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重庆市南开中学2015-2016学年度秋高二数学上学期期末测试试题 理


重庆南开中学高 2017 级高二(上)期末考试 数学(理工农医类)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1、已知命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下命题为真命题的是( ) A、 ?p 或 q B、 p 且 q C、 p 或 q D、 ?p 且 ?q 2、椭圆

x2 y2 ? ? 1 ? m ? R ? 的焦点坐标为( m ?1 m
B、 ? 2m ? 1,0

) D、 0, ? 2m ? 1 ) D、7

A、 ? ?1,0? 3、若复数 A、 ?1

?

?

C、 ? 0, ?1?

?

?

7 ? bi ? b ? R ? 的实部与虚部互为相反数,则 b ? ( 3 ? 4i
B、1 C、 ?7

4、抛物线 y 2 ? 2 x 上两点 A, B ,已知 AB 的中点在直线 x ? 2 上, F 为抛物线焦点,则 AF ? BF ? ( A 、3 ) B、4 C、5 D、6

5、如图,平行六面体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AC 与 BD 交于点 M ,设 AB ? a, AD ? b, AA 1 ? c ,则

??? ?

? ????

? ???? ?

????? B1M ? (



1? 1? ? 1? 1? ? B、 a ? b ? c 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 1? ? 1 1 C、 a ? b ? c D、 ? a ? b ? c 2 2 2 2 2 x ? y 2 ? 1 上的点 P 到上顶点距离的最大值为( 6、椭圆 4 4 3 A 、2 B、 5 C、 3
A、 ? a ? b ? c 7、命题“ ?x ? R, f ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ”的否定形式是( A、 ?x0 ? R, f ? x0 ? ? g ? x0 ? ? h ? x0 ? C、 ?x ? R, f ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ?

) D、不存在最大值 )

B、 ?x0 ? R, f ? x0 ? ? g ? x0 ? 或g ? x0 ? ? h ? x0 ? D、 ?x ? R, f ? x ? ? g ? x ? 或g ? x ? ? h ? x ? ) D、1

8、由函数 y ? e x , y ? , x ? e 所围成的封闭图形的面积为( A、 e e ? e B、 ee ? 2e
2

e x

C、 2e ? 1

9、已知函数 f ? x ? ? e x ?ln x ? ? x ? m ? ? ,若对于 ?x ? ? 0, ??? , f ' ? x ? ? f ? x ? ? 0 成立,则实数 m 的取 ? ? 值范围是( )

1

A、 ??, 2

?

?

B、 ??, 2 2

?

?

C、 ? 2, 2

?

?

D、 ?2 2, 2 2

?

?

10、如图,矩形 ABCD 中 AB ? 2, BC ?

2 3 , M , N 分别为 AB, CD 中点, BD 与 MN 交于 O ,现将 3

矩形沿 MN 折起, 使得二面角 A ? MN ? B 的大小为 为( A、 ) B、 ?

?
3

, 则折起后 cos ?DOB

1 2

1 2

C、

1 8

D、 ?

1 8

11、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于 a2 b2 6a 2 A, B 两点, O 为坐标原点,且 ?AOB 的面积为 ,则该双曲线的离心率为( ) 5

A、

5 2

B、

5 3

C、

13 2

D、

13 3

F1 , F2 分别为椭圆 12、

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点, F2 关于直线 PF1 的对称点为 M , F1 P 为椭圆上一动点, 4 2
) D、

关于直线 PF2 的对称点为 N ,则当 MN 最大时, S?PF1F2 为( A 、2 B、 2 C、

2 3 3

3 3

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

?? ? 13、 f ? x ? ? cos3x ,则 f ' ? ? ? ? 18 ?



14、 z ? a ? 2i ? a ? R ? ,若 z 2 ? 8i 为纯虚数,则 a ?



15、用长为 18 m 的钢条焊接成一个长方体形状的框架(焊接点损耗不计) ,要求长方体的长与宽之 3 m 。 比为 2 :1 ,则该长方体的最大体积是 16 、 若 存 在 实 数 m, n, k ? m ? n ? k ? 使 得 关 于 x 的 不 等 式 e x ? a x 2 ? x ? 1 ? 0 的 解 集 为

?

?

?m, n? ? ?k , ??? ,则实数 a 的取值范围是
三、解答题(共 70 分)



17、 (12 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax 与 g ? x ? ? ln ? x ? 1? 在原点处有公共的切线。 (1)求实数 a 的值; (2)求 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极植。

2

18 、 ( 12 分)在三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 PAC ? 平面ABC ,

PA ? PC ? 2 3, M , N 分别为 AB , PB 的中点。
(1)证明: AC ? PB ; (2)求点 B 到平面 CMN 的距离。

19、 (12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为

2 ? 1 ,最小值为 2 ? 1 。
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过右焦点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,求直线的斜率 k 。

20、 (12 分)如图,直线 PA, QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直, AB ? PA ? 2QC ? 2 , AC与BD 相交于点 O, E 在线段 PD 上且 CE // 面PBQ 。 (1)求证: OP ? 平面QBD ; (2)求二面角 E ? BQ ? P 的平面角的余弦值。

21、 (12 分) 如图, 已知点 A? ?1,0? 是抛物线的准线与 x 轴的交点,M , N 两点在抛物线上且直线 MN 过 A 点,过 M 点及 B ?1, ?1? 的直线交抛物线于 Q 点。 (1)求抛物线的方程; (2)求证:直线 QN 过一定点,并求出该点坐标。

3

22、 (10 分)已知函数 f ? x ? ? x ln x (1)不等式 f ? x ? ? kx ?

1 对于任意正实数 x 均成立,求实数 k 的取值范围; 2

(2)是否存在整数 m ,使得对于任意正实数 x ,不等式 f ? m ? x ? ? f ? m? e x 恒成立?若存在,求出 最小的整数 m ,若不存在,说明理由。

4

5

6

7


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