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中央电大软件数学基础作业(1)答案


软件数学基础课程作业( 软件数学基础课程作业(1)
一元函数微积分部分
(一) 单项选择题 一 单项选择题 1.设函数 f ( x) =

6. 函数 f ( x) =

1 + 4 ? x 2 的定义域是(-2,-1)U(-1,2]. ln( x + 2)
4 27+27 ln3 . .

7. 若 lim

x sin x ,则该函数是( A ). 1 + cos x
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数

2

x →0

sin mx = 2 ,则 m = sin 2 x

8. 已知 f ( x) = x 3 + 3 x ,则 f ′(3) =

A. 奇函数 B.偶函数

2. 若 f ( x + 1) = x 2 + 2 x + 4 ,则 f ′(x ) = ( A ). A. 2 x + 2 3. 曲线 y = B. 2 x C. x + 3
2

9. 若函数 f (x ) 在 x = 0 的邻域内有定义,且 f (0) = 0, f ′(0) = 1, 则 lim
x→0

f ( x) = x

1 .. D. 2 10. 若



+∞ 0

e kx dx = 2 , 则 k =

-1/2

. .

1 ( x + sin x) 在 x = 0 处的切线方程为( A ). 2 A. y = x B. y = ? x
C. y = x ? 1 D. y = ? x ? 1

(三) 判断题 三
11. ( × 12. ( × ) 若 函 数 )

1 lim(1 + ) x = e x →0 x

.

1 4. 若 f ( x ) 的一个原函数是 , 则 f ′( x ) =( D) . x 1 A. ln x B. x 1 2 C. ? 2 D. 3 x x
5. 若

f (x) 在 点 x0 连 续 , 则 一 定 在 点 x0 处 可 微 .

13. 已知 f ( x ) =

x + tan x , f ′(x) = 则

1 2 x

+

1 cos 2 x

( √



14. ( × 15. ( √ ). 无 ) 穷 限 积



f ( x)dx = x 2 e 2 x + c , 则 f (x) = ( C ). 2 xe 2 x
B. D.



20 ?2

dx = 20 ? 2 = 18
0

.

A.

2x 2e 2x xe 2 x





?∞

sin xdx









.

C. 2 xe 2 x (1 + x)

(四) 计算题 四
16. lim
x →4

(二) 填空题 二
1

x 2 ? 6x + 8 x 2 ? 5x + 4

(x ? 4)( x ? 2) x?2 4?2 2 解:原式=lim = lim = = x → 4 ( x ? 4)( x ? 1) x→4 x ? 1 4 ?1 3
1+ x ?1 17. lim x →0 sin 2 x

解:y ′ = (ln x + 2 = 1 x × 1 2 x +2
sin 1 x

sin

1 x

)′ = (ln x )′ + (2

sin

1 x

( x )′ + 2 )′ =
x

sin

1 x

1? ? × ln 2 × ? sin ? x? ?



′ 1 sin 1? ?1? 1 1? ? 1 ? ? ? × ln 2 × ? cos ? × ? ? = + 2 x × ln 2 × ? cos ? × ? ? 2 ? x? ? x? 2x x? ? x ? ? ?

1 ( 1+ x ?1 )( 1 + x + 1) x ) 解:原式=lim = lim( ? x →0 x → 0 sin 2 x 1+ x +1 ( 1 + x + 1) sin 2 x 1 1 1 1 1 2 = lim ? = ? 2= x →0 4 1 + x + 1 lim sin 2 x 2 1 x →0 2x
18. lim(
x→∞

21.设 y = y (x) 是由方程 x 2 ? 3 xy + y 2 + 1 = e xy 确定的隐函数,求 y ′ .

′ ′ ′ ′ ′ 解:方程两边对x求导得: 2 ? (3xy ) + y 2 + (1) = e xy x ′ 2 x ? (3 y + 3xy ′) + 2 yy ′ + 0 = e xy (xy )

( )

( )

( )

x + 1 ?x ) x?3

2 x ? 3 y ? 3xy ′ + 2 yy ′ = e xy ( y + xy ′) y′ = 2 x ? 3 y ? ye xy xe xy + 3 x

解:原式=lim(1 +
x→∞

4 ?x 4 ) =lim(1 + ) x →∞ x?3 x?3
x→∞

经-3 -4 ? 3 4 1- x

22.设 y = y (x) 是由方程 cos( xy ) + y 2 + 1 = e x + y 确定的隐函数,求 dy .

= [lim(1 +
x →∞

4 ) x?3

经-3 4

lim

]

-4 3 1- x

=e

?4

19.设 y = x x + ln cos x ,求 dy .
3

x+ y 3 12 (cos x)′ 3 12 ? sin x ? sin( xy )( y + xy ′) + 2 yy ′ + 0 = e (1 + y ′) 解:y ′ = ( x x + ln cos x)′ = ( x 2 )′ + (ln cos x)′ = x + = x + x+ y 2 cos x 2 cos x y ′ = e + y sin( xy ) 2 y ? x sin ( xy ) ? e x + y 3 12 ? sin x ∴ dy = ( x + )dx 2 cos x 10 23. ∫ (1 + 2 x ) dx

′ ′ 解:方程两边对x求导得: xy ) + y 2 + 1 = e x + y cos( (cos( xy ))′ + y 2 ′ + (1)′ = e x + y ′ ′ ′ ′ ? sin( xy )( xy ) + 2 yy ′ + (1) = e x + y ( x + y )

( )

(

(

)

) (

)

20. 设 y = ln x + 2

sin

1 x

,求 y ′ .
2

解:原式=

1 1 1 10 11 ∫ (1 + 2 x ) d (1 + 2 x ) = 2 × 11 × (1 + 2 x ) + C 2

24.



ex 5 + ex

dx = ∫ 5 + e x

(

) d(5 + e ) = 2(5 + e )
? 1 2 x

1 x 2

+C

25. 26.



cos x x

dx = 2∫ cos x d

( x ) = 2 sin
1

x +C

∫ x cos 2 xdx = 2 ∫ xd sin 2 x = 2 (x sin 2 x ? ∫ sin 2 xdx ) = 2 ? x sin 2 x + 2 cos 2 x + c ? ? ?
1 1? 1 ? = 1 1 x sin 2 x + cos 2 x + C 2 4

27.
e 1 + 5 ln x 1 e 1 2 dx = ∫ (1 + 5 ln x )d ln x = ∫ (1 + 5 ln x )d (1 + 5 ln x ) = (1 + 5 ln x ) ∫1 x 1 1 5 10 1 e e

=

1 (1 + 5 ln e)2 ? 1 (1 + 5 ln 1)2 = 7 10 10 2
1 x 1 2

28.





2 1

2 e ?1? dx = ∫ ?e x d? ? = ?e x 2 1 x ? x?

1

=e? e
1

π

29.

2 0
e

2 x sin xdx = ? ∫ 2 xdcosx = ? x cos x 02 + ∫ 2 cos xdx = 0 + sin x 0 = 1 0 0

π

π

π

π

30.

1

e e e e ′ ln xdx = x ln x 1 ? ∫ x (ln x ) dx = e ? ∫ dx = e ? x 1 = 1 1 1

3

4

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10

11

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