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2018届高考数学二轮复习解三角形问题学案含答案(全国通用)

第2讲 解三角形问题 题型 1 利用正、余弦定理解三角形 (对应 生用书第 5 页) ■核心知识储备………………………………………………………………………· 1.正弦定理及其变形 a b c 在△ABC 中,sin A=sin B=sin C=2R(R 为△ABC 的外接圆半径).变形: a a=2Rsin A,sin A=2R,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等. 2.余弦定理及其变形 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A= 3.三角形面积公式 1 1 1 S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B. ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题 1】 (考查解三角形应用举例)如图 21,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30° ,则此山的高 度 CD=________m. b2+c2-a2 2bc . 图 21 [ 思路分析 ] 由已知条件及三角形内角和定理可得 ∠ACB 的值 ―→ 在 △ABC 中,利用正弦定理求得 BC― →在 Rt△BCD 中利用锐角三角函数的 定义求得 CD 的值. [解析] 依题意有 AB=600,∠CAB=30° , ∠CBA=180° -75° =105° ,∠DBC=30° ,DC⊥CB. ∴∠ACB=45° , AB CB 在△ABC 中,由 = , sin∠ACB sin∠CAB 600 CB 得sin 45° =sin 30° , 有 CB=300 2, 在 Rt△BCD 中,CD=CB· tan 30° =100 6, 则此山的高度 CD=100 6 m. [答案] 100 6 【典题 2】 (考查应用正余弦定理解三角形)(2017· 全国Ⅰ卷)△ABC a2 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知△ABC 的面积为3sin A. (1)求 sin Bsin C; (2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 【导 号:07804011】 [解] 1 a2 1 a (1)由题设得2acsin B=3sin A,即2csin B=3sin A. 1 sin A 由正弦定理得2sin Csin B=3sin A. 2 故 sin Bsin C=3. 1 (2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-2, 1 即 cos(B+C)=-2. 2π π 所以 B+C= 3 ,故 A=3. 1 a2 由题意得2bcsin A=3sin A,a=3,所以 bc=8. 由余弦定理得 b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9. 由 bc=8,得 b+c= 33. 故△ABC 的周长为 3+ 33. [类题通法] 1.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及 有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三 统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突 破口. 2.在三角形中,正、余弦定理可以实现边角互化,尤其在余弦定理 a2=b2 +c2-2bccos A 中, 有 a2+c2 和 ac 两项,二者的关系 a2+c2=?a+c?2-2ac 经常用到. 3.三角形形状判断的两种思路: 一是化角为边;二是化边为角. 注意:要灵活选用正弦定理或余弦定理,且在变形的时候要注意方程的同 解性,如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零,避免漏解. ■对点即时训练………………………………………………………………………· 1. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b=2ccos A, c=2bcos A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等边三角形 C [∵b=2ccos A,c=2bcos A, ∴b=4bcos2A, 1 1 即 cos A=2,或 cos A=-2(舍). ∴b=c,∴△ABC 为等边三角形.] 1 2.如图 22,在△ABC 中,AB=2,cos B=3,点 D 在线段 BC 上. ) B.锐角三角形 D.等腰直角三角形 图 22 3 (1)若∠ADC=4π,求 AD 的长; sin∠BAD 4 (2)若 BD=2DC,△ACD 的面积为3 2,求 的值. sin∠CAD 【导 号:07804012】 [解] 1 2 2 (1)在三角形中,∵cos B=3,∴sin B= 3 . AB AD = , sin B sin∠ADB 在△ABD 中, π 2 2 8 又 AB=2,∠ADB=4,sin B= 3 ,∴AD=3. (2)∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC, 4 又 S△ADC=3 2,∴S△ABC=4 2. 1 ∵S△ABC=2AB· BCsin∠ABC,∴BC=6. 1 1 ∵S△ABD=2AB· ADsin∠BAD,S△ADC=2AC· ADsin∠CAD, sin∠BAD AC SABD=2S△ADC,∴ =2· AB , sin∠CAD 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos∠ABC, ∴AC=4 2,∴ sin∠BAD AC =2· AB=4 2. sin∠CAD ■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T9、T10、T11、T13) 题型 2 与三角形有关的最值、范围问题(答题模板) (对应 生用书第 6 页) 与三角形有关的最值、范围问题一般涉及三角形的角度(或边长、面积、周 长等)的最大、最小问题.(20

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