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2014高三数学总复习9-7用向量方法证明平行与垂直(理) 74张(人教A版) 2


第九章

立体几何

第九章
第七节 用向量方法证明平行与垂直(理)

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系. 难点:将立体几何问题转化为向量问题.

夯实基础 稳固根基 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1.坐标法:如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线 (或平面),比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标,这种 情况下,一般是建立恰当的空间直角坐标系,用坐标法通过 坐标运算来解决.

2.基向量法 如果在所给问题中,不好寻找交于一点的互相垂直的三 条直线,或者其坐标难于求出,这时常选图中不共面的三条 直线上的线段构造基底,将所给问题的条件和待解决的结论, 用基底及其线性表示来表达,通过向量运算来解决.

二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标; ③写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论证;⑤转化为 几何结论.

三、平面的法向量 1.如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α, 则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α,如果 a⊥α,那么向 量 a 叫做平面 α 的法向量.

2.求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量,AB、CD 是 M 内的两条相 → → 交直线, n· =0, CD=0.由此可求出一个法向量 n(向量 则 AB n· → → AB及CD已知).

疑难误区 点拨警示 1.建立坐标系一定要符合右手系原则. 2.证明线面平行时,一定要说明直线在平面外.

思想方法技巧

一、如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向: (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪 些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件 转化成的向量直接表示?

(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表 示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与 由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到 需要的结论?

2.空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题?向量共线,注意重合; (2)垂直问题?向量的数量积为零,注意零向量; (3)距离问题?向量的模; (4)求角问题?向量的夹角,注意角范围的统一. 3.向量的分解与合成是用向量法解决立体几何问题中经 常遇到的问题,确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐 标系是关键.

二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1.用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合?a∥b?存在实数 t,使 a=tb. (2)l1⊥l2?a⊥b?a· b=0.

2.用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量. (1)l∥α 或 l?α?存在两个实数 λ、 使 a=λv1+μv2?a· μ, n =0. (2)l⊥α?a∥n?存在实数 t,使 a=tn.
?a⊥v , ? 1 ? l⊥α? ?a⊥v2. ? ?a· =0, ? v1 ?? ?a· 2=0. ? v

3.用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2. (1)α∥β 或 α 与 β 重合?n1∥n2?存在实数 t,使 n1=tn2.

(2)α⊥β?n1⊥n2?n1·2=0. n 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量,n 是平面 β 的 法向量. 则①α∥β 或 α 与 β 重合?v1∥β 且 v2∥β?存在实数 λ、 μ, 对 β 内任一向量 a,有 a=λv1+μv2.
?n⊥v , ? 1 ? ②α⊥β? ?n⊥v2. ? ?n· =0, ? v1 ?? ?n·2=0. ? v

考点典例讲练

用向量证明线面平行

[例 1]

如图所示, 平面 PAD⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD

为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

分析:欲证线面平行,可考虑找出平面 EFG 的一个法向 → → 量 n,证明PB· n=0,也可以考虑将PB用平面 EFG 内两不共 线向量线性表示,由于四边形 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,PA⊥AD,故可建立空间直角坐标系,用向量的 坐标运算证明.

证明:

∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形,△PAD 为 直角三角形,PA⊥AD,

∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图 所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0)、 B(2,0,0)、 C(2,2,0)、 D(0,2,0)、 P(0,0,2)、 E(0,0,1)、 F(0,1,1)、G(1,2,0). → → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1), → → → 设PB=sFE+tFG, 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

?t=2, ? ∴?t-s=0, ?-t=-2, ?

解得 s=t=2.

→ → → ∴PB=2FE+2FG, → → → → → 又∵FE与FG不共线,∴PB、FE与FG共面. ∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. → 自己再用平面 EFG 的法向量与PB垂直的方法证明之.

点评:(1)证明直线 l1∥l2 时,分别取 l1、l2 的一个方向向 a1 a2 量 a、b,则 a∥b?存在实数 k,使 a=kb 或利用其坐标b =b 1 2 a3 = (其中 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)). b3 (2)证明直线 l∥平面 α 时, ①可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n, 证明 a· n =0;

②可在平面 α 内取基向量{e1,e2},证明直线 l 的方向向 量 a=λ1e1+λ2e2,然后说明 l 不在平面 α 内即可; → ③在平面 α 内找两点 A、 证明直线 l 的方向向量 n∥AB. B,

(3)证明平面 α∥平面 β 时, α、 的法向量分别为 a、 设 β b, 则只需证明 a∥b.

(2011· 北京海淀期末)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A1⊥平面 ABC,∠ACB=90° .

