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《中学教材全解》2013-2014学年(苏教版选修2-1)第2章圆锥曲线与方程本章练测


第 2 章 圆锥曲线与方程(苏教版选修 2-1)
建议用时 120 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 若椭圆 实际用时 满分 160 分 实际得分

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 3 ,则曲线 2 a b 2
. . ① ②

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 a 2 b2
2.方程 x =

1 - 3 y 2 表示的曲线是

①双曲线; ②椭圆; ③双曲线的一部分; ④椭圆的一部分. 3.已知对 k∈R,直线 y=kx+1 与椭圆恒有公共点,则实数 m 的取值范围是 . ④ 4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是 . ③ 2 5. 直线 y=kx-2 与抛物线 y =8x 交于不同的两点 P、Q,若线段 PQ 中点的横坐标为 2,则 PQ = . 6.已知点 A(3,2) ,B(-4,0) ,P 是椭圆 上一点,则 PA+PB 的最大值为 7. 直线 y=2k 与曲线(k∈R 且 k≠0)的公共点的个数是 相切,则椭圆的离心率为 . . . .

8.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点,椭圆的左焦点为,且直线与此圆 9.若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则的最大值为 10.已知方程 ax2 + by2 = ab 和 ax + by + c = 0 ,其中

ab 构0, a

b , c > 0 ,它们所表示的曲线可能是下列图象中的



11.已知抛物线上一点 0 到其焦点的距离为 5,双曲线的左顶点为,若双曲线的一条渐近线与直 线平行,则实数的值是 心率的取值范围是 13. 已知椭圆 . . 12.椭圆的左、右焦点分别为,为椭圆上任一点,且的最大值的取值范围是,其中,则椭圆的离

x2 y2 x2 y 2 - 有共同的焦点,是椭圆和双曲线的一个交点, + = 1 与双曲线 p q m n



. .

14.双曲线的一条准线是,则的值为 二、解答题(共 90 分)

15.(14 分)已知抛物线方程为 y 2 = 2 px( p > 0) ,直线 l:x + y = m 过抛物线的焦点且被抛物线截 得的弦长为 3,求的值

16.(14 分 ) 已知椭圆

x2 a
2

+

y2 b
2

= 1 (a > b > 0) 的离心率 e =

6 ,过点和的直线与原点的距离为 3

3 . 2 (1)求椭圆的方程.

(2)已知定点,若直线 与椭圆交于两点.问:是否存在,使以为直径的圆过点?请说明理由.

17.(14 分)设双曲线 为等边三角形.

x2 a

2

y2 b2

= 1 的离心率为,若右准线与两条渐近线相交于两点,为右焦点,△

(1)求双曲线的离心率的值;

(2)若双曲线被直线截得的弦长为

b 2 e2 ,求双曲线的方程 a

18. (16 分)已知椭圆的离心率 ,短轴长为 2.设是椭圆上的两点,向量 m= ,n= O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程.

,且 m· n=0,

(2)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

19. (16 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 抛物线的焦点. (1)求椭圆 C 的方程.

,它的一个顶点恰好是

(2)点 P(2,3) ,Q(2,-3)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点. (ⅰ)若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; (ⅱ)当 A,B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值?并说明理由.

20.(16 分)设分别为椭圆:

= 1 (a > b > 0) 的左、右两个焦点. a 2 b2 (1)若椭圆上的点到两点的距离之和等于,写出椭圆的方程和焦点坐标. +

x2

y2

(2)设点是(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程.

(3)已知椭圆具有性质:若是椭圆上关于原点对称的两个点,点是椭圆上任意一点,当直线、 的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线 似的性质,并加以 证明

x2 a

2

y2 b2

= 1 写出类

一、填空题

= 1( a > b > 0) 的离心率为,得.设,则,.又双曲线中,. a b2 2.④ 解析:方程可化为. 3.m1且m≠5 解析:∵直线y=kx+1过定点(0,1),则∴ m≥1且m≠5.
1. 解析:由椭圆
2

5 2

x2

+

y2

4.

