2)若-1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 解:(1)(i)f′(x)=12ax -2b=12a?x - ?. 6a? ?
2 2 3

? a?

?

b?

当 b≤0 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)=12a?x+ 此时 f(x)在?0,

? ?

6a??

b ??

??x- ?

?. 6a?
b
6a ,+∞?上单调递增.

b?

? ?

?上单调递减,在? 6a? ?

b?

? ?

? ?3a-b,b≤2a, 所以当 0≤x≤1 时,f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+b,3a-b}=? ?-a+b,b>2a ?



|2a-b|+a. (ii)由于 0≤x≤1,故当 b≤2a 时, f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1). 当 b>2a 时, f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+ 1). 设 g(x)=2x -2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x -2=6?x-
3 2

? ?

3?? 3? ? ? x+ ? , 3 ?? 3?

于是

x g′(x) g(x)

0

3? ? ?0, ? 3? ? - 减

3 3 0 极小值

? 3 ? ? ,1? ?3 ?
+ 增

1

1

1

所以,g(x)min=g?

4 3 ? 3? 3 ?=1- 9 >0.所以当 0≤x≤1 时,2x -2x+1>0. ?3?
3

故 f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x -2x+1)≥0. (2)由(i)知,当 0≤x≤1 时,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1. 若|2a-b|+a≤1,则由②知 f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1. 所 以 - 1≤f(x)≤1 对 任 意 0≤x≤1 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
?|2a-b|+a≤1, ? ? ? ?a>0,

?2a-b≥0, ? 即?3a-b≤1, ?a>0 ?

?2a-b<0, ? 或?b-a≤1, ?a>0. ?



在直角坐标系 aOb 中,③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC. 做一组平行线 a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3.
-3-

所以 a+b 的取值范围是(-1,3]. 5.[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y(单位: 元)关于当天需求量 n(单位: n∈N) 枝, 的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及 方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为

y=?

? ?10n-80,n<16, ? ?80,n≥16

(n∈N).

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为

X P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

X 的数学期望为 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为

Y P

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的 方 差 为 DY = (55 - 76.4)2×0.1 + (65 - 76.4)2×0.2 + (75 - 76.4)2×0.16 + (85 -
76.4) ×0.54 =112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为
2

Y

55

65

75

85
-4-

P

0.1

0.2

0.16

0.54

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平
均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 2011 年高考题

( 1.(安徽理 10) 函数 f ( x) ? ax g ?? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 m,n 的值可能
m n

是(

) (B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1

(A) m ? 1, n ? 1 (C) m ? 2, n ? 1

【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维 的综合能力.难度大.
? ? ? ( 【 解 析 】 代 入 验 证 , 当 m ? 1, n ? 2 , f ( x) ? axg ?? x) ? n( x ? ? x ? x) , 则

f ?( x)? a? ? x ? ? x ? )? f ?(x) ? a( ?x ? ??x ??)? ? 可知, ( ,由

1 x1 ? , x2 ? 1 3 ,结合图像可知

? 1? ?1 ? 1 ? ? ? ? x? f ( ) ? a ? g(?? ) ? ? ? 0, ? ? ,1? 3 ? 递增,在 ? 3 ? 递减,即在 3 取得最大值,由 ? ? ? ?, 函数应在 ?
知 a 存在.故选 B. 2.(湖南理 8)设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当
2

| MN | 达到最小时 t 的值为(
1 B. 2



A.1 【答案】D

5 C. 2

2 D. 2

【解析】由题 | MN |? x ? ln x, ( x ? 0) 不妨令 h( x) ? x ? ln x ,则
2 2

h'( x ) ? 2x ?

1 x ,令

h'(x ) ? 0解得

x?

2 2 2 x ? (0, ) x?( , ??) 2 ,因 2 时, h'( x ) ? 0 ,当 2 时, h'( x ) ? 0 ,所

x?
以当

2 2 t? 2 。 2 时, | MN | 达到最小。即
f ( x)

3.(四川理 7)若 象大致是( )

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 2 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, ,则 f ( x) 的反函数的图

-5-

【答案】A 【解析】 x ? 0 时, 当 函数 f ( x) 单调递减, 值域为 (1, 2) , 此时, 其反函数单调递减且图象在 x ? 1 与 x ? 2 之间,故选 A.

1 y ? ( )x ? 1 2 4.(四川文 4)函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是(



【答案】A

1 y ? ( )x ? 1 2 【解析】 图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2, 0) 且 单调递减,选 A.

5. (重庆文 7)若函数



处取最小值,则





(A) 【答案】C

(B)

(C)3

(D)4

6. (重庆文 15)若实数 , , 满足 是 . 【答案】

,

,则 的最大值

2 ? log2 3
?3 ? x ? ? , ?? ? f ? x ? ? x ?1 ?2 ? , . 对 任 意
2

7. ( 天 津 理

16 ) 设 函 数

?x? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 恒成立,则实数 m 的取值范围是



-6-

? ? 3? ? 3 ? ??, ? ? U ? , ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ?. 【答案】 ?

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? 0 ?m? 【解析】解法1.不等式化为 ,即

? x ? 1? ? 1 ? 4m2 ? 4 ?
2

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 2 m ,

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? ,
1? 1 2x ? 3 2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x? ? ? ?2 2 2 ? ?. m x ,设 x2 ,

因为 x ? 0 ,所以
2

1?
于是题目化为

?3 ? 1 x ? ? , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x ? 2 ?2 ? 恒成立的问题. m ,对任意
2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? 1 2 u? 0?u? ? ?2 2 ? ? 的最大值.设 x , x ,则 3.

为此需求

g ? x? ?

函数

g ? x ? ? h ?u ? ? 3u2 ? 2u

? 2? 2 u? ? 0, ? 3 处取得最大值. 在区间 ? 3 ? 上是增函数,因而在

4 2? 2 8 ?2? 1 8 h ? ? ? 3? ? ? 1 ? 2 ? 4m2 ? umax ? x ? ? 9 3 3 ,所以 m ?3? 3,
4 2 4m 2 ? 3 3m 2 ? 1 ? 0 整理得 12m ? 5m ? 3 ? 0 ,即 ,

?

??

?

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,

? ? 3? ? 3 m ? ? ??, ? , ?? ? ? U? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 因此实数 m 的取值范围是
1?
解法 2.同解法 1,题目化为

?3 ? 1 x ? ? , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x ? 2 ?2 ? 恒成立的问题. m ,对任意

为此需求

g ? x? ?

2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? ?2 ? ? 的最大值. x2 ,

t ??6, ??? 设 t ? 2 x ? 3 ,则 .

g ? x ? ? h ?t ? ?

4t 4 ? t ? 6t ? 9 t ? 9 ? 6 t .
2

-7-

t?
因为函数

9 9 3 ?3,??? 上是增函数,所以当 t ? 6 时, t ? t 取得最小值 6 ? 2 . t 在

4 8 ? 1 8 3 1 ? 2 ? 4m 2 ? g max ? x ? ? 6? ?6 3 h ?t ? m 3 ,整理得 2 从 而 有 最 大 值 . 所 以
12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,



? 4m2 ? 3?? 3m2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,

? ? 3? ? 3 m ? ? ??, ? , ?? ? ? U? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 因此实数 m 的取值范围是

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? 0 ?m? 解法 3.不等式化为 ,即

? x ? 1? ? 1 ? 4m2 ? 4 ?
2

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 2 m ,

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? , 1 ? ? F ( x ) ? ? 1 ? 2 ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? m ? 令 .
由于

F ? 0? ? ?3 ? 0

F ? x? ,则其判别式 ? ? 0 ,因此 的最小值不可能在函数图象的顶点得到,

?3 ? ?3? x ? ? , ?? ? F? ? ?2 ? 恒成立,必须使 ? 2 ? 为最小值, 所以为使 F ( x) ? 0 对任意
即实数 m 应满足

? ? 1 ?1 ? 2 ? 4 2 ? 0 ; m ? m ? ?3? ? ? F ? ? ? 0; ? ?2? ? 2 3 ? ? ? 2 ?1 ? 1 ? 4m 2 ? 2 ? ? ? ? m2 ? ?

-8-

? ? 3? ? 3 3 m ? ? ??, ? , ?? ? ? U? m ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 4 ,因此实数 m 的取值范围是 解得
2

?3 ? x ? ? , ?? ? ?2 ?, 解法 4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意 ?x? 3 f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? x? m? ? 2 恒 成 立 , 则 对 ?x? f ? ??4 2 m ?m?

, 不 等 式

? f? ? x?

? ?1 f?

x?4

?

f

m

x?