(1)求证:BC⊥AA1; (2)若 M,N 是棱 BC 上的两个三等分点,求证:A1N∥平 面 AB1M.

证明:(1)因为∠ACB=90° ,所以 AC⊥CB, 又侧面 ACC1A1⊥平面 ABC, 且平面 ACC1A1∩平面 ABC=AC, BC?平面 ABC,所以 BC⊥平面 ACC1A1, 又 AA1?平面 ACC1A1,所以 BC⊥AA1.

(2)证法一:连接 A1B,交 AB1 于 O 点,连接 MO, 在△A1BN 中,O,M 分别为 A1B,BN 的中点, 所以 OM∥A1N. 又 OM?平面 AB1M,A1N?平面 AB1M, 所以 A1N∥平面 AB1M.

→ → 证法二:∵M、N 为 BC 的三等分点,∴BM=MN, → → → → → → → → → A1N=A1A+AM+MN=B1B+AM+BM=AM+B1M, ∵A1N?平面 AB1M,∴A1N∥平面 AB1M.

用向量证明线面垂直

[例 2]

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面

ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明:

(1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

证明:∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空间 直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).

(1)∵∠ABC=60° , ∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C(2, 2 ,0),E(4, 4 ,2). 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD, → → 得AC· =0, CD 2 3 2 3 ∴y= ,即 D(0, ,0), 3 3 1 3 → ∴CD=(-2, 6 ,0).

3 1 → 1 又AE=(4, 4 ,2), 1 1 3 3 → → ∴AE· =-2×4+ 6 × 4 =0, CD → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.

(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 3 1 → → 1 ∵AB=(1,0,0),AE=(4, 4 ,2), ? → ?n· =0, AB ∴? → ?n· =0, ? AE ?x=0, ? 即?1 3 1 ?4x+ 4 y+2z=0. ?

令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3).

2 3 3 → → ∵PD=(0, 3 ,-1),显然PD= 3 n. → → ∵PD∥n,∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.

点评: (1)证明直线 l1 与 l2 垂直时, l1、2 的方向向量 a、 取 l b,证明 a· b=0. (2)证明直线 l 与平面 α 垂直时,取 α 的法向量 n,l 的方 向向量 a,证明 a∥n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的 方向向量 e,证明 a· e=0,b· e=0.

(3)证明平面 α 与 β 垂直时,取 α、β 的法向量 n1、n2,证 明 n1·2=0.或取一个平面 α 的法向量 n, n 在另一个平面 β 内取 基向量{e1,e2},证明 n=λe1+μe2. (4)证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方向向 量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐标表示).

(2012· 湖南理,18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平 面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° , E 是 CD 的中点.

(1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所 成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

解析:如图,以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 PA=h,则 相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0), E(2,4,0),P(0,0,h).

→ → → (1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h). → → → → 因为CD· =-8+8+0=0,CD· =0,所以 CD⊥AE, AE AP CD⊥AP.而 AP、AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD ⊥平面 PAE. → → (2)由题设和(1)知,CD、PA分别是平面 PAE、平面 ABCD 的法向量. 而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角 相等,

→ → → → 所以|cos〈CD,PB〉|=|cos〈PA,PB〉|, ? → → ? ? → → ? PB PB ? CD· ? ? PA· ? 即? = . → →? ?→ →? |PB |PB ?|CD|· |? ?|PA|· |? → → 由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h), → 又PB=(4,0,-h),
? -16+0+0 ? ? 0+0+h2 ? ? ? ? 故? 2?=? 2?. ? ?2 5· 16+h ? ?h· 16+h ?

8 5 解得 h= 5 .

1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ×(5+3)×4=16, 2 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5 V= ×S×PA= ×16× = . 3 3 5 15

用向量方法证明面面垂直与平行

[例 3]

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, F、 E、

G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点,求证:

(1)平面 ADE∥平面 B1C1F; (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G; (3)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

→ → → 解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1为正交基底建立空间 直角坐标系 O-xyz, D(0,0,0), 1(0,0,2), 则 D A(2,0,0), 1(2,0,2), A E(2,2,1),F(0,0,1),G(0,1,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2). (1)设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE、 → → 平面 B1C1F 的法向量,则 n1⊥DA,n1⊥AE. ? → ?2x =0, ?n1· =0, DA ? 1 ∴? ∴? ?2y1+z1=0, → ? ?n · =0, ? 1 AE

取 y1=1,z1=-2,∴n1=(0,1,-2). 同理可求 n2=(0,1,-2). ∵n1∥n2,∴平面 ADE∥平面 B1C1F.