解析:由椭圆的方程知,,∴, ∴ 抛物线的焦点为(-2,0) ,∴ 抛物线的标准方程是.
2 2 2

5. 2 15 解析:将 y=kx-2 代入 y =8x 得 k x -4(k+2)x+4=0,(*) 2 2 易知 k≠0,Δ =16(k+2) -16k =64(k+1)>0,∴ k>-1,且 k≠0. 由根与系数的关系,得

2( k ? 2) 2 =2,∴ k -k-2=0,即(k-2)(k+1)=0,∴ k=2 或 k= 2 k
x1+x2=4,x1·x2=1,
2 2

-1(舍). 2 此时方程(*)化为 x -4x+1=0,∴

∴ PQ= 1 ? k 2 ? |x1-x2|= 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = 5· 16-4=2 15. 6. 10+ 解析:易知B为椭圆的左焦点,因为 <1,所以点A在椭圆内. 设椭圆的右焦点为E(4,0),根据椭圆的定义可得,PB+PE=2a=10, 故有PA+PB=PA+10-PE=10+(PA-PE). 当P、A、E三点不共线时,有PA-PE<AE; 当P位于射线AE与椭圆的交点处时,有PA-PE=AE; 当P位于射线EA与椭圆的交点处时,有PA-PE=-AE; 故有-AE≤PA-PE≤AE. 而AE= 7. 4 = , ,10+ ]. 所以PA+PB=10+(PA-PE)∈[10消去y得解得|x|=1± 8. 3 -1

解析:由题意得 k∈R且 k≠0, >0,故有4个解.

解析:由题意得, ,.

在直角三角形中,,即,整理得. 等式两边同除以,得,即,解得或(舍去). 故 9.6 解析:由题意,得F(-1,0), 设点,,则有 =1,解得. 因为=,,=,, 所以 此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2, 因为-2≤≤2,所以当=2时,取得最大值 +2+3=6. 10.② 解析:方程化成,可化成. 对于①:由双曲线图象可知: , ,∴,即直线的斜率应大于 0,故错; 对于②:由双曲线图象可知: , ,∴ ,即直线的斜率应大于 0, 又,即直线在轴上的截距为正,故②正确; 对于③④:由椭圆图象可知: , ,∴,即直线的斜率应小于 0,故③④错. 11. 解析:依题意知,所以,所以,所以,点的坐标为. 又,所以直线的斜率为.由题意得,解得. 12.

?1, 2? ?2 2 ?

解析:设, , ,则, ,.又可看做点到原点的距离的平方,

所以,所以=. 由题意知,即,则. 13. 解析:因为椭圆

x2 y 2 x2 y 2 = 1 有共同的焦点, + = 1 与双曲线 p q m n

所以其焦点位于轴上,由其对称性可设在双曲线的右支上,左、右焦点分别为, 由椭圆以及双曲线的定义可得, , 由①②得, .所以. 14. 解析:由题意可知双曲线的焦点在轴上,所以.双曲线方程可化为,

因此, ,.因为准线是直线,所以,即, 解得. 二、解答题 15. 解:由直线 l 过抛物线的焦点,得直线 l 的方程为 由消去,得 y2 + 2 py - p2 = 0 . 由题意得 D = (2 p)2 + 4 p2 > 0 , y1 + y2 = - 2 p , y1 y2 = - p2 .

, 设直线与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 AB = 3 .
,解得. 16.解: (1)直线的方程为. 依题意得解得所以椭圆方程为

x2 + y2 = 1 . 3

(2)假若存在这样的值,由得 (1 + 3k 2 )x2 + 12kx + 9 = 0 , 所以 D = (12k )2 - 36(1 + 3k 2 ) > 0 . 设 C( x1,y1 ) 、 D( x2,y2 ) ,则
2 而 y1 y2 = ( kx1 + 2)( kx2 + 2) = k x1 x2 + 2k( x1 + x2 ) + 4 .

① ②

×

当且仅当时,以为直径的圆过点,则

y1 x1

y × = - 1, +1 x +1
2 2

即 y1 y2 + ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 ,
2 所以 ( k + 1)x1 x2 + (2k + 1)( x1 + x2 ) + 5 = 0 .



