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第一部分 第二章 2.3 应用创新演练


1.等差数列{an}中,已知前 15 项和为 S15=90,则 a8 的值为( A.3 C.6 解析:因为 S15= B.4 D.12 a1+a15 ×15=90,所以 a1+a15=12. 2

)

又 a1+a15=2a8,故 a8=6. 答案:C 2.(2011· 江西高考)设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11, 则 a1=( A.18 C.22 ) B.20 D.24

解析:由 S10=S11 得 a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20. 答案:B 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 C.8 ) B.7 D.9

解析:a4+a6=2a5=-6,得 a5=-3, ∴公差 d= a5-a1 -3+11 = =2. 4 5-1

法一:由 d=2>0 可知,数列{an}是递增数列. an=-11+2(n-1)=2n-13. 1 令 an=0,得 n=6 . 2 ∴a1<a2<…<a6<0<a7<… 故数列{an}的前 6 项和最小. 法二:Sn=na1+ n?n-1? d=n2-12n=(n-6)2-36. 2

∴当 n=6 时,Sn 最小. 答案:A 4.(2012· 东营市高二检测)等差数列{an}的通项公式 an=2n+1 其前 n 项和为 Sn,则数 Sn 列{ n }的前 10 项和为( )

A.120 C.75

B.70 D.100

Sn S1 解析:由等差数列前 n 项和的性质知,数列{ n }为等差数列,首项为 =a1=3, 1 S2 S1 1 公差为 - = (a1+a2)-a1 2 1 2 1 1 = (a2-a1)= ×2=1. 2 2 Sn ∴{ n }的前 10 项的和为 10×3+ 10×9 ×1=75. 2

答案:C 5.(2011· 天津高考)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N*.若 a3=16,S20=20, 则 S10 的值为________. 解析:设{an}的首项,公差分别是 a1,d,则 a +2d=16, ? ? 1 ? ,解得 a1=20,d=-2, 20×?20-1? 20a1+ ×d=20 ? 2 ? 10×9 ∴S10=10×20+ ×(-2)=110. 2 答案:110 6.在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150, 则 n 的值为________. 解析:∵S 奇=a1+a3+…+a2n+1 = ?n+1??a1+a2n+1? , 2 n?a2+a2n? , 2

S 偶=a2+a4+…+a2n=

又∵a1+a2n+1=a2+a2n, ∴ S奇 n+1 165 n+1 = ,即 = , n n 150 S偶

解之得 n=10. 答案:10 7.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 解:(1)由已知 a3=5,a10=-9 得

? ? ?a1+2d=5, ?a1=9 ? 可解得? ?a1+9d=-9. ? ? ?d=-2.

数列{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+ n?n-1? d=10n-n2. 2

因为 Sn=-(n-5)2+25, 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 8.在数列{an}中,a1=1,an= 2S2 n 证明:∵an= (n≥2), 2Sn-1 ∴Sn-Sn-1= 2S2 n , 2Sn-1 2S2 1 n (n≥2),证明数列{ }是等差数列,并求 Sn. Sn 2Sn-1

∴(2Sn-1)(Sn-Sn-1)=2S2 n, ∴Sn-1-Sn=2SnSn-1. 1 1 两边同除以 SnSn-1,得 - =2(n≥2). Sn Sn-1 1 1 1 ∴数列{S }是以 = =1 为首项,2 为公差的等差数列. S 1 a1 n 1 所以S =1+(n-1)· 2=2n-1.
n

∴Sn=

1 . 2n-1


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