→ → (2)∵DA· 1G=(2,0,0)· D (0,1,-2)=0, → → ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· 1G=(0,2,1)· D (0,1,-2)=0,∴AE⊥D1G. → → ∵DA、AE不共线,∴D1G⊥平面 ADE. 又∵D1G?平面 A1D1G,∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.

→ → (3)由于点 M 在 AE 上,所以可设AM=λ· =λ· AE (0,2,1)= (0,2λ,λ), → ∴M(2,2λ,λ),A1M=(0,2λ,λ-2). 要使 A1M⊥平面 DAE,只需 A1M⊥AE, → → ∴A1M· =(0,2λ,λ-2)· AE (0,2,1)=5λ-2=0, 2 2 ∴λ=5.故当 AM=5AE 时,A1M⊥平面 DAE.

(2012· 巢湖市期末)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1, FD⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD,FD=BE=1,M 为 BC 边上的动点.

(1)证明:ME∥平面 FAD; (2)试探究点 M 的位置,使平面 AME⊥平面 AEF.

解析:(1)以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DF 所在 直线为 x 轴、 轴、 轴, y z 建立空间直角坐标系如图, D(0,0,0)、 则 A(1,0,0)、F(0,0,1)、C(0,1,0)、B(1,1,0)、E(1,1,1),

→ 因为 M 为 BC 边上的动点,所以设 M(λ,1,0),所以ME= → (1-λ,0,1),而平面 FAD 的一个法向量为DC=(0,1,0). → → 因为ME· =(1-λ,0,1)· DC (0,1,0)=0+0+0=0,且 ME? 平面 FAD,所以 ME∥平面 FAD.

(2)设平面 AEF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 AME 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),由(1)知 M(λ,1,0). → → ∵AE=(0,1,1),AF=(-1,0,1), ? → ?n1· =0, AE ∴? → ?n · =0, AF ? 1
?y +z =0, ? 1 1 ? 即 ?z1-x1=0, ?

令 z1=1 得 x1=1,y1=-1,∴n1=(1,-1,1),

→ → 又AE=(0,1,1),AM=(λ-1,1,0), ? → ?n2· =0, AE ∴? → ?n · =0, AM ? 2
?y +z =0, ? 2 2 ? 即 ?x2?λ-1?+y2=0, ?

令 x2=1,得 y2=1-λ,z2=λ-1,∴n2=(1,1-λ,λ-1). 若平面 AME⊥平面 AEF,则 n1⊥n2,∴n1·2=0,即 1- n 1 (1-λ)+λ-1=0,解得 λ= ,此时 M 为 BC 的中点, 2 ∴当 M 为 BC 的中点时,平面 AME⊥平面 AEF.

课堂巩固训练

一、解答题 1 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形, ∠ABC=∠ BCD=90° ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD.

(1)证明:PA⊥BD; (2)证明:平面 PAD⊥平面 PAB.

[证明]

(1)取 BC 的中点 O,

∵侧面 PBC⊥底面 ABCD,△PBC 为等边三角形, ∴PO⊥底面 ABCD. 以 O 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴, 以 过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系.

不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO= 3. ∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 3).

→ → ∴BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,- 3). → → → → ∵BD· =0,∴PA⊥BD,∴PA⊥BD. PA

(2)取 PA 的中点 M,连结 DM,则

?1 M? ,-1, ?2 ?

3? ? . 2? ?

3? → → ?3 ? ∵DM=? ,0, ?,PB=(1,0,- 3), 2? ?2 ? → → → → ∴DM· =0,∴DM⊥PA,即 DM⊥PA. PA → → → → 又DM· =0,∴DM⊥PB,即 DM⊥PB. PB ∵PA∩PB=P,∴DM⊥平面 PAB, ∵DM?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PAB.

[点评]

线线垂直即直线的方向向量垂直;线面垂直即

直线的方向向量与平面的法向量平行;面面垂直即二平面的 法向量垂直.

2.(2011· 六安月考)如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 是线段 EF 的中点.

求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

[证明]

(1)建立如图所示的空间直角坐标系, AC∩BD 设

=N,连接 NE.

2 2 则点 N、E 的坐标分别为( 2 , 2 ,0)、(0,0,1). 2 2 → ∴NE=(- 2 ,- 2 ,1). 2 2 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、( 2 , 2 ,1), 2 2 → ∴AM=(- 2 ,- 2 ,1). → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE.

2 2 → (2)由(1)知AM=(- ,- ,1), 2 2 ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1), → ∴DF=(0, 2,1). → → → → ∴AM· =0,∴AM⊥DF,∴AM⊥DF. DF 同理 AM⊥BF.又 DF∩BF=F, ∴AM⊥平面 BDF.

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