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鄂州市2012届高三摸底考试数学(理科)


鄂州市2012届高三摸底考试



学(理工农医类)
审题人:何敏锐

命题人:王志勇 注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、 班级、考号填写清楚,并贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 .......... 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1 1.复数 (i ? ) 3 等于 i A.8 B.-8 C.8i D.-8i 2.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U = A ? B,则集合 CU ( A ? B) 的真子集共有 A.3 个
x

B.6 个 B.c<b<a

C.7 个 C.c<a<b

D.8 个 D.b<a<c

3.已知函数 f(x)=e +x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1 的零点依次为 a,b,c,则 A.a<b<c

4.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则 AB? AC 等于 A.-16 B.-8 C.8 D.16

5.将函数 f(x)= 3sin2x-cos2x 的图象向右平移 θ(θ>0)个单位,所得 函数是奇函数,则实数 θ 的最小值为 π 5π A. . B. 12 12 5π D. 6 π C. 6

π 6.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象如 ? ?
高三数学(理科)试卷 第1页(共4页)

π 图,则 f ?24?= ? ? A.2+ 3 3 C. 3 B. 3 D.2- 3

7.已知 α1,α2,α3 是三个相互平行的平面.平面 α1,α2 之间的距离为 d1,平面 α2,α3 之 间的距离为 d2.直线 l 与 α1,α2,α3 分别相交于 P1,P2,P3,那么“P1P2=P2P3”是“d1 =d2”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 8.函数 f ( x) ? ln x ? x 2 的大致图像是 2 y y

y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A A ?

B A? B.

C A ? 6

D

. . . 9.设 O 为△ABC 的外心,且. ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则△ABC 的内角 C 的值为 3OA
A.

4

3

C.

D.

? 2

A

10.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件①常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b] ? D,②使 f(x) 在[a,b]上的值域为[ka,kb](k∈N+),那么我们把 f(x)叫做[a,b]上的“k 级矩阵”函 数,函数 f(x)=x 是[a,b]上的“1 级矩阵”函数,则满足条件的常数对(a,b)共有 A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上) 11.已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x1?m 在 (0, ??) 上是增函数,则实数 m=__________. 12.在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a,b,c 成等差数列,sinA,sinB, sinC 成等比数列,则三角形的形状是_______. 2? 2? 13. 由直线 x=- , x= , y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为 3 3 14.在 2008 年北京奥运会青岛奥帆赛举行之前,为确保赛事 安全, 青岛海事部门举行奥运安保海上安全演习. 为了测
A 高三数学(理科)试卷 第2页(共4页) C D B



量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离为 1 千米的两个观察点 C, D,在某天 10:00 观察到该航船在 A 处,此时测得∠ADC=30° 分钟后该船行驶 ,3 至 B 处,此时测得∠ACB=60° ,∠BCD=45° ,∠ADB=60° ,则船速为________千米 /分钟. 15. 已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数, 对于 x∈R 都有 f(x-6)=f(x)+f(3)成立, f(0)=-2, 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0.则给出下列命题: 当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 x1 ? x2 ①f(2010)=-2; ②函数 y=f(x)图像的一条对称轴为 x=-6; ③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为增函数; ④方程 f(x)=0 在[-9,9]上有 4 个根. 其中所有正确命题的序号为____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
2 2 16. (本小题满分 12 分)已知命题 p: ? x∈[1,2],x -a≥0.命题 q: ? x0∈R,使得 x0+(a

-1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围.

17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? (

?

3 sin 2 x ? 2, cos x , n ? ?1, 2 cos x ? , 设 函 数

?

f ? x? ? m ? n .
⑴求 f (x) 的最小正周期与单调递增区间; ⑵在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ? A? =4,b ? 1, △ ABC 的面积 为

3 ,求 a 的值. 2

D

C

18. (本小题满分 12 分)已知:如图正方形 ABCD 的边长为 a,
高三数学(理科)试卷 第3页(共4页) Q

A

P

B

P,Q 分别为 AB,DA 上的点,当△ PAQ 的周长为 2a 时,求∠PCQ。

x x 19. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ka -a- (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.

