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云南省部分名校2013届高三第二次统一考试 文科数学(玉溪一中 昆明三中 楚雄一中)

绝密 ★ 启用前

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 ? 的奇函数

B.最小正周期为

云南省部分名校 2013 届高三复习联合统一测试 (玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)

? 的偶函数 2 ? D.最小正周期为 的奇函数 2

8.执行下面的程序框图,如果输入 N ? 5 ,则输出的数等于

文科数学
命题 昆明三中高三年级数学备课组

4 5 6 C. 7
A.

5 6 7 D. 8
B.

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 i ?1 1.在复平面内,复数 的共轭复数的对应点在 i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
x

9.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象向左平移 A.4 B.8

? 个单位,若所得图象与原图象重合,则 ? 的值不可能等于 2
D.12

C.10

D.第四象限

?x ? y ? 2 ? 0 ??? ? ? 10.已知点 P( x, y) 满足条件 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,点 A(2,1) ,且 OP ? cos ?AOP 的最大值为 2 5 , 则 a 的 ?y ? a ? 0 ?
值等于 A. ?2 B.1 C. ?1 D. 2

2.函数 y ? lg(1 ? x) 的定义域为 A ,函数 y ? 3 的值域为 B ,则 A ? B ? A. (0, 1) B. (1, 3) C. R D. ?

2 11.若偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在 x ?[0, 1] 时, f ( x) ? x ,则关于 x 的方程

2 3.给出两个命题 p : x ? x 的充要条件是 x 为正实数; q :命题“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 0 ”

1 10 f ( x )? ( x)在 [0, ] 上的根的个数是 10 3
A.1 B.2 C.3 D.4

的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 0 ” .则下列命题是假命题的是
2

A. p 且 q

B. p 或 q

C. ? p 且 q

D. ? p 或 q

4.曲线 y ? x ln x 在 x ? e 处的切线方程为 A. y ? x ? e B. y ? 2 x ? e C. y ? x D. y ? x ? 1

12.设圆 C 的圆心与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的右焦点重合,且该圆与双曲线的渐近线相切,若 a2 2

直线 l : x ? 3 y ? 0 被圆 C 截得的弦长等于 2,则 a 的值为 A. 2 B. 3 C. 2 D.3

5.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下面有三个命题: ① ? ∥ ? ? l ⊥ m ;② ? ⊥ ? ? l ∥ m ;③ l ∥ m ? ? ⊥ ? ; 则真命题的个数为 A.0 B.1 C.2
*

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上。
13. log2 3 ? log3 8 ? .

D.3

6.已知数列 {an } 的通项公式 an ? n2 (7 ? n) (n ? N ) ,则 an 的最大值是 A.40 7.函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?
2

B.48

C.50

D.56

?
4

14.如果向量 a ? ( x ? 1, 2) 和向量 b ? (1, ?1) 平行,则 a ? b ?

?

?

? ?



)是

15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面

积之比为



? 16.在 ?ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135 ,若 AC ? BD ? .

2 AB ,则

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 分别切椭圆与圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 (其中 1 ? r ? 3 )于 A , B 两点,求 AB 的最大值.

1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 , 17. (本小题满分 12 分)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列. 5 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ln a3n?1 (n ? 1, 2,?) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分)某班有男生 33 人,女生 11 人,现按照分层抽样的方法建立一个 4 人的课外兴 趣小组. (Ⅰ)求课外兴趣小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)老师决定从这个课外兴趣小组中选出 2 名同学做某项实验,选取方法是先从小组里选出 1 名同学, 该同学做完实验后,再从小组里剩下的同学中选出 1 名同学做实验,求选出的 2 名同学中有女同学 的概率; (Ⅲ)老师要求每位同学重复 5 次实验,实验结束后,第一位同学得到的实验数据为 68,70,71,72,74, 第二位同学得到的实验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数. 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f ?( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.
2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 为圆 O 的直径, P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC ⊥ AB 于 C ,交圆 O 于 D 点, PA 交圆 O 于 E 点, BE 交 PC 于 F 点. (Ⅰ)求证: ?P ? ?ABE ; (Ⅱ)求证: CD ? CF ? CP .
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P —ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD,AD ? 2 ,AB=1, F 是线段 BC 的中点. (Ⅰ)求证: PF ⊥ FD ; (Ⅱ)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ,求点 A 到平面 PDF 的距 离.
?

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 已知直线 C1 :? ( t 为参数) 曲线 C2 :? ? 2 cos(? ? ) . , 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
(Ⅰ)求直线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 C1 被曲线 C2 所截得的弦长.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点 2 a b 3

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 已知函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图象关于原点对称,且 f ( x) ? x ? 2x .

的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅰ)解关于 x 的不等式 g ( x) ? f ( x) ? x ?1 ; (Ⅱ)如果对 ?x ? R ,不等式 g ( x) ? c ? f ( x) ? x ?1 恒成立,求实数 c 的取值范围.

云南省部分名校 2013 届高三复习联合统一测试 (玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)

2 2 求得 x1 ? 71 , s1 ? 4 ; x2 ? 71, s2 ? 3.2

所以,第二位同学的实验更稳定. (12 分)

文科数学

参考解答及评分标准

一、选择题:本题考查基础知识和基础运算。每小题 5 分,满分 60 分. 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. C 7. C 8. B 9. C 10. D 11. C 12. A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 20 分. 13.3; 14. 3 2 ;15.

3

?

;16. 2 ? 5 (2)由题意, ?PBA ? 45
?

三、解答题:本题考查推理证明能力和综合应用知识解决问题的能力。满分共 70 分.

∴ PA ? AB ? 1

设点 A 到平面 PDF 的距离为 d ,则 VA? PDF ? ∵ VA? PDF ? VP ? ADF ? 求得 d ?

1 S ?ADF ? PA 3

1 S ?PDF ? d . 3 1 1 ∴ S ?PDF ? d ? S ?ADF ? PA 3 3

6 3

∴点 A 到平面 PDF 的距离为

6 . (12 分) 3

18.解析: (Ⅰ)男生应抽取 4 ? (Ⅱ)所求概率为 p ?

33 11 ? 3 人;女生应抽取 4 ? ? 1 人 (2 分) 44 44

6 ? 0.5 (6 分) 12

2 (Ⅲ)设第一位同学所得数据的平均数和方差分别为 x1 和 s1 ;

第二位同学所得数据的平均数和方差分别为 x2 和 s2 .

2

方法二:由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 于是 a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 2 x2 ? 2 x ?2
?? 12 分

∴ ?2 ? x ? 0 ,于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0? .

2 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,

所以 f ?(1) ? 0 ,即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0 ∴ a ? 1
2 2

???????? 4 分

(Ⅱ) 方法一:由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x ? 2) ? x ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

设 g (a) ? a( x ? 2) ? x ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a ) 为单调递增函数 (a ? R)
2 2

所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0
2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0 ,于是 x 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0? ?? 12 分.

?


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