也 成 立 , 把

3 2

代 入 上 式 得

? 3 ? ?1? 9 9 1 2 ?3? f? ? 1 ? 4m 2 ? ? 4m 2 ? ? 1 ? 4 m 2 ? 4 ? ? 4m f ? ? ? f ? ? ? 4 f ? m ? 2 4 4 ? 2m ? ?2? ? 2? ,即 4m ,
因 为 4m ? 0 , 上 式 两 边 同 乘 以 4m
2 2

, 并 整 理 得 12m ? 5m ? 3 ? 0 , 即
4 2

? 4m

2

? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,因此实数 m 的取值

? ? 3? ? 3 m ? ? ??, ? , ?? ? ? U? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 范围是

a b (a, b, c, d ?{?1,1, 2} c d 8(上海文 12)行列式 所有可能的值中,最大的是
15 【答案】 2
9.(上海理 20) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 则

x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2x1 ? 2x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
x x x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ 2 ? 2 , a ? 0 ? a(2 ? 2 ) ? 0 , 3 ? 3 , b ? 0 ? b(3 ? 3 ) ? 0 ,



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 a ? 0, b ? 0 时, 当 同理函数 f ( x ) 在 R 上
?

是减函数。 10.(安徽理 3) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ?

-9-

(A) ??

(B) ??

(C)1

(D)3

【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题. 【解析】 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1) ? (?1)] ? ?3 .故选 A.
2

11.(广东理 4)设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x ) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x ) | +g(x)是偶函数 【答案】A 【解析】 因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而 f ( x ) +|g(x)|是偶函数, 故选 A. 12. 湖北理 6) ( 已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? 和偶函数 g ?x ? 满足 f ?x ? ? g ?x ? ? a ? a
x ?x

B. f ( x ) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x ) |- g(x)是奇函数

?2

?a ? 0, 且a ? 1? ,若 g ?2? ? a ,则 f ?2? ?
A.

2

15 B. 4

17 C. 4

D. a

2

【答案】B 【解析】由条件 f ?2? ? g ?2? ? a ? a
2 ?2

? 2 , f ?? 2? ? g ?? 2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,即

? f ?2? ? g ?2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,由此解得 g ?2? ? 2 , f ?2? ? a 2 ? a ?2 ,
所以 a ? 2 ,

f ?2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ?

15 4 ,所以选 B.

f ( x) ?
13.(辽宁文 6)若函数

x (2 x ? 1)( x ? a)

为奇函数,则 a=

1 A. 2
【答案】A

2 B. 3

3 C. 4

D.1

(0, ) +? 单调递增的函数是 14.(全国Ⅰ理 2)下列函数中,既是偶函数又在
(A) y ? x 【答案】B
3

(B)

y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

- 10 -

15. (全国Ⅰ文 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 ( x ? 0) ,则 (A) (C)

?x f ? x ? 2? ? 0? =

?x x ? ?2或x ? 4?

(B) (D)

? x x ? 0或x ? 4?

? x x ? 0或x ? 6?

? x x ? ?2或x ? 2?

【答案】B

5 f (? ) ? 2 16. 全国Ⅱ理 9) f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? 2 x(1 ? x) , ( 设 当 则 1 (A) 2 ? 1 (B) 4 ? 1 (C) 4 1 (D) 2

【答案】A 【命题意图】 :本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

5 5 1 1 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2? (1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2。 【解析】
17. ( 山 东 理 10 ) 已 知 f ( x ) 是 R 上 最 小 正 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且 当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
3

(A)6 (B)7 【答案】A

(C)8

(D)9
3

【解析】因为当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,又因为 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函

) 数 , 且 f( 0?

0 ) , 所 以 f ( 6? f

( ? )f 4

? 2f ) (

? , 又 )因 为 f ( 1 ? (0 0 )

0 , 所 以

f ( 3 ? ,0f (5) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 6 个,选 )
A. 18. (陕西理 3) 设函数 f ( x )( x ?R) 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) , 则函数 y ? f ( x) 的图像是 ( )

【答案】B 【分析】根据题意,确定函数 y ? f ( x) 的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.
- 11 -

【解析】选由 f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数, 所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 可知 B,D 符合;由 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图像的最 小正周期是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B. 19.(上海理 16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( )

y ? ln
(A) 【答案】A

1 | x| .

(B) y ? x .
3

(C) y ? 2 .
| x|

(D) y ? cos x .

20.(上海文 15)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( (A) y ? x 【答案】A
?2



(B) y ? x

?1

(C) y ? x

2

(D) y ? x

1 3

21.(湖南文 12)已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? 【答案】6



【解析】g (?2) ? f (?2) ? 9 ? 3, 则f (?2) ? ?6 , f ( x ) 为奇函数, 又 所以 f (2) ? ? f (?2) ? 6 。 2010 年高考题 一、选择题 1.(2010 上海文)17.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). 答案 D (B) (1,1.25). (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2) ( )

【解析】 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg

7 4

7 1 ? ?0 4 4

f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间(1.75,2)
2.(2010 湖南文)3. 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可 能是 A. y ? ?10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200
^ ^

B. y ? 10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200
^

^

答案 A 3.(2010 陕西文)10.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班 人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之 .. . 间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 (A)y=[ 答案 B
- 12 -

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10

解析:法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? ?10?, ? 10 ? ? ? ? ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? 1 ? ?10? ? 1 ,所以选 B ? 10 ? ? ? ? ?
3.(2010 浙江文) (9)已知 x 是函数 f(x)=2 + ,则 x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) (A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0 (B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0
x

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , 1? x

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 4.(2010 山东文) (11)函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是

答案 A 5.(2010 山东文) (8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件) 的函数关系式为 y ? ? (A)13 万件 (C) 9 万件 答案 C

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3
(B)11 万件 (D)7 万件

x 6.(2010 山东文) (5)设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b

为常数) ,则 f (?1) ? (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 答案 A 2 7.(2010 四川理) (4)函数 f(x)=x +mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 (A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 (D) m ? 1 解析:函数 f(x)=x +mx+1 的对称轴为 x=-
2

m 2

- 13 -

于是- 答案 A

m =1 ? m=-2 2

8.(2010 四川理) (2)下列四个图像所表示的函数,在点 x ? 0 处连续的是

(A) (B) 解析:由图象及函数连续的性质知,D 正确. 答案 D

(C)

(D)

9. (2010 天津文) (10) 设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , 的值域是 (A) ? ?

x x g( f ( x) ? {g ( x)?x,?x4,g?x). x), 则 f ( x) g ( x )? ? (

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

【答案】D 【解析】 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法, 属于难 题。 依 题 意 知

? x 2 ? 2 ? ( x ? 4), x ? x 2 ? 2 ? f ( x) ? 2 2 ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ?



? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2 ?

10. ( 2010
x

天 津 文 )( 4 ) 函 数

f ( x )

= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 【答案】C 【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 因为 f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

- 14 -

11.(2010 天津理) (8)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

是 (A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。 (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

?a ? 0 ?a<0 ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ?
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ?a a? ? ? ? 2 ?a
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大 于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 12.(2010 天津理) (2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由 f (?1) ?

1 ? 3 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 及零点定理知 f(x)的零点在区间(-1,0)上。 2

【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 13.(2010 福建文)7.函数 (x)= ? f A.3 【答案】B 【解析】当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;
2

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
D.0

的零点个数为 (

)

B.2

C.1

当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。

- 15 -

14.(2010 湖北文)3.已知函数 f ( x) ? ? A.4 【答案】B B.

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

1 4

C.-4

D-

1 4

1 1 1 1 【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? , 9 9 9 4

所以 B 正确. 二、填空题 1. (2010 上海文) 14.将直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 、l2 : nx ? y ? n ? 0 、l3 : x ? ny ? n ? 0( n ? N ,
*

n ? 2 )围成的三角形面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??



【答案】

1 2

【解析】B (

n n , ) 所以 BO⊥AC, n ?1 n ?1

1 n 2 n ?1 Sn = ? 2 ? ( 2? )? 2 n ?1 2 2(n ? 1)
所以 lim S n ?
n ??

1 2

2.(2010 湖南文)10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间,若用 0.618 法安排试 验,则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】171.8 或 148.2 【解析】根据 0.618 法,第一次试点加入量为 110+(210-110) ? 0.618=171.8 或 210-(210-110) ? 0.618=148.2

【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法,属容易题。 3.(2010 陕西文)13.已知函数 f(x)= ?

1 ?3x ? 2, x ? ,
2 , ? x ? ax, x ?1

若 f(f(0) )=4a,则实数 a=

.

答案 2 【解析】f(0)=2,f(f(0) )=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2 4. ( 2010 重 庆 理 ) ( 15 ) 已 知 函 数

f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

1 , 4

4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2010? =_____________.
解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 2

- 16 -

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)= 5.(2010 天津文) (16)设函数 f(x)=x-

1 2

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立, x

则实数 m 的取值范围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。 已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。 M<0,时有 mx ?

