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空间向量的坐标表示'_图文

空间向量运算的坐标 表示

一、空间向量
? 定义:既有大小又有方向的量。 ? 模、零向量、单位向量、相等的向量、 一个向量的负向量、向量的夹角等概念, 空间向量的和、差、数乘、数量积等运 算的定义及其运算律都与平面向量的相 应概念、运算及其运算律具有相同的意 义。

分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位 向量

i 、j作为基底 , 任作一个向量 a, y 由平面向量基本定理知 , 有且只有一对实数 x 、y

使得a ? xi ? y j 我们把( x, y ) 叫做
向量a 的坐标

a

yj
j
O

i

xi

x

如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直 , 且 长都 为 1, 则这个基底 叫做单位正交基底 , z

常常用?i , j , k?来表示。

以点O 为原点 , 分别以i 、 j 、k 的方向 为正方向建立三条数轴 : x 轴、y 轴、 k z 轴, 它们都叫做坐标轴 。
这时我们说建立了一个

i

O

j

y

空间直角坐标系 O ? xyz,

x

点 O 叫做原点 ,向量i 、j 、k 都叫做坐标向量 ,

通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面 ,

分别称为xOy 平面,yOz 平面, zOx 平面。
作空间直角坐标系 O ? xyz时,

一般使 ?xOy ? 135? (或 45? ), ?yOz ? 90?
在空间直角坐标系中 , 让右手拇指

z

指向x 轴的正方向 , 食指指向y 轴 的正方向 , 如果中指能指向 z 轴的
正方向 , 则称这个坐标系为

k

i

O

j

y

右手直角坐标 。

x

三个坐标平面将整个空间分为 八个部分,被称为八个卦限。 (如图)

给定一个空间直角坐标 系和向量 a , 且设i 、j 、k 为坐标向量 ,
由空间向量基本定理 , 存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ),

使 a ? a1 i ? a2 j ? a3 k
有序数组(a1 , a2 , a3 ) 叫做 a 在 空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标.

z

a

记作 a ? (a1 , a2 , a3 )

a3 k
k

a2 j
O j

a1 i i
x

y

在空间直角坐标系 O ? xyz中, 对空间任一点 A, 对应一个向量

OA , 于是存在唯一的有序实 数组 x 、y 、z , 是 OA ? x i ? y j ? z k

在单位正交基底 i 、j 、k 中与向量 OA 对应的有序实数组
( x, y, z ), 叫做点A 在此空间
直角坐标系中的坐标 ,

z

记作 A( x, y, z ) .
其中 x 叫做点 A 的横坐标

zk
k

A ( x, y , z )

y 叫做点 A 的纵坐标

yj
O j

z 叫做点 A 的竖坐标

xi
x

i

y

例1、在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2,写出所有顶点的坐标.

z
2 D ' (0,0, 2)

C '?0,4,2?
B '(3, 4, 2)
4

?3,0,2? A '
O ?0,0,0?
3

y

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

x A (3, 0, 0)

练习:已知正四面体V-ABC,底面边长为2, 先建立空间直角坐标系,再求出各顶点的坐标.

二、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1 , b2 , b3 )则
a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

;

a // b ? a ? ?b(? ? R) ; ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3.(? ? R)

a ?b?

a ?b ? 0 ?

a1b1 ? a2b2 ?;a3b3 ? 0

三、距离与夹角
1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式

| a | ? a ? a ? a ? a2 ? a3
2 2 1 2

2

注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。

a的单位向量 a0是 __________ __

终点坐标减 在空间直角坐标系中,已知 A( x1起点坐标 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

(2)空间两点间的距离公式

AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2
2 2 2

?| AB |? AB AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

2.两个向量夹角公式
a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ; 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。
思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1及?1 ? cos ? a , b ?? 0 时,向量的夹角在什么范围内?

练习一: 1.求下列两个向量的夹角的余弦:

(1) a ? (2, - 3,3), b ? (1,0,0) (2) a ? (-1 , -1 , 1 ), b ? (?1,0,1)
2.求下列两点间的距离:

1 cos ? a, b ?? 2

cos ? a, b ??

6 3

(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C (?3 ,1, 5) , D(0 , ? 2 , 3) .

| AB |? 1 | CD |? 22

3、 已 知 向 量 a ? (1,?3,2), b ? ( 2,0,?8), 求单位向量 c, 使c与a、 b都 垂 直 。

解:设 c ? ( x , y, z )
? x ? 3 y ? 2z ? 0 ? ? ?2 x ? 8 z ? 0 ?x2 ? y2 ? z2 ? 1 ?

? ?x ? ? ? ?y ? ? ? ?z ? ?

4 21 2 21 1 21

? ?x ? ? ? ? or? y ? ? ? ? ?z ? ? ?

4 21 2 21 1 21

4 2 1 4 2 1 c?( , , ) or c ? ( ? ,? ,? ) 21 21 21 21 21 21

定比分点公式

例2

已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ,求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的
A 坐标 x , y , z 满足的条件。 (3)A、B、C(x,y,9)共线,求x、y。
M

B

解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

1 1 ? 3 ? O OM ? (OA ? OB ) ? ? (3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ? ? ? ? 2 , , 3? , ? ? 2 2 ? 2 ?

d A, B ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1)2 ? 29 .

例1

已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ,求:

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? ( z ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 0)2 ? ( z ? 5)2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满

足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例2

B1 E1 ? 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,

A1B1 ? D1F1 ? 4

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

z

D1 A1

F1 E1 B1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

? 3 ? B(1,1, 0) , E1 ?1, ,1? , ? 4 ?
C

D

O
B

y

A

x

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1? . ? 4 ? 1 ? ? 3 ? ? BE1 ? ?1, ,1? ? (1,1, 0) ? ? 0 , ? ,1? , 4 ? ? 4 ? ?
? 1 ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1? ? (0 , 0 , 0) ? ? 0 , ,1? . ? 4 ? ? 4 ?

例2

B1 E1 ? 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,
A1B1 4

? D1F1 ?

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

15 ? 1? 1 BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1? 1 ? , 16 ? 4? 4

D

O

A

x

17 17 | BE1 |? , | DF1 |? . 4 4 y C 15 B BE1 DF1 15 16 cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4

五、课堂小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐

标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。

思考题:
已知A(0,2,3)、B( ? 2,1,6), C (1,?1,5), 用向量 方法求?ABC 的面积S。