将②式代入③式整理解得 k = 综上可知,存在 k =

7 7 .经验证, k = 使①成立. 6 6

7 ,使得以为直径的圆过点. 6

17.解: (1)双曲线的右准线的方程为

a2 b ,两条渐近线方程为 y = ? x . c a

骣 骣 a2 ab ÷ a2 ab ÷ ? ÷ ÷ ? ? , Q , 所以两交点坐标为 P ? 、 ÷ ÷. ? ? ÷ ? ? c c c c÷ 桫 桫
设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形,则有 MF =

3 PQ , 2

所以 c -

a2 3 骣 ab ab c2 - a 2 ? ÷ = × ,即 = ? + ÷ ÷ c 2 ? c c÷ c 桫
.所以 e = 3a ,
c = 2. a

3ab , c

解得 b =

( 2 ) 由 ( 1 ) 得 双 曲 线 的 方 程 为

x2 a

2

y2 3a2

= 1 . 把 y = ax + 3a 代 入 得

( a2 - 3)x2 + 2 3a2 x + 6a2 = 0 .
设直线与双曲线的交点坐标为(x1,y1) 、 (x2,y2), 依题意所以 a2 < 6 ,且 a2 ? 3 . 所以双曲线被直线截得的弦长为

d = ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 = (1 + a2 )( x1 - x2 )2 = (1 + a2 )[( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 ]
= 12a 4 - 24( a2 - 3)a2 . (1 + a2 )g ( a2 - 3)2

因为 d =

b 2 e2 72a2 - 12a 4 = 12a ,所以 144a2 = (1 + a2 )× 2 , a ( a - 3)2

整理得 13a 4 - 77a2 + 102 = 0 , 所以 a2 = 2 或 a2 =
51 . 13

x2 y 2 13x2 13 y 2 = 1或 = 1. 2 6 51 153 18.解:(1)由题意知解得 ∴椭圆的方程为=1. (2)∵≠,设AB所在直线的方程为y=kx+b.
所以双曲线的方程为 由即=0, ∴∴ ∵,.∵ m·n=0,∴=0, ∴)=0,代入整理得=4, ∴ S= =1. ∴△AOB的面积为定值1. 19. 解:(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0), 由椭圆的一个顶点为抛物线=8 由 = y的焦点,则b=2 x+t, . ,,得a=4,∴椭圆C的方程为 =1.

(2)(ⅰ)设,,,,直线AB的方程为y=

代入 =1,得 由解得-4<t<4. 由根与系数的关系得=-t,. 四边形APBQ的面积S= ∴当t=0时,=12 . ×6×||=3 ,

(ⅱ)若∠APQ=∠BPQ,则PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k, PA的直线方程为y-3=k(x-2), 由 将代入②整理得, 同理PB的直线方程为y-3=-k(x-2),可得==, ∴,, = = = , . ∴直线 AB的斜率为定值

20.解: (1)椭圆的焦点在轴上,由椭圆上的点到两点的距离之和是 4,得,即.

骣 3÷ 1 又点 A? 在椭圆上,因此 2 + 2 = 1 ,得,于是. ?1, ÷ ÷ ÷ ? 桫2 2 b
所以椭圆的方程为

骣 3÷ ? ÷ ? ÷ ? 2÷ 桫

2

x2 y 2 + = 1 ,焦点,. 4 3

(2)设椭圆上的动点,线段的中点为,则其满足 x =
骣 (2x + 1)2 (2 y )2 + =1 ,即 ? x+ ? ? 4 3 桫
2

- 1 + x1 2

,y=

y1 2



即, ,因此

1÷ 4 y2 ÷+ = 1 为所求的轨迹方程. ÷ 2÷ 3

(3)类似的性质为:若是双曲线 点,

x2 a

2

y2 b2

= 1 上关于原点对称的两个点,点是双曲线上任意一

当直线的斜率都存在,并记为时,那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下:设点的坐标为,则点的坐标为,其中 又设点的坐标为,由 k PM = 将 y2 =

m2 a2

-

n2 b2

= 1. y 2 - n2 x 2 - m2
.

y- n y+ n y- n y+ n ,k = ? ,得 x - m PN x + m x- m x+ m
b2 a2
.

b2 a2

x 2 - b2 , n2 =

b2 a2

代入得


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