1 m 1 1 1 ? mx ? ? 0 ? 2 mx ? ( m ? ) ? ? 0 ?1 ? 2 ? 2 x2 因为 y ? 2x2 在 mx x m x m 1 x ? [1, ??) 上的最小值为 2,所以 1+ 2 ? 2 即 m 2 >1,解得 m<-1. m

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解。 6.(2010 浙江文) (16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额 为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销 售总额与七、 八月份销售总额相等, 若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元, x 的 则, 最小值 。 答案 20 7. ( 2010 天 津 理 数 )( 16 ) 设 函 数 f ( x)?
2

?2 ? , x? 1 对 任 意 x ? ? , ?? ? , ?3 ?
.

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 依据题意得

3 x2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4(m2 ? 1) 在 x ? [ , ??) 上 恒 定 成 立 , 即 2 2 m

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 ? 4m 2 ? ? , 即 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ?1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 2 x x 3 m 3

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解 8.(2010 广东文数)
- 17 -

? 2 9.(2010 江苏卷)11、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的 x?0 ?1,

范围是_____。
2 ? 【解析】 考查分段函数的单调性。 ?1 ? x ? 2 x ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2

?1 ? x ? 0 ?

三、解答题 1.(2010 福建文)21.(本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方 向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船 相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在 ? ,使得小艇以 ? 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮 船相遇?若存在,试确定 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。

- 18 -

- 19 -

2.(2010 湖北文)19.(本小题满分 12 分) 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m ) ,其中有部分旧住房需要拆除。 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆除面积为 b(单位: m )的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆除 的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.1 =1.6)
5 2 2

- 20 -

2009 年高考题 1.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过
x

0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

答案 A 解析

1 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= , f ? x ? ? ( x ?1)2 的零点为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的零 4

点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 因 为 g(0)= -1,g(

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点, 2?

1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2

g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合,故
选 A。 2.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围
x

是 答案

.

{a | a ? 1}
- 21 -

解析

设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以 实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃

圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度 为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距 离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比, 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) C 2 x 400 ? x 2
x A B

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2) y?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

4 9 8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ? , y' ? ? 3 ? , 令 y' ? 0 得 ? x 2 400 ? x 2 x (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城

- 22 -

A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 解法二: (1)同上. (2)设 m ? x2 , n ? 400 ? x2 , 则 m ? n ? 400 , y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

4 9 ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当 且 仅 当 m n m n 400 400 m n 400 16

4 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

?(

4(m2 ? m1 ) 9(m1 ? m2 ) 4 4 9 9 ? )?( ? )? ? m1 m2 400 ? m1 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 ? ] ? (m2 ? m1 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

? (m2 ? m1 )[
,

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m m 2 1 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

(0,160)上为减函数. 同 理 , 函 数 y?

4 9 ? 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则 m 400 ? m

y1 ? y2 ?

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 4 9 ? ?( ? ) ? (m2 ? m1 ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )
- 23 -

所 以 (m2 ? m1 )

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m m 2 1 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 (2 ? x ) x 万元。 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素, 记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以 上存在一点, x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最 当

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256 x ? m x ? 2m ? 256. x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3

256m x
2

1 3 m 3 ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

- 24 -

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , ( x ? 6) ? 6.(2009 年上海卷理)有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) f ( x ) 表 ,
*

示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1)证明 当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为

(115,121] , (121,127] , (121,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应
的学科。 证明 (1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0??..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减

? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降?????..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85??????.9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] ??.13 分 解得 a ? 0.05 e ?1
由此可知,该学科是乙学科?????..14 分 7.(2009 上海卷文) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分 .有时可用函数

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x ,  x ? 6, ? f ( x) ? ? ? x ? 4.4 ,       6 ? ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) f ( x ) 表示对 ,
*

该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降;
- 25 -

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 证明 (1)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln 整理得

a ? 0.85 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] ??.13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科?????..14 分

2007—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 年全国一 2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一 过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 s s s s ( )

O A.

t

O B.

t O C.

t O D.

t

答案 A 2.(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 ( )

- 26 -

答案 D 3.(07 广东)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时, 然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发.经过乙地,最 后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是 ( )

A 答案 C

B

C

D

4.某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时刻 t (月份)之间的关系如图所示,已知该年的 平均气温为 10℃ .令 C(t)表示的时间段[0,t]的平均气温, C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是 ( )

答案 A 解析 由图可以发现当 t=6 时, C(t)=0, 排除 C; t=12 时, C(t)=10, 排除 D; 在大于 6 的 t 某一段气温超于 10,所以排除 B,故选 A。 二、填空题
x x 6.(2007 年上海 4)方程 9 ? 6 ? 3 ? 7 ? 0 的解是



答案

log3 7

三、解答题

- 27 -

8.(2008 年江苏卷 17)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处, 已知 AB=20km,CB=10km ,

D O

P

C

为了处理三家工厂的污水, 现要在矩形 ABCD 的区域上 (含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道 的总长 为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长 度最短. 解 本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①设 AB 中点为 Q,由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则

A

B

AQ 10 10 ? , 故 OB ? ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ? cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OA ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA=OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y? ? 令 y? ? 0 得 sin ? ?
?10 cos? cos? ? (20 ? 10 sin ? ) 10(2 sin ? ? 1) ? cos2 ? cos2 ?

? ? 1 ? ?? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = .当 ? ? ? 0, ? 时, y? ? 0 , y 是 ? 的减函 4 6 2 ? 6?
? (10 ? 10 3 ) (km)。这时

数;当 ? ? ?

? ?? ? ? , ? 时, y? ? 0 ,y 是 ? 的增函数.所以当 ? = 时, yiin 6 ?6 4?
10 3 km 处。 3

点 0 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

- 28 -

9.(2008 年湖北卷 20).(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用 t 表示时间,以 月为单位,年初为起点.根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函 数关系式为

?(?t 2 ? 14t ? 40)e 5 t ? 50,0 ? t ? 10, ? V (t ) ? ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,.10 ? t ? 12. ?
1

(Ⅰ) 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i ? 1 ? t ? i 表示第 i 月份 i ? 1, 2,?,12 ) ( , 问一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算).
1
2

解 (1)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t +14t-40) e 4 ? 50 ? 50, 化简得 t -14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4. ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10) t-41)+50<50, (3 化简得(t-10) t-41)<0, (3 解得 10<t<
2

t

41 ,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12. 3

综上得 0<t<4,或 10<t≤12, 故知枯水期为 1 月,2 月, 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. ,3 (2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.

1 2 3 1 t 由 V′ t) e (? t ? t ? 4) ? ? e 4 (t ? 2)(t ? 8), 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). ( = 4 2 4
当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表:

1 t 4

1

t V′(t) V(t)

(4,8) +

8 0 极大值
2

(8,10) -

由上表,知 V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e +50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

第二部分

四年联考汇编

2012-2013 年联考题

- 29 -

1【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 R ,满 足 fM ? x ? ? ?

?1, x ? M ( M 是 R 的 非 空 真 子 集 ), 在 R 上 有 两 个 非 空 真 子 集 A, B , 且 ?0, x ? M

A ? B ? ? ,则 F ? x ? ?
A. ? 0, ? 3 【答案】B

f A? B ? x ? ? 1 的值域为 f A ? x? ? fB ? x? ?1
C. ? , ,1?

? ?

2? ?

B. ?1?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

【 解 析 】 若 x ? A , 则 f A ( x) ? 1, f B ( x) ? 0, f A?B ( x) ? 1 , F ( x) ? 1 ; 若 x ? B , 则

f A ( x) ? 0, f B ( x) ? 1, f A?B ( x) ? 1, F ( x) ? 1 ;若 x ? A,x ? B ,则 f A ( x) ? 0 , f B ( x) ? 0 ,
f A?B ( x) ? 0, F ( x) ? 1. 故选 B.
? x3 1 , ? x ?1 ? ? x ?1 2 f ( x) ? ? 2【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】函数 和 ?? 1 x ? 1 ,0 ? x ? 1 ? 6 12 2 ?
函数 g ( x) ? a sin 的取值范围是

?
6

x ? a ? 1(a ? 0) ,若存在 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a

( A. , ]
【答案】C

1 3 2 2

B. [1,2)

( 2 C. ,]

1 2

( D. 1, ]

3 2

1 x3 2 ? x ?1 f ( x )? , x ) x ? 1 f ' ( ) x ( 2 ? 3? 【解析】当 2 时, x = 2 (x ? 1 ) 1 f ( )? f ( x?) 2

函数递增,此时 0

1 0? x? 1 1 2 时,函数 f ,即 ? f ( x ) ? ,当 (1) 1 1 ,单调递 12 2 f ( x) ? ? x ? 6 12

减 , 此 时 0 ? f ( x) ?