⑴若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - ⑵若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求 m 的值. 2

20. (本小题满分 13 分)工厂生产某种产品,次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为
? 1 ?6 ? x , 0 ? x ? c ? p?? , 为常数,且 0<c<6) (c .已知每生产1件合格产品盈利 3 元, ?2 , x?c ?3 ?

每出现1件次品亏损 1.5 元. ⑴将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; ⑵为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=
次品数 ×100%) 产品总数

21. (本小题满分 14 分)已知函数: f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) ⑴讨论函数 f (x) 的单调性; ⑵若函数 y ? f (x) 的图象在点 ?2, f (2)? 处的切线的倾斜角为 45o,对于任意的 t ?[1,2] , 函数 g ( x) ? x3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ⑶求证:
m ] 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2

ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln n 1 ? ? ? ?? ? (n ? 2, n ? N ? ) . 2 3 4 5 n n

鄂州市2012届高三摸底考试参考答案
高三数学(理科)试卷 第4页(共4页)

数学(理科)
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11.-1 三、解答题: 16.解:由条件知,a≤x2对? x∈[1,2]成立,∴a≤1; ......................................... (3分) ∵? x0∈R,使 x2+(a-1)x0+1<0 成立, 0 ∴不等式 x2+(a-1)x+1<0有解,∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3或 a<-1; .............................................................................................................................. (6分) ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 与 q 一真一假. ........................................................................................... (8分) ①p 真 q 假时,-1≤a≤1;②p 假 q 真时,a>3. ∴实数 a 的取值范围是 a>3或-1≤a≤1. .......................................................... (12分) 17.解:⑴
m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1, 2 cos x), π? ? ? f ( x) ? m ?n = 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin ? 2 x ? ? +3 6? ? 2π ?T ? ? π................................................................................................................(3分) 2

1 D

2 C

3 A

4 D

5 B

6 B

7 C

8 B

9 A

10 C

12.等边三角形

13.4- 3

14.

6 6

15.① ② ④

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ,故 kπ ? ? x ? kπ ? ? k ? Z ? , 2 6 2 3 6 ? f (x) 的单调递增区间为 ? kπ ? π , kπ ? π ? ? k ? Z ? . .................................... (6分) ? 3 6? ? ? π? ⑵由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2sin ? 2 A ? ? ? 3 ? 4 , ? 6? ? π 5π π π 13π π? 1 ? , 2A ? ? ? 2sin ? 2 A ? ? ? .又? A 为 ?ABC 的内角, ? 2 A ? ? 6 6 , 6 6 6 6? 2 ?
令 2kπ ?

?A?

π . .............................................................................................................. (9分) 3
高三数学(理科)试卷 第5页(共4页)

3 1 3 ,?c ? 2 , , b ? 1 ,? bc sin A ? 2 2 2 1 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? ? 3 ,?a ? 3 .………… (12分) 2 18.解:设 PB= ma ,DQ= na , ? S ?ABC ?
则 AP= (1 ? m)a ,AQ= (1 ? n)a 则 PQ= AP 2 ? AQ 2 ? a m 2 ? n 2 ? 2(m ? n) ? 2 …………………………………(3 分) 由题意 AP+AQ+PQ=2 a = (1 ? m)a + (1 ? n)a + a m 2 ? n 2 ? 2(m ? n) ? 2 化简得 m ? n ? mn ? 1 ,……………………………………………………… (6 分)

tan ?DCQ ? n, tan ?PCB ? m ………………………………………………… (8 分)
所以 cot ?PCQ ? tan(?PCQ ? ?BCP) ? m ? n ? 1 ? mn ? 1 , ………………… (11 分) 1 ? mn 1 ? mn 又 ?PCQ 为锐角, 所以 ?PCQ =

