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人教A版高中数学选修2-2课件2.2.2反证法课件.pptx_图文

高中数学课件
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第二章推理与证明 2.2.2反证法

温故迎新
1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点:
综合法: 已知条件 ????? 结论 由因导果
分析法: 结论 ?????已知条件 执果索因
3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路, 再由综合法书写过程.

路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了果子.小伙伴 们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原 地不动.伙伴问他为什么不去摘?

王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?
王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.

王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与“多李”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李.

引例
证明:在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角. 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个 不小于60°

已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角. 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个不小于60°

证明:假设的?三AB个C内角∠A,∠B,∠C都小于60°,

所以∠A60<°,∠B60°,<∠C60°

<

∴∠A+∠B+∠C<180°

这与 三角形内相角矛和盾等. 于180°
∴不假能设成立,所求证的结论成立.

先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推理,推出 与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾, 说明假设不成立,从而得到原结论正确。

这种证明方法就是-----反证法

一、探究定义
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条 件下,结论不成立),经过正确的推理,最后 得出矛盾。因此说明假设错误,从而证明了原 命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推 得命题成立的证明方法称为间接证明
注:反证法是最常见的间接证法。

二、探究反证法的证明过程
否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤:反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立;
归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论成立。
归缪矛盾:
(1)与已知条件矛盾;
(2)与假设矛盾或自相矛盾;
(3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
反证法的思维方法:正难则反

三、典例剖析---类型一:

例1:已知直线和a,平b 面,如果?且,求证:a. ? ?,b ? ?
a //b a //?
证明:因为a∥b,直所 线以 确经 定过 一 ? a
直 个线平确面a,定.b 一个平面. ?

因为,a而?? a ? ?

?b

P

所以与? 是两? 个不同的平面.

因为,b 所? 以?,.且b ? ?

??? ?b

下面用反证法证明直线与平a 面没有公? 共点.

假设直线与平面有a公共点P,?则,即点P是直

线aP与?b?的?公?共?点b ,这与矛盾,所以.

a //b

a //?

三、典例剖析---类型二:
例2.证明:不2可, 能3成, 等5 差数列
证明: 假设能成2等, 差3数, 列5,则
2 3? 2? 5
两边平方得: (2 3)2 ? ( 2 ? 5)2 化简得: 5 ? 2 10
两边平方得: 25 ? 40
此式显然不成立,所以假设错误
注:否定所型以 命题2(,命题3,的5结不论可是能“成不等可差数能列……”,
“不能表示为……”,“不是……”,“不存在……”, “不等于……”,“不具有某种性质”等)常用反证 法

三、典例剖析---类型三:
例3求证:是2无理数。
证:假设 2是有理数,
则存在互质的整数m,n使得 2 = m , n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)
从而有4k2 = 2n2,即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数,这与m,n互质矛盾!
所以假设不成立,2是有理数成立。

练习:已知a≠0, 证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a(x1 - x2)= 0 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立,结论成立。
注:唯一性命题(命题的结论是“有且只有”,“只 有一个,“唯一存在”等)常用反证法。

归纳总结:
哪些命题适宜用反证法加以证明? (1)直接证明有困难 (2)否定性命题 (3)唯一性命题 (4)至多,至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”

四、归纳步骤
反证法的一般步骤 分清条件和结论
先假设命题的结论不成立 从假设出发,经过推理 得出矛盾
否定假设
肯定原命题

五、巩固新知:
1、写出用“反证法”证明下列命题的“假 设”.
(1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.

(2)△假AB设C△中A,B最C中多,至有少一有个两钝个钝角角

(3)“若a2≠b2,则a≠b”



假设a=b

尝试练习

1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.

证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1,
则有 (2k ?1)2 ? 4k 2 ? 4k ?1 而 4k 2 ? 4k ?1 (k ? Z)不是偶数
这与原命题条件矛盾. 所以原命题成立

k ?Z.
肯定条件

六、全课总结
1、知识小结: 反证法证明的思路:假设命题的结论不 成立→正确的推理,得出矛盾→否定假设, 肯定待证明的命题
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全 面的找出命题结论的反面。“至少”的 反面是“没有”,“最多”的反面是 “不止”。

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.

原词语

否定词

原词语

等于 不等于

任意的



不是

至少有一个

都是

不都是

至多有一个

大于

不大于

至少有n个

小于

不小于

至多有n个

对所有x,成立

存在某个x, 对任何x,

不成立

不成立

否定词
某个
一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某个x, 成立