1 1 ? ? , 综 上 函 数 0 ? f ( x) ? 。 当 0 ? x ? 1 时 , 0 ? x ? , 12 2 6 6 ? 1 1 1 0 ? sin x ? , ?a ? 1 ? g ( x) ? a ? a ? 1 , 即 ?a ? ?g ( x) ? ? a , 若 存 在 1 1 ? 6 2 2 2
让 让 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, g ( x) 的最大值大于等于 f ( x) 的最小值, g ( x) 的

- 30 -

? 1 ?a ? 2 ?? 2 a ? 1 ? 0 1 ? ? 最小值小于 f ( x ) 的最大值,即 ? ,解得 ? 1 ,即 ? a ? 2 ,选 D. 2 ??a ? 1 ? 1 ?a ? 2 ? ? ? 2
3【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】已知函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函 数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是 A. (10,??) 【答案】B 【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) ,此时为减函数,所以当 x ? 0 , 函 数 g ( x) ? ? f ( x ) 调 递 增 。 因 为 g (lg x) ? g (1) , 所 以 有 ?1 ? lg x ? 1 , 解 得 单 B. (

1 ,10) 10

C. (0,10)

D. (0,

1 ) ? (10,?? ) 10

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10
4【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 函数 】 ( ) A. 【答案】D 【解析】要使函数有意义,则有 ? B. C. D. 的定义域为

?? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ?x ? 0

,即 ?

? x 2 +3x ? 4 ? 0 ?x ? 0

,解得 ?4 ? x ? 1 且

x ? 0 ,选 D.
【 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 )】 已 知 函 数 的图象如图所示则函数 的图象是( )

- 31 -

【答案】A 【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 。所以根据指数函数的图 象可知选 A. 5【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】定义在 R 上的函数 ,当 时, ,则( ) 满足

A.

B.

C. 【答案】D 【解析】由题意可知,函数 如图所示:∵ 数, ∴ ,选 D.

D.

的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象, 且 ,而函数 在 是减函

6.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】设函数 ______. 【答案】

5 2

- 32 -

【解析】令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即 f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ?

1 ? 1 。令 2


x ?1



f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?
3 5 ? 1= 。 2 2

1 3 ?1 ? 2 2





x?3

f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?

7.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实 数 a= 【答案】4
2 【 解 析 】 f ( x) ? ( x ? a)( x? 4)? x ? (a ? 4)x ? 4 因 为 函 数 f ( x ) 是 偶 函 数 , 所 以 必 有 , a

.

a ? 4 ? 0 ,即 a ? 4 .
8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若存在常 数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ? m x ,则称函数 f ( x ) 为 F ? 函数.给出下列函数:①

f ( x) ? x2 ;② f ( x) ?
为 【答案】②④ .

x x ;③ f ( x) ? 2 ;④ f ( x) ? sin 2 x . x ?1
2

其中是 F ? 函数的序号

f ( x) x 2 f ( x) ? ? x ,所以 【解析】因为 ? x ,没有最大值,所以①不是 F ? 函 x x x
数.

f ( x) 1 ? 2 ? 1 ,所以存在 m ? 1 ,有 f ( x) ? m x 成立,所以②是 F ? 函数.③不是 x x ?1

F ? 函数.因为 f ( x) ? sin 2x ? 2x ? 2 x ,所以此时存在 m ? 2 ,所以④是 F ? 函数,
所以是 F ? 函数的有②④. 9. 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的 函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ① y ? x?

1 x

1 1 ;② y ? x? ; x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
【答案】①③

.

- 33 -

【解析】 y ? x ? 当

1 1 1 1 时,f ( ) ? ? x ? ? f ( x) , 所以①满足 “倒负” 变换的函数。 y ? x ? 当 x x x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? 1 1 时, f ( ) ? ? x ? f ( x) ,所以②不满足“倒负”变换的函数。当 y ? ?0, ( x ? 1) 时,当 x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
x ? 1 时, 0 ?
1 1 1 1 ? 1 , f ( ) ? ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 , f ( ) ? ? x ? ? f ( x) , x x x x

所以③满足“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是①③。

? 1 x ?( ) , x ? 4 10.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 ? f ( x ? 1), x ? 4 ?

f (1 ? log 2 5) 的值为
【答案】



1 20

【解析】 3 ? 1 ? log 2 5 ? 4 ,所以 f (1 ? log2 5) ? f (2 ? log2 5) ? f (log2 20)

1 1 ? ( )log2 20 ? 2? log2 20 ? . 2 20
11.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | ( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是 【答案】 (0, )
x x 【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出函数

.

1 2

y ? a x ? 1 的图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立。
当 0 ? a ? 1 时 , 0 ? 2a ? 2 , 要 使 两 个函 数的 图 象 有两 个 公 共点 ,则 有 0 ? 2a ? 1 ,即

0?a?

1 1 2 ,所以 a 的取值范围是 (0, ) 。 2

- 34 -

12.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函 数且在 ?0, ??? 上递增,不等式 f ? 【答案】 ( ? ,1) 【 解 析 】 因 为 y ? f ? ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 且 在 ?0, ??? 上 递 增 , 所 以 x

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解集为 ? x ?1 ? ? 2?

1 3

x 1 1 x 1 ? x ? ? 1? f? ) ? f ( ? ) ? f ( ) ,所以 ? ,即 2 x ? x ? 1 , ? ? f ? ? ? 等价为 f ( x ?1 2 2 x ?1 2 ? x ?1 ? ? 2?
平 方 得 4 x ? x ? 2 x ? 1 , 所 以 3x ? 2x ? 1? 0, 解 得 ?
2 2 2

1 ? x ? 1 ,即不等式的解集为 3

1 ( ? ,1) 。 3
13. 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且 f ? x ? 2? ? ? 【答案】 ?

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ? x ? ? x, 则f ? 2013? ? ______________. f ? x?

1 3

【 解 析 】 因 为 f ? x ? 2? ? ?

1 , 所 以 f ? x ? 4? ? f ( x) , 即 函 数 f ( x ) 的 周 期 是 4 , f ? x?

f (2013) ? f (1) ? ?

1 1 ?? . f (3) 3
| x ? 1|

14.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】函数 f ( x ) ? 2 为 【答案】 [1, ??) 。

的递增区间

- 35 -

【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2t 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ? 单调递增,所以函数 f ( x) ? 2|x?1| 的递增区间为 [1, ??) 。

? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1 上 ?1 ? x, x ? 1

15.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知实数 a,b 满足等式 2 ? 3 ,给
a b

出下列五个关系式中:① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 则所有可 . 能成立的关系式的序号为___.___. . 【答案】①②⑤
x 【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f (x ) ? 2 , x ? g ( ) x

3的 图 象 如 图 , 由 图 象 可 知 ,

①,②,⑤正确. 16. 【 山 东 省 潍 坊 市 四 县 一 区 2013 届 高 三 11 月 联 考 ( 理 ) 已 知 奇 函 数 f (x) 满 足 】

7 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值为 2
【答案】 ? 2 【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f (x) 周 期 是 4 , 所 以
1 7 7 1 1 1 f ( ) ? f ( ? 4) ? f (? ) ? ? f ( ) ,又当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,所以 f ( ) ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 2 2

所以 f ( ) ? ? 2 . 17. 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 设函数 f ? x ? ? ? 函数 y ? f ? f ? x ? ? ? 1 的零点个数为__________. ? ? 【答案】2

7 2

?2 x ? ?log 2 x ?

? x ? 0? , ? x ? 0?

- 36 -

x x 【解析】当 x ? 0 时, 0 ? 2 ? 1 ,所以 f ? f ? x ? ? ? 1 ? log2 2 ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 (舍 ? ?

去 ); 当 x ? 1 时 , f ( x)? l o gx ? 2

, 所 以 f ? f ? x ? ? ? 1 ? log 2 (log 2 x) ? 1 ? 0 得 0 ? ? 时 ,

log2 x=2,x ? 4
f? ?


l


g

0 ? x ?1

f(

?) x

2

? l

o , x g



以 0

? f? ? ? 1 x ?

? 22x o

?1

? x 1 ? ? 10 ? ,所以 x ,所以函数 y ? f ? f ? x ? ? ? 1 的零点是 4,1, ? ?

共有 2 个. 18.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) ? ? 和函数 g ( x) ? ln ? x ?1? 的图象的交点个数是 ____________. 【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为 2. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函

?2 x ? 2,
2

x ?1

? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的图象

数.给出下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 ( x ? R) 是单函数;
x

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数, 其中的真命题是 【答案】②③④ 【解析】当 x1 ? 2, x2 ? ?2 时, f ( x1 ) ? 4 ? f ( x2 ), 故①错; f ( x) ? 2 x 为单调增函数,故②正 确;而③④显然正确. 19. 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)(本小题满分 12 分) 】 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年 .. 产 量 不 足 80 千 件 时 , C ( x ) ? . (写出所有真命题的序号)

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ) . 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 , 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的 .. x

商品能全部售完.

- 37 -

(Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 【答案】解: (Ⅰ)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万 .. .. 元,依题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .????????????2 分 3 10000 ? 1450 ? 250 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? x
= 1200? ? x ?

? ?

10000? ? .??????????????????4 分 x ?