?。 ………………………………………… (12 分) 4

19.解:⑴∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1,……………………………………………… (1分) - 故 f(x)=ax-a x(a>0,且 a≠1) 1 ∵f(1)>0,∴a- >0,又 a>0 且 a≠1,∴a>1. a 1 lna x f′(x)=axlna+ x =?a +ax?lna ? ? a 1 ∵a>1,∴lna>0,而 ax+ x>0,∴f′(x)>0故 f(x)在 R 上单调递增………………(3分) a 原不等式化为:f(x2+2x)>f(4-x) ∴x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0∴x>1 或 x<-4, ∴不等式的解集为{x|x>1或 x<-4}.……………………………………………(6分) 3 1 3 ⑵∵f⑴= ,∴a- = ,即 2a2-3a-2=0, 2 a 2 1 ∴a=2或 a=- (舍去). ................................................................................... (8分) 2 ∴g(x)=22x+2
-2x

-2m(2x-2 x)=(2x-2 x)2-2m(2x-2 x)+2.








令 t=f(x)=2x-2 x,由(1)可知 f(x)=2x-2 x 为增函数
高三数学(理科)试卷 第6页(共4页)



3 ∵x≥1, ∴t≥f(1)= , ………………………………………………………………(9分) 2 3 令 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥ ) 2 3 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 2 3 3 17 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2, 2 2 4 25 3 解得 m= > ,舍去,综上可知 m=2. ………………………………………(12分) 12 2 2 2 2 3 20.解:⑴当 x>c 时,p= ,y=?1-3?· 3- · =0;………………………… (2 分) ? ? x· 3 x· 3 2 1 当 0<x≤c 时,p= , 6-x 1 1 3 3(9 x ? 2 x 2 ) ∴y=?1-6-x?· 3- x· · = x· .………………………………… (4 分) ? ? 6-x 2 2(6 ? x) ∴日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为
? 3(9 x ? 2 x 2 ) ? y= ? 2(6 ? x) ?0 ? 0? x?c x?c

………………………………………………………(6 分)

⑵由⑴知,当 x>c 时,日盈利额为 0. 当 0<x≤c 时, ∵y=
3(9 x ? 2 x 2 ) , 2(6 ? x)

∴y′= ? =

3 2

(9 ? 4 x)(6 ? x) ? (9 x ? 2 x 2 ) (6 ? x ) 2

3( x ? 3)(x ? 9) (6 ? x ) 2

,…………………………………………………………………(8分)

令 y′=0,得 x=3 或 x=9(舍去). ∴①当 0<c<3 时,∵y′>0,∴y 在区间(0,c]上单调递增, ∴y 最大值=f(c)=
3(9c ? 2c 2 ) ……………………………………………………(10分) 2(6 ? c)

②当 3≤c<6 时,在(0,3)上,y′>0,在(3,c)上 y′<0, ∴y 在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减. 9 ∴y 最大值=f(3)= . ................................................................................................ (12分) 2
高三数学(理科)试卷 第7页(共4页)

综上,若 0<c<3,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大; 若3≤c<6,则当日产量为3万件时,日盈利额最大. ................................... (13分) a(1 ? x) 21.解:⑴ f ' ( x) ? ( x ? 0) , x 当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 ? 0,1? ,减区间为 ?1,?? ? ; .................... (1分) 当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ? 0,1? ; ...................... (2分) 当 a ? 0 时, f (x) 不是单调函数 ..................................................................... (3分)

a ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 2 m ∴ g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 ........................ (5分) 2
⑵ f ' (2) ? ?

? g ' (t ) ? 0 ∵ g (x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ' ? 0 ? ? ?2 ∴ ? ? g ' (3) ? 0
由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立, 所以, ?
? g '(1) ? 0 ,∴ ? ? g '(2) ? 0 ? g '(3) ? 0 ?

37 ? m ? ?9 3

..................................................... (8分)

⑶令 a ? ?1此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由⑴知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1,??) 上单调递增,∴当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) , 即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立, .......................... (10分) ∵ n ? 2, n ? N* ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ?

ln n n ? 1 ? n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? (n ? 2, n ? N? ) ..................... (14分) 2 3 4 n 2 3 4 n n

高三数学(理科)试卷

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