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余弦定理(公开课)PPT


一、实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A,量 出A到山脚B、C的距离,分别是AC=5km,AB=8km ,再 ? 利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚BC的张角, ?BAC ? 60 最 后通过计算求出山脚的长度BC。

B
8km

C
5km

A

思考:你能求出上图中山脚的长度BC吗?

二、化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角,求第三边。 例:在△ABC中,已知BC=a,AC=b,∠BCA=C 求:c(即AB)
A

b
C a

c=?
B

三、证明问题 探 究: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA 的夹角为∠C, 求边c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c

由向量减法的三角形法则得

c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?b ? b ? 2a ??b ? 2 ?2 ? ? a ? b ? 2 a b cos C



? c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c

由向量减法的三角形法则得

c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?? b ? b ? 2a ? ?b 2 ?2 ? ? a ? b ? 2 a b cos C



? c ? a ? b ? 2ab cos C 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c

由向量减法的三角形法则得

c ? a ? b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?? b2 ? b ? 2a ? ?b ?2 ? ? a ? b ? 2 a b cos C



? c ? a ? b ? 2ab cos C 同理: 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

? a ? b ? 2ab cos C
2 2

A b
bsinC

当?ABC是直角三角形、钝角三角形呢?

c

C
2

bcosC

D

a

a-bcosC

B
2

c ? (b sin C) ? (a ? b cos C) 2 2 2 2 2 ? b sin C ? a ? 2ab cos C ? b cos C
2

? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

同理:

a ? b ? c ? 2bc cos C 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

探 究: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA (bcosC,bsinC) 的夹角为∠C, 求边c. y
c ? (b cos C ? a) 2 ? (b sin C ? 0) 2

? b2 cos2 C ? 2abcosC ? a2 ? b2 sin 2 C


(0,0)

(a,0) x

? b2 ? a2 ? 2abcosC

则c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

同理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

坐标法

余 弦 定 理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。
C

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

b A
c

a
B

b ?c ?a 推论:cos A ? 2bc
2 2

2

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac
a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

C

b
A c

a
B

剖析余弦定理:

(1)本质:揭示的是三角形三条边与某一角的关系, 从 方程的角度看,已知三个量,可以求出第四个量; (2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例; (3)主要解决两类三角形问题:已知三边求三角; 已知两边及它们的夹角,求第三边; (4)余弦定理的优美形式和简洁特征:给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出;三个式子的结构式完全一致的。

题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形

例1.在?ABC中,已知b ? 3, c ? 2 3, ?A ? 30? , 求角B、C和边a的值
解:由余弦定理知, a ? b ? c ? 2bc cos A 2
2 2

C a
B c

b
A

? 32 ? 2 3 ?3

?

2

?

? 2 ? 3 ? 2 3cos30?

?a ? 3
b sin A sin B ? ? a

a b 由正弦定理 ? 得 sin A sin B 1

3?

? C ? 180? ? A ? B ? 90?

2 ? 3 ?b ? c,??B ? 60? 2 3

解决实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A,量 出A到山脚B、C的距离,分别是AC=5km,AB=8km ,再 利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚BC? 的张角, BAC ? 60? 最 后通过计算求出山脚的长度BC。

B
8km

C
?
5km

解:BC ? 8 ? 5 ? 2 ? 5 ? 8 ? cos60 ? 49
2 2 2

A

? BC ? 7

题型二、已知三角函数的三边解三角形
6 ,b=2,c= 3 ? 1 , C b 解三角形(依次求解A、B、C). a 解:由余弦定理得 A B c 2 2 2 2 2 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ( 6 ) b ? c ? a cos A ? ? ?1 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)
例2.在△ABC中,已知a=
? A ? 60?

a 2 ? c 2 ? b 2 ( 6 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 2 cos B ? ? 2ac 2 ? 6 ? ( 3 ? 1) 2 ? B ? 45? ? 2 C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

变式训练:
? 60 在三角形ABC中,若a ? 3, b ? 1, c ? 2, 则A ? __________

题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 (1)试判断角C是什么角? (2)判断△ABC的形状
解: 由余弦定理得:

a 2 ? b 2 ? c 2 4 2 ? 52 ? 6 2 1 ( 1 ) cosC ? ? ? ?0 2ab 2? 4?5 8
?C是锐角

(2)由( 1 )知:C是锐角, 根据大边对大角, C是?ABC中的最大角 ? ?ABC是锐角三角形

变式训练:

在△ABC中,若a 2 为( )

?b

2

2 ,则 △ABC的形状 ?c

A

A、钝角三角形
C、锐角三角形

B、直角三角形
D、不能确定

知识提炼:
推论: cos A ? b ? c ? a 2bc
2 2

C
2

b A
2 2

a B

提炼:设a是最长的边,则
2

c
2

△ABC是钝角三角形? b ? c ? a ? 0
△ABC是锐角三角形? b ? c ? a ? 0 2 2 2 △ABC是直角三角形? b ? c ? a ? 0
2 2

思考
在解三角形的过程中,求某一个角有时

既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方法有 什么利弊呢?

㈠用余弦定理推论,解唯一,可以免去判断舍取。

?余弦定理 在已知三边和一个角的情况下:求另一个角 ? ?正弦定理

㈡用正弦定理,计算相对简单,但解不唯一,要进行判断舍取

小结:
余弦定理:

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2 2 2 2bc a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 c ? a ? b 2 2 2 cos B ? b ? a ? c ? 2ac cos B 2ca 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 余弦定理可以解决的有关三角形的问题: 2ab
1、已知两边及其夹角,求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角; 3、判断三角形的形状

推论:

数学思想:化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想

课外作业: P10 A组

3 、4


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