? 1 2 ?? 3 x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? 所以 L( x) ? ? ????6 分 ? 10000? ?1200? ? x ? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

1 3

此时,当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. ??????8 分

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

此时,当 x ?

10000 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x

? 950 ? 1000
所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分 20.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间 ?2,3? 上的最大值为 4 , 最小值为 1 , 记
2

f ( x) ? g( x ) .
(1) 求实数 a、 b 的值; (2) 若不等式 f(log2 k) f(2) 成立,求实数 k 的取值范围; ?

- 38 -

(3) 定





? p, q ?
n













m(x)









T : p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? q 将区间 ? p, q ? 任意划分成 n 个小区间,如果存
在一个常数 M ? 0 ,使得和式

? m( x ) ? m( x
i ?1 i n

i ?1

) ? M 恒成立,则称函数 m(x) 为在 ? p, q ? 上

的有界变差函数. 试判断函数 f (x) 是否为在 ? ,3? 上的有界变差函数?若是,求 M 的最小值; 1 若不是,请说明理由.(参考公式:

? ? ? f (x ) ? f (x ) f (x ) ? ? f (x
i ?1 i 1 2

n

))

【答案】(1) g ( x) ? a(x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g (x) 在区间 ?2,3? 上是增函 数,故 ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . b?0 g (3) ? 4 ? ?

??4 分

(2) 由 已 知 可 得 f ( x) ? g ( x ) ? x ? 2 x ? 1 为 偶 函 数 , 所 以 不 等 式
2

f(log2 k) f() ? 2 可化为 log2 k ? 2 ,
解得 k ? 4 或 0 ? k ?

1 , 4

?????7 分 ????9 分

1 (3)函数 f (x) 为 ? ,3? 上的有界变差函数.

1 因 为 函 数 f (x) 为 ? ,3? 上 的 单 调 递 增 函 数 , 且 对 任 意 划 分
T : 1 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? 3 ,有

f (1) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? f (3) ,所以

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 )

? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f (3) ? f (1) ? 4 ,
所以存在常数 M ? 4 ,使得 所以 M 的最小值为 4 .

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M 恒成立,

????13 分

21. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 本 小 题 满 分 12 分 ) 记 ( , f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 若 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集 为 ( 1 , 3 ) 试 解 关 于 t 的 不 等 式

f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .

- 39 -

【答案】由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t |2 ? | t | ?6 ? 0 ????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分 22.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ) 记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}},? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?
2

1 , 判断 ? 与 E 的 4

关系;

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n ( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? 【答案】 (Ⅰ) f (x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? 解: ? x2 x2
(Ⅲ)当 x? [

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ?

???????????????4 分

x2 ?1 x2
3 4

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

? 3? ? E ? ?0, ? , ?????????????????????????????6 分 ? 4?

- 40 -

23.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)(本小题满分 12 分) 】 已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x>0 时,f ( x) ? 0 又

f (1) ? ?2 .
(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

【答案】 (1)解:取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f (x) 为奇函数.

- 41 -

24.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)(本小题满分 12 分) 】 对 于 函 数 f (x) 若 存 在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成 立 , 则 称 x0 为 f (x) 的 不 动 点 . 已知

f (x)=ax2 ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点, 且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1 【答案】解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

1

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3
? 函数 f (x) 的不动点为-1 和 3;
2 (2) f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根, 即 转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有

两个不等实根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ? a 的 取 值 范 围 为

0 ? a ? 1;

- 42 -

(3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

b , a

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1
又因为 A,B 在直线 y ? x 上,

? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ?

1
2

2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a

上.

利用基本不等式可得当且仅当 a ?

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2

2011-2012 年联考题

ì log 2 x x > 0 ? ? f ( x) = ? log (- x) x < 0 í 1 ? ? 2 ? ? 【2012 海南嘉积中学期末理 15】若函数 ,若 f (a) > f (- a) ,则
实数 a 的取值范围是 【答案】 (?1,0) ? (1,??) .

? a ?0 ? a?0 ? ? ? log a ?log a1 ? log(1? a ) ?log(2? a ) ; 2 ? ? a ? (?1, 0) ? (1, ??) 2 【解析】由题意得 ? 或? 2
【2012 ? 黑龙江绥化市一模理 11】设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 f ( x) ? f ( x ? 4) ,且当 x ?[?2, 0] 时, ?2? ,若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程

x

f ( x) ? loga (x ? 2) ? 0(a ? 1)恰有三个不同的实数根,则 a 的取值范围为( )
A.

(1, 2)

3 B. (2, ??) C. (1, 4)

3 D. ( 4, 2)

【答案】D 【 解 析 】 令

g ( x) ? log( x?2) , 由 题 意 若 在 区 间 (?2, 6] 内 关 于 x 的 方 程 a

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有三个不同的实数根,所以
【2012 ? 浙江瑞安期末质检理 10】 定义函数

?

g ( 2)?3 g ( 6)?3

3 ,解得 4 ? a ? 2

f(x) ? ?x ? ?x?? , ?x? 表示不超过 x 的最大整数, 其中

- 43 -

x ??0,n? (n ? N*) 时, a 则使 当 设函数 f(x) 的值域为集合 A , A 中的元素个数为 n , 记
为最小时的 n 是( A.7 【答案】C ) B.9 C.10 D.13

an ? 49 n

f ( x) ? 【 解 析 】 0 ? x ?1 时 ,

01 a? ,

1?; 1 ?时 ,2 f ( x) ? ? x? , a2 ? 2 ; x

2 ? x ? 3, f ( x) ? ?2x?

a3 ? 4,

3 ? x ? 4, f ( x) ? ?3x?

, a4 ? 7,4 ? x ? 5, f ( x) ? ?4x?, a5 ? 11,5 ? x ? 6, f ( x) ? ?5x?, a6 ? 16,

,9 ? x ? 10, f ( x) ? ?9 x?, a10 ? 46, a11 ? 57, a12 ? 69, a13 ? 79

6 ? x ? 7, f ( x) ? ?6 x?, a7 ? 22,7 ? x ? 8, f ( x) ? ?7 x?, a8 ? 29,8 ? x ? 9, f ( x) ? ?8x?, a9 ? 37

100 n 2 ? n ? 2 a n ? 49 1 ? (n ? ), n ? 10 an ? n 2 n 2 , 取得最小值。

? a, b? ,当 x ??a ,b ? 时的值 【2012 浙江瑞安期末质检理 17】对于函数 y ? f (x) ,若存在区间
域为

?ka, kb? (k ? 0) ,则称 y ? f (x) 为 k 倍值函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实
.

数 k 的取值范围是

1 (1,1 ? ) e 【答案】
【解析】 、因为 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数, f (x) 在 ?a, b? 上增,

?

ln a ?a ?ka ln b?b?kb

在 (0,??) 上有

两根,则 g ( x) ? ln x ? (1 ? k ) x, 有两个零点, y ? ln x 与 y ? (k ? 1) x 相交两点, k ? 1 ? 0 ,

k ? 1?


1 1 1 ? k ? 1? e 时相切,所以 e;

【2012 ? 延吉市质检理 8】函数 f ( x ) 的定义域为 R,且满足: f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 1) 是奇 函数,若 f (0.5) =9,则 f (8.5) 等于 A. ? 9 【答案】B B.9 C. ? 3 D.0 ( )

【解析】 因为 f ( x ) 是偶函数,f ( x ? 1) 是奇函数, 所以 f (? x) ? f ( x), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) , 函数是周期函数,周期 T=8,所以 f (8.5) =9

- 44 -

【2012 武昌区高三年级元月调研文】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万 元)分别为

l1 ? 5.06x ? 0.15x2和L2 ? 2x ,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地

共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 万元. 【答案】 45.6 【解析】本题主要考查函数的应用问题及二次函数的最值. 属于基础知识、基本运算的考查. 设甲地销量为 x 辆,则乙地销量为 15- x 辆,总利润为 y(单位:万元) ,则

y ? 5.06x ? 0.15x2 ? 2(15 ? x),(0 ? x ? 15, x ? N ) ,
即 y ? ?0.15x ? 3.06 x ? 30,(0 ? x ? 15, x ? N )
2

二次函数对称轴为 x ? 10.2

∵ x ? N ,故 x ? 10 辆时 y 最大,最大值为 45.6 万元。 【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工 资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低 成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q( x) ? 170 ? 0.05 x ,试问生产 多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本) 【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.

P( x) ?
解: (Ⅰ)

12500 ? 40 ? 0.05 x x

???????????????3 分

由基本不等式得 P( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500 ? 0.05x 当且仅当 x ,即 x ? 500 时,等号成立 P( x) ?


????????5 分

12500 ? 40 ? 0.05 x x ,成本的最小值为 90 元. ????????6 分

(Ⅱ)设总利润为 y 元,则

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130x ? 12500 ? ?0.1( x ? 650) 2 ? 29750
当 x ? 650 时,

ymax ? 29750 ????????????????????11 分

答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.? ??12 分
- 45 -

【2012 ? 宁德质检理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 , k ? R.
x ?x

(1)若函数 f ( x ) 为奇函数,求实数 k 的值; (2)若对任意的

x??0, ???

