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2.3.2双曲线的简单几何性质(第2课时)


2.3.2 双曲线的 简单几何性质(2)

图形

A1

.
2 2

y
B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

y

F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围

F1(-c,0)
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
2

x F2(c,0)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

x y ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2

?a? x?a

?b ? y ?b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(0 ? e ? 1)

c e? a

(e ? 1)



b y?? x a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
2 2

y

y
F2

F1

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

例4 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一 部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高 55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程 (精确到1m).
解:如图,建立直角坐标系xOy,使圆的直径AA′ 在x轴上,圆心与原点重合.这时上、下口的直 y 径CC′、BB′平行于x轴, C′ 且|CC′| =13×2 (m), |BB′| =25×2 (m).
A′ 0

13 C 12 A x

B′

25

B

x2 y2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 2 设双曲线的方程为 a b 令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为 (25,y-55).因为点B、C在双曲线上,所以
? 252 ( y ? 55) 2 ? ?1 ? 2 2 ?12 b ? 2 2 13 y ? ? 2 ?1 2 ? b ?12 (1) (2)

由方程(2)得 代入方程(1)得

5 y ? b (负值舍去) . 12

化简得 19b2+275b-18150=0 (3) 解方程(3)得 b≈25 (m). 所以所求双曲线方程为:

5b 2 ( ? 55 ) 252 12 ? ? 1, 2 2 12 b
x2 y2 ? ? 1. 144 625

例 5.根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 2 2 x y ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4

分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.

这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;

法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16

⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 9 2 2 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? b ? a

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4

法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b 2 ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

bb b 证明:直线 y ? x 与 y ? ? x 的交点为原点且它们关于 x 轴、 y 轴对称. a a

b 求证:渐近线方程为 y ? ? x 的双曲线的方程可写成 a 2 2 x y ? 2 ? ? (? ? 0) 的形式. 2
a

∴双曲线的方程可写成

∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上. x2 y2 ⑴当焦点在 x 轴上,则方程可设为 2 ? 2 ? 1 . m 2 n 2 n2 b2 2 2 ∴ 2 ? 2 ,令 m ? ??a (?? ? 0) ,则 n ? ??b m a x2 y2 x2 y2
??a
2

?

y2 x2 ⑵当焦点在 y 轴上,则方程可设为 2 ? 2 ? 1 . m n 2 2 m b ∴ 2 ? 2 ,令 n2 ? ?2a 2 (?2 ? 0) ,则 m2 ? ?2b2 n a x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的方程可写成 ? ? 1(?2 ? 0) 即 2 ? 2 ? ? ?2 ( ? ?2 ? 0) 的形式. 2 2 a b ?2b ?2a

?1b

2

? 1(?1 ? 0) 即

a

2

?

b

2

? ?? (?1 ? 0) 的形式.

综上所述,原命题成立.

法二:巧设方程,运用待定系数法.

根据下列条件,求双曲线方程: 为什么可以这样设? x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4

x2 y2 ( ?3)2 (2 3)2 ? ? ? (? ? 0) ,∴ ⑴设双曲线方程为 ? ?? 9 16 9 16 1 x2 y2 ? ?1 ∴ ? ? ,∴ 双曲线方程为 9 4 4 4 x2 y2 ? ? 1 ?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0? ⑵设双曲线方程为 16 ? k 4 ? k x2 y2 (3 2)2 22 ? ?1 ? ? 1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 ∴ 12 8 16 ? k 4 ? k

课堂练习:

x2 y 2 设双曲线的方程为 ? ? ? ? ? ? 0? 16 9

1. 过点(1,2),且渐近线为
2

16 y ? 9 x 的双曲线方程是________.
P( 1,-3 ) 且离心率为
2

3 y?? x 4 2

? 55

2.求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点

等轴双曲 线

2的双曲线标准方程.
2

y x ? ?1 8 8

归纳总结
1、“共渐近线”的双曲线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b

(1)与椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表 2 2 x y 示为 2 2

2、“共焦点”的双曲 线 x2 y 2
a ??
2

?

? ?b

2

? 1(b ? ? ? a ).

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

归纳总结
b 3. 渐近线方程为 y ? ? x 的双曲线的方程可 a x2 y2 写成 2 ? 2 ? ? (? ? 0) 的形式. a b 巧设方程形式将使问题解决变得简洁.

x y 巩固练习:1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点, 49 24 5 且离心率e ? 的双曲线方程。 4 解:由c 2 ? 49 ? 24 ? 25, 得c ? 5.? 焦点为( ? 5, 0),
x y 5 5 设共焦点的双曲线为 2 ? 2 ? 1, 然后由 ? 2 a 5 ?a a 4 2 2 x y 2 求得a ? 4, b ? 25 ? 16 ? 9, 可得 ? ? 1. 16 9
x2 y2 x2 y2 注:与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c x2 y2 双曲线系方程是 2 ? 2 ?1 2 m c ?m
2 2

2

2

x2 y2 ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 2、求与椭圆 ? 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
解: 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为

F , 0),F ( , 0) 1 (?2 2 2 2 2
? 双曲线的焦点在x轴上,且c ? 2 2
3 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 b 3 ? ? ,而c 2 ? a 2 ? b 2 , ? a 2 ? b 2 ? 8 a 3 解出 a 2 ? 6,b 2 ? 2 x2 y2 ? 双曲线方程为 ? ?1 6 2
?

例4

(2010 年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点

为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心 率为( A. 2 3+1 C. 2
【思路点拨】

) B. 3 5+1 D. 2
利用直线FB与渐近线垂直可推

导a、b、c等式关系,从而转化为关于e的方程.

【解析】

x2 y 2 设双曲线方程为 2- 2=1(a,b>0), a b

不妨设一个焦点为 F(c,0),虚轴端点为 B(0,b), b b 则 kFB=- .又渐近线的斜率为± ,所以由直线垂 c a bb b 2 直关系得- ·=-1· (- 显然不符合), 即 b =ac, ca a 又 c2-a2=b2,故 c2-a2=ac,两边同除以 a2,得 5+1 方程 e -e-1=0,解得 e= (负值舍去). 2 【答案】 D
2


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