都有 f ( x) ? 2 成立,求实数 k 的取值范围。

?x

【2012 ? 深圳中学期末理】 (本小题满分 14 分) 已知集合 (I)设
D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k

? .其中 k

为正常数.

u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围.
(

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x2 2 k 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立; (II)求证:当 k ? 1 时不等式 x1
1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x2 2 k 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 的范围. (III)求使不等式 x1 (

【答案】 (I)

x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 k 2 k x1 ? x2 ? ) ? 2 时等号成立, 2 4 ,当且仅当

k2 (0, ] 4 . 分) 故 u 的取值范围为 (3
x x 1 1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x x2 x1 x2 x2 x1 (II) 变形,得 1 (
2 x12 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? x1 x2 ? ? ? x1 x2 ? ?2?u? ?2 x1 x2 x1 x2 x1x2 u . (5 分)

- 46 -

0?u?


k2 k2 2 (0, ] 4 ,又 k ? 1 , k 2 ? 1 ? 0 ,∴ f (u ) ? u ? k ? 1 ? 2 在 4 上是增函数, u
2

1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? u ? k ? 1 ? 2 x x2 u 所以 1 ( (

?

k 2 k 2 ?1 k2 4 2 k ? 2 ?2? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 k 4 4 k k 2 4 .

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x x2 2 k 成立. (9 分) 即当 k ? 1 时不等式 1
2 1 1 k 2 k2 ? x1 )( ? x2 ) ? u ? 1 ? k ? 2 ? f (u ) ( ? )2 ? f ( ) x x2 u 4 , (III)令 1 ,则 2 k

(

f (u ) ? f (
即求使

k2 k2 ) u ? (0, ] 4 对 4 恒成立的 k 的范围. (10 分)
(

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x x2 2 k 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立,必有 0 ? k ? 1 , 由(II)知,要使 1
因此 1 ? k ? 0 ,∴函数
2

f (u ) ? u ?

1? k 2 ?2 u 在 (0,

1 ? k 2 ] 上递减,在 [ 1 ? k 2 , ??) 上递增,

要使函数 f (u ) 在

(0,

k2 k2 k2 f (u ) ? f ( ) ] ? 1? k 2 4 ,必有 4 4 上恒有 ,
5?2 . (14 分)

4 2 即 k ? 16k ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2

【2012·泉州四校二次联考理】 (本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射

性污染指数

f ? x?

与时刻 x (时)的关系为

f ? x? ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? x ?1 3 ,
2

? 1? a ? ?0, ? ? 2 ? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性污 其中 a 是与气象有关的参数,且
染指数,并记作

M ?a?



t?
(1)令

x x ? 1 , x??0, 24? ,求 t 的取值范围;
2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污 染指数是否超标? (本小题满分 13 分) 【解】 (1)当 x ? 0 时,t=0; ????????1 分

- 47 -

当 0 ? x ? 24 时,

x?

1 ?2 x (当 x ? 1 时取等号) ,

t?


x 1 ? 1? ? ? ? 0, ? x ?1 x ? 1 ? 2 ? x ,
2

? 1? ?0, ? 即 t 的取值范围是 ? 2 ? .

????????4 分

? 1? 2 a ? ?0, ? g ? t ? ? t ? a ? 2a ? ? 2 ? 时,记 3 (2)当

2 ? ??t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ? 则
? 1? ? a, ? g ? t ? ?0, a ? ∵ 在 上单调递减,在 ? 2 ? 上单调递增,

????????8 分

2 ?1? 7 1? ?1? ? g ? 0 ? ? 3a ? , g ? ? ? a ? , g ? 0 ? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? 3 ?2? 6 4 ?. ?2? ? 且

? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? M ?a? ? ? ? ? ?? ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? 3 4 2 . ????????10 分 ? ? 4 2 ? 故
a?
∴当且仅当

4 9 时, M ? a ? ? 2 .

0?a?
故当

4 4 1 ?a? 9 时不超标,当 9 2 时超标.

????????13 分

2010 年联考题 题组二 一、填空题

y?
1.(安徽两地三校国庆联考)函数

lg | x | x 的图象大致是

(

)

- 48 -

答案 D 2. (池州市七校元旦调研)对于正实数 ? ,记

M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合:

?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ).下列结论中正确的是
( A.若 )

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

f ( x) ? M ?1 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则 g ( x) ?2 B.若
C.若 D.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

答案 C

【解析】对于

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有

?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? x2 ? x1 ,令

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?k f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 即 有 x2 ? x1 , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设

??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2
f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .

, 因 此 有

??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2

, 因 此 有

3. (安徽两地三校国庆联考) 函数 f ( x) ? x cos x ? 1, x ? (?5,5) 的最大值为 M , 最小值为 m , 则 M ? m 等于( A.0 答案 C
- 49 -

) B.1 C.2 D.4

4. 岳野两校联考) f ( x) 是定义在 R 上的函数, ( 若 对任意的实数 x , 都有

f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4

1 ? ) 和 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, 且 f( ) 2 ,则 f(2009 的值是(
A.2008 答案 C B.2009 C.2010

) D.2011

5. (安徽两地三校国庆联考)设定义在 R 上的函数 f (x) 的反函数为 f
?1 ?1 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 3 ,则 f ( x ?1) ? f (4 ? x) 等于(

?1

( x) ,且对于任意的



A.0 答案 A

B.-2

C.2

D. 2 x ? 4

6. ( 昆明 一中 三次 月考 理 ) 已知 函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的 图 象如右 图 示, 函数

y ? g ( x) 的 图 象 与 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 则 函 数 y ? g ( x) 的 解 析 式 为
A. g ( x) ? 2x B. g ( x) ? ( )

1 2

x

C. g ( x) ? log 1 x
2

D.

g ( x) ? log2 x
4 , x

答案:B7.(昆明一中三次月考理)已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x) ? x ? 且当 x ?[?3 , ? 1] , f ( x) 的值域是 [n , m] ,则 m ? n 的值是 A.

1 3

B.

2 3

C. 1

D.

4 3

答案:C

8. (昆明一中二次月考理)如图表示函数 象,则 ( )

(其中

)的图

A.

B.

- 50 -

C. 答案:B 9. (昆明一中二次月考理)偶函数

D.

满足

=

,且在

时,

,则关于 的方程 A.1 答案:D B.2

,在 C.3

上解的个数是 ( D.4



二、填空题 1.(安徽两地三校国庆联考)已知函数 f(x)= ? 答案 1 或 2
?log 2 x( x ? 0) 1 , 若 f(a)= .则 a 的值为 2 2 x , ( x ? 0) ?

2.(安庆市四校元旦联考)已知关于 x 的方程 x ? ax ? 1 有一个负根,但没有正根,则实数 a 的取值范 围是 答案 a≥1 3.(安徽两地三校国庆联考)给出定义:若
m? 1 1 ? x ? m? 2 2 (其中 m 为整数),则 m 叫做离实

数 x 最近的整数,记作 { x } ,即 { x } ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ?| x ? { x } | 的四个 命题:



y ? f ( x)

1 k x ? (k ? Z ) y ? f ( x) 2 的定义域是 R,值域是[0, 2 ];② 的图像关于直线 对称;

? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? 上是增函数; ③函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期是 1;④ 函数 y ? f ( x ) 在 ?

则其中真命题是__ 答案 ①②③



4 . 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 实 数 a 、 b ? R 满 足 :

f (2 n ) f (2 n ) bn ? a ? f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) , f (2) ? 2 , n n (n ? N *) , 2n ( n ? N * ) ,
- 51 -

{b } {a } 考察下列结论,① f (0) ? f (1) ;② f (x) 为偶函数;③数列 n 为等差数列;④数列 n 为
等比数列,其中正确的是_______(填序号) 答案 ①③④ 5. (昆明一中二次月考理)函数 答案:0 6. (师大附中理)已知函数 f ( x) ? 1 ? 3( x ?1) ? 3( x ?1)2 ? ( x ?1)3 , 则 f ?1 (8) ? __________。 答案:0
? 7 . 师 大 附 中 理 ) 假 设 x1 ? ?97 , 对 于 n ? 1(n? N )有 xn ? (



____________.

n ,计算乘积: xn ?1

=______。 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 答案:384 8.(昆明一中二次月考理)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点,则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数:

①f(x)=sinx; ②f(x)=π (x-1) +3; ③ 其中是一阶格点函数的有 答案:①②④ .

2





三、解答题 1. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ⑴求函数 f (x) 的周期; ⑵函数 f (x) 的图象可由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到?

1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? ( x ? R) 2

解: (1) f ( x) ?

? 3 1 3 1 sin 2 x ? (2cos 2 x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2

所以 函数 f (x) 的周期是 ? (2)将函数 y ? sin x 的图象向左平移 的

? 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标变为原来 6

1 倍(纵坐标不变式) ,得函数 f (x) 的图象 2

2.(本小题满分 12 分) (安徽两地三校国庆联考)
- 52 -

机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养 费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后, 每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.

x( x ? 1) ? ? y ? 50?12x ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. 2 ? ? 解 (1)依题得: (x ? N*)

(2)解不等式 ?2x ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51
2

∵x ? N*,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。

?
(3) (Ⅰ)

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 x 时,即 x=7 时等号成立.

2x ?
当且仅当

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(Ⅱ)y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 3. (本小题满分 12 分) (安徽两地三校国庆联考) 已知 a 是实数,函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,
2

求 a 的取值范围. 解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 .



? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0
2

a?
, 解得

?3 ? 7 2

- 53 -

a?
①当

?3 ? 7 2 时,

y ? f ? x?

恰有一个零点在

??1,1? 上;

y ? f ? x? ??1,1? ②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, 在 上也恰有
一个零点. ③当

y ? f ? x?



??1,1? 上有两个零点时,



a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 或?

a?

?3 ? 5 2 a? ?3 ? 5 2 .

综上所求实数 a 的取值范围是

a ?1 或

4.(本小题满分 13 分) (安徽两地三校国庆联考) 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), 求证:f(0)=1; 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
f ( ? x) ?

(2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0
f ( x) ?



1 ?0 f ( ? x)

又 x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

- 54 -

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3 5. (三明市三校联考) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (I)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:① ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立



? ( (i ? 1) ) ?
i ?2

n

ln i

n(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 4
1 ?k x ?1

解: (I)函数 f ( x)的定义域为 (1,?? ), f ' ( x) ? 当 k ? 0 时 f ' ( x) ?

1 ? k ? 0 ,则 f ( x)在(1,??) 上是增函数 x ?1 1 1 ?k ?0 当 k ? 0 时,若 x ? (1,1 ? ) 时有 f ' ( x) ? k x ?1 1 1 1 1 ? k ? 0 则 f ( x)在(1,1 ? ) 上是增函数, (1 ? ,?? ) 若 x ? (1 ? ,?? ) 时有 f ' ( x) ? 在 k x ?1 k k
上是减函数 ????????(4 分) (Ⅱ) (I) k ? 0 , f ( x)在(1,??) 递增, f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立, k ? 0 由 知 时 而 故 又由(I)知 y max ? f (1 ? 则 y max ? f (1 ?

1 ) ? ? ln k ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, k
由 ? ln k ? 0得k ? 1 ???????(8 分)

1 ) ? ? ln k ? 0 即可。 k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒成立,且 f ( x)在[2,??) 上是减函数,

f (2) ? 0 ,? x ? (2,??), f ( x) ? 0 恒成立,
即 ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立 。????????(11 分) 令 x ? 1 ? n ,则 ln n ? n ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,从而
2 2 2

ln n n ? 1 ? , n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ??? ? ? ? ??? ? 成立??(14 分) 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4

- 55 -

6. (玉溪一中期中理) (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ?

( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] . x

(Ⅰ) 设 g ( x) ? x2 ? f ' ( x),( x ? 0) .试证明 g ( x) 在区间 (0, ??) 内是增函数; (Ⅱ) 若存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) 使得 g (a) ? 0 成立,求正整数 m 的值; (Ⅲ) 若 x ? 0 时, f ( x) ? n 恒成立,求正整数 n 的最大值.

证明: (1)

f ( x) ?

( x ? 1) ?1 ? ln( x ? 1)? x

, ( x ? 0) f '( x) ?

x ? 1 ? ln( x ? 1) x2

∴ g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1),( x ? 0) , 则 g '( x) ?

x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0,??) 内 单 调 递 增 x ?1

解: (2) ∵ g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0 , g (3) ? 2(1 ? ln 2) ? 0 ,∴由(1)可得 g ( x) 在 (0,??) 内单调 递增, 即 g ( x) ? 0 存在唯一根 a ? (2,3) 解:(3) 由 f ( x) ? n 得 n ? f ( x) 且 ∴ m?2
x ? (0,??) 恒成立,由(2)知存在唯一实数 a ? ( 2,3) ,

使 g (a) ? 0 且当 0 ? x ? a 时,g ( x) ? 0 , ∴ f ' ( x) ? 0 , x ? a 时,g ( x) ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 . 当 ∴ 当 x ? a 时, f ( x ) 取得最小值 f (a ) ?

(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] a

∵ g (a) ? 0 , ∴ a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 ? 1 ? ln(a ? 1) ? a . 于是, f (a) ? a ? 1. ∵ a ? (2,3) , ∴ f (a) ? (3, 4) ∴ n ? 3 ,故正整数 n 的最大值为 3.

题组一(1 月份更新)

1. (2009 宣威六中第一次月考) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间 [?1, 2] 上是减函数,
3 2

那么 b ? c ( A.有最大值 答案 B

B

) B.有最大值 ?

15 2

15 2

C.有最小值

15 2

D.有最小值 ?

15 2

2.(2009 枣庄一模)如果函数 f ( x) ? a ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第一、二、四象限,
x

不经过第三象限,那么一定有 ( )
- 56 -

A. 0 ? a ? 1且b ? 0 C. a ? 1且b ? 0 答案 B

B. 0 ? a ? 1且0 ? b ? 1 D. a ? 1且b ? 0

?1? 3.(2009 韶关一模)已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的解,且 ? 3?

x

0 ? x1 ? x0 ,则 f ? x1 ? 的值为
A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

答案 A 4.(2009 玉溪一中期中)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) ,且 f ( x ? 1) 的反 函数恰好为 f ?1 ( x ? 1) 。若 f (1) ? 3999 ,则 f (2009) ? 答案 1991 .

R 5.(2009 上海十四校联考)已知 f ( x)是定义在 上的函数,且 f (1) ? 1, 对任意的x ? R 都
有 下 列 两 式 成 立 :

f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5; f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1.若g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x, 则g (6) 的值为
答案 16.(2009 上海八校联考)某同学在研究函数 f ( x) ? 几个结论: ①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立; ②函数 f ( x ) 的值域为 (?1, 1) ; ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有________________。 (请将你认为正确的结论的序号都填上) 答案 ①②③

x ( x ? R) 时,分别给出下面 1? | x |

3 2 7.(2009 青岛一模)已知函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 ?

3 (a ? R 且 a ? 0) ,求函数 f (x) 的极大 a

值与极小值.

- 57 -

2 2 解:由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3ax( x ? ) a
令 f ?( x) ? 0得 x ? 0, 或x ?

2 a

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ' ? x?

? ??,0?
+

0 0 极大

? 2? ? 0, ? ? a?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? , ?? ? ?a ?
+

f ? x?
? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ' ? x? f ? x?
?

2? ? ? ??, ? a? ?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? ,0? ?a ?
+

0
0 极大

?0,???
-

f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a? 3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ; a a a ?a?

?

总之,当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?

1 8.(2009 宣威六中第一次月考)设函数 f (x) =- x 3 ? 2ax2 ? 3a 2 x ? b, 0< a <1。 3

(1)求函数 f (x) 的单调区间、极值。 (2)若当 x ? ?a ? 1, a ? 2? 时,恒有 f ?(x) ≤ a ,试确定 a 的取值范围。
2 2 解: (1) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a , 2 2 令 f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a 得 x=a 或 x=3a

由表

- 58 -

x
f ?( x )
f ( x)

( ??, a ) - 递减
?

α 0
4 3 a ?b 3

( a,3a ) + 递增

3α 0 b

( 3a, ?? ) - 递减

可知:当 x ? (??, a) 时,函数 f ( x )为减函数,当 x ? (3a,??) 时,函数 f( x )也为减 函数:当 x ? (a,3a) 时,函数 f( x )为增函数。 (2)由 f ?(x) ≤ a ,得- a ≤- x 2 ? 4ax ? 3a 2 ≤ a 。∵0< a <1, ∴ a +1>2 a ,

f ?(x ) =- x 2 ? 4ax ? 3a 2 在[ a +1, a +2]上为减函数。∴[ f ?(x) ]max = f ′( a +1)=2 a -1,
[ f ?(x) ]min= f ′( a +2)=4 a -4.于是,问题转化为求不等式组 ? 解不等式组,得

?2a ? 1 ? a 的解。 ?4a ? 4 ? ?a

4 4 ≤ a ≤1。又 0< a <1, ∴所求 a 的取值范围是 ≤ a ≤1。 5 5

9.(2009 上海闸北区)设 f ( x) ?

a ? 2x ,其中实常数 a ? ?1 . 1? 2x

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域和值域; (Ⅱ)试研究函数 f (x) 的基本性质,并证明你的结论. 解: (Ⅰ)函数 f (x) 的定义域为 R

f ( x) ?

?1? 2x ? 2 a ?1 ? ?1 ? x , x 1? 2 2 ?1

x x 当 a ? ?1 时,因为 2 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? 1 ,

0?

a ?1 ? a ? 1 ,从而 ? 1 ? f ( x) ? a , 2x ?1

所以函数 f (x) 的值域为 (?1, a) . (Ⅱ)假设函数 f (x) 是奇函数,则,对于任意的 x ? R ,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立,



a ? 2?x a ? 2x ?? ? (a ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ? a ? 1 ?x x 1? 2 1? 2

? 当 a ? 1 时,函数 f (x) 是奇函数.当 a ? ?1 ,且 a ? 1 时,函数 f (x) 是非奇非偶函数.

- 59 -

? 对于任意的 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

(a ? 1)2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) ? 0 ? 当 a ? ?1 时,函数 f (x) 是递减函数. (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

10.(2009 重点九校联考)已知指数函数 y ? g( x ) 满足:g(2)=4, 定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m

(1)确定 y ? g( x ) 的解析式; (2)求 m,n 的值; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围。 解: (1)

y ? g( x ) ? 2 x

? 2x ? n (2)由(1)知: f ( x ) ? x ?1 2 ?m
因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

n?1 ?0? n?1 2? m

∴ f ( x) ?

1 ? 2x , 又由 f(1)= -f(-1)知 2 x ?1 ? m

1 1? 2 2 ?m?2 f ( x) ? ?? 4? m m?1 1?
1 ? 2x 1 1 ?? ? x (3)由(2)知 f ( x) ? , x ?1 2?2 2 2 ?1
易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2 2 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t

即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

- 60 -

11.(2009 日照一模)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 。
3 2

(I)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 2 处有极值-6,求 y ? f ( x) 的单调递减区间; 解: (I) f '( x) ? 3x ? 2ax ? b
2

? f '(2) ? 0 ? f (2) ? ?6 依题意有 ?
5 ? ?a ? ? , ?12 ? 4a ? b ? 0, 2 ? ? ?b ? ?2 8 ? 4a ? 2b ? ?6. 解得 ? 即?

? f '( x) ? 3x2 ? 5x ? 2
1 ? ?x?2 由 f '( x) ? 0 ,得 3 1 (? , 2) ? y ? f ( x) 的单调递减区间是 3

? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, (Ⅱ)由 ?

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0. 得?

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?

? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 得?

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?

?a ? 0, ? b ? ?1. 得?

?Q 点的坐标为(0,-1) .
z?


b , a ? 1 则 z 表示平面区域内的点( a , b )与点

P(1, 0) 连线斜率。

? KPQ ? 1,

由图可知 z ? 1 或 z ? ?2 ,

- 61 -

b ? (??, ?2] ? [1, ??) 即 a ?1

12.(2009 玉溪一中期末)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 5, 若x ?
3 2

2 时, y ? f ( x) 有极值, 3

且曲线 y ? f ( x)在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 3。 (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)求 y ? f (x) 在[-4,1]上的最大值和最小值。 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. ????1 分

2 2 2 ? ? 2 ?a ? 2, ? f ( ) ? 3 ? ( ) ? 2a ? ? b ? 0, 由题意,得 ? 解得 ? 3 3 3 ?b ? ?4. ? f ?(1) ? 3 ?12 ? 2a ?1 ? b ? 3. ?
所以, f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? 5. ????5 分

????4 分

(2)由(1)知 f ?( x) ? 3x 3 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)(3x ? 2). ,

令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?2, x 2 ?

2 . 3

????6 分

x
f ?(x) f (x)
函数值

-4

(-4, -2) +

-2 0 极大值

2 (?2, ) 3


2 3
0 极小值

2 ( ,1) 3
+

1

-11

13

95 27

4

? f (x) 在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11。 ????12 分
13.(2009 枣庄一模)设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b( x ? R, )其中a, b ? R.
4 3 2

(1)当 a ? ?

10 时, 讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

, (2)若函数 f ( x)仅有x ? 0处有极值 求a 的取值范围;
(3)若对于任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立,求 b 的取值范围。
- 62 -

解: (1) f ?( x) ? 4x 3 ? 3ax2 ? 4 x ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4).

10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2). 3 1 令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 2. 2
当a ? ? 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)
f (x)

(??,0)
单调递减

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ 单调递增

1 2
0 极大值

1 ( ,2) 2
单调递减

2 0 极小值

(2,??)
+ 单调递增

所以 f ( x)在(0, )和(2,?? ) 上是增函数, 在区间 (?? ,0)和( ,2) 上是减函数 (2) f ?( x) ? x(4x ? 3ax ? 4),显然x ? 0不是方程 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根。 4
2 2

1 2

1 2

? f ( x)仅在x ? 0 处有极值。
则方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根,
2

? ? 9a 2 ? 4 ? 16 ? 0.
解此不等式,得 ?

8 8 ?a? , 3 3

这时, f (0) ? b 是唯一极值。 因此满足条件的 a的取值范围是 [? , ]
2 注:若未考虑 ? ? 9a ? 4 ? 0.进而得到 a的范围为 [? , ] ,扣 2 分。

8 8 3 3

8 8 3 3

(3)由(2)知,当 a ? [?2,2]时,4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。
2

( 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间 ??,0]上是减函数, f 因此函数 f ( x)在[?1,0]上的最大值是 (?1).
12 分

a 又? 对任意的 ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立。 ? f (?1) ? 1,即3 ? a ? b ? 1.

- 63 -

于是 b ? a ? 2在a ? [?2,2] 上恒成立。

? b ? ?2 ? 2,即b ? ?4.
因此满足条件的 b的取值范围是 ??,?4). (

2009 年联考题 一、选择题 1.(2009 泉州市)函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 ( )
1 1 A. ? , ? ? ? ?8 4? 1 1 B. ? , ? ? ? ? 4 2?

C. ? ,1? ? ?
1 ?2 ?

D.(1,2)

答案 C 2.(2009 厦门二中) lg x ? A. (0, 1] 答案 B 3.(2009 莆田一中)若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ( A. ? ?2, 2 ? 答案 A 4. (沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 ( )A. (-1,0) B. (0,1) B. )

1 ? 0 有解的区域是 x
C. (10, 100]

( D. (100, ? ?)



B. (1, 10]

??2, 2?

C. ? ??, ?1?

D. ?1, ?? ?

C. (1,2) 答案 B 二、填空题

D. (1,e)

5.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在 [?2,2] 的图象 如下所示:

- 64 -

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 答案 ①③④ 6. 2009 龙岩一中) ( 我市某旅行社组团参加香山文化一日游, 预测每天游客人数在 50 至 130 人 之间,游客人数 x (人)与游客的消费总额 y (元)之间近似地满足关系: ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

y ? ? x2 ? 240x ? 10000 .那么游客的人均消费额最高为_________元.
答案 40 7.(安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测)函数 f ( x) ? ? x ? log 2 x 的零点所 在区间为 A. [0, ] 答案 三、解答题 8. ( 2009 福 州 八 中 ) 某 造 船 公 司 年 造 船 量 是 20 艘 , 已 知 造 船
2 3

1 8

B. [ , ]

1 1 8 4

C. [ , ]

1 1 4 2

D. [ ,1]

1 2

C

x 艘的产值函数为

R(x)=3700x+45x -10x (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又在 经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (Ⅰ)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意义 是什么? 解 ( Ⅰ ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3240x-5000,(x ? N , 且 MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3275,(x ? N ,且 1≤x≤19)
- 65 2 * 3 2 *

1 ≤ x ≤ 20);

(Ⅱ) P?( x) ? ?30 x 2 ? 90 x ? 3240 ? ?30( x ? 12)(x ? 9) . ∴当 0<x<12 时 P?(x) >0,当 x<12 时, P?(x) <0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (Ⅲ)∵MP(x)=-30x +60x+3275=-30(x-1) +3305, 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,x 的取值范围为[1,19],且 x ? N
* 2 2

MP( x) 是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.
9. (2009 福建省) 已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际 金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员 工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗员 工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员工每人每 年可为企业多创利润(1-

81 )万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时,留岗员工每人 100 x

每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 解 设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2000×1%=20,∴当 0<x≤20 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1∵x≤2000×5%

81 324 )-0.5x=-5(x+ )+9000.81. 100 x x

∴x≤100,∴当 20<x≤100 且 x∈N 时,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. ∴y??
324 ? ) ? 9000.81, (0 ? x ? 20且x ? N), ?? 5( x ? x ?? 4.9595 x ? 8919, (20 ? x ? 100且x ? N). ?

当 0<x≤20 时,有

324 )+9000.81≤-5×2 324 +9000.81=8820.81, x 324 当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x
y=-5(x+ 当 20<x≤100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 所以 y<-4.9595×20+8919=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.

- 66 -


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