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必修四,平面向量


——我们只做有良心的教育


学生姓名 学 科 数学 平面向量 1. 2. 3. 4. 任课老师 年 级












上课时间 教材版本 人教版

课题名称

课时计划

教学目标

了解向量的定义 掌握向量的加减法 掌握两个向量的数量积求法 掌握共线向量与向量垂直的性质

教学 重难点

1. 向量的加减法 2. 两个向量的数量积 3. 共线向量与向量垂直

1.向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者 的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、 符号、坐标语言。主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
??? ???


???

OA

???

=(x1,y1) ,

OA + OB =
???

OB =(x1,y2)

OC
???


OB - OA =
???

加法与减 法
教 学 过 程
???

OA + OB =(x1+x2,y1+y2)

???

???

AB

??? ? ??? AB ? OB

-

OA

???

=

(x2-x1,y2-y1)
OA + AB =
??? ???
???

OB

实数与向 量 的乘积

???

AB =λ a

?

记 a =(x,y) 则λ a =(λ x,λ y)
? ?

?

λ ∈R
?

a · b =| a

?


?

?

a

=(x1,y1),

两个向量 的数量积

|| b | cos< a , b >
? ?

?

b =(x2,y2)

则 a · b =x1x2+y1y2

?

?

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2.重要定理、公式

? ? ? ? ? ? (1)向量共线定理:如果有一个实数 ? 使 b ? ? a(a ? 0), 那么 b 与 a 是共线向量;反之,
? ? ? ? ? ? 如果 b与a(a ? 0) 是共线向量,那么有且只有一个实数 ? ,使 b ? ? a 。
(2)平面向量基本定理;如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面 内任一向量 a ,有且只有一对数数λ 1,λ 2,满足 a =λ 1 e 1 +λ 2 e 2 。
? ?
? ?

?

?

? ? ? ? ? ? (3)两个向量平行 :设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ∥ b ? b ? ? a ? x1y2-x2y1=0 ? ? ? ? ? ? (4)两个向量垂直:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1x2+y1y2=0
(5)线段定比分点公式: 设 P1 P ? ? PP2 , 则 OP ?
??? ???
???

1 ??? ? ??? OP ? OP2 1 1? ? 1? ?

x ? ?x 2 ? x? 1 ? ? 1? ? 设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 ? ? y ? y 1 ? ?y 2 ? 1? ? ?

1、平面向量 a ? (3, ,?4),b ? (2, x), c ? (2, y),已知 a ∥ b , a ? c ,求 b、 c 及 b与c 夹角。

?? ? ? 3? ? 2、已知向量 m = ( cos? , sin ? )和 n =( 2 ? sin ? , cos? ), ? ? ? ?, ? . ? 2?
课堂练习

?? ? (1)求 | m ? n | 的最大值; ?? ? 4 10 (2)若 | m ? n | = ,求 sin 2? 的值. 5

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? 3? 3、已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos? , sin ? ) , ? ? ( , ) , 2 2 ???? ??? ? (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值;
??? ? ??? ? 2 sin 2 ? ? sin 2? (2)若 AC ? BC ? ?1 ,求 的值。 1 ? tan?

??? ? ??? ? ? ???? ? 1、若 ABCD 为正方形, E 是 CD 的中点,且 AB ? a, AD ? b ,则 BE =
? 1? ? 1? ? 1? ? 1? A. b ? a B. b ? a C. a ? b D. a ? b 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? (1, 2), b ? ( x,1), 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则 x 的值为
A. 1
?? ?









B. 2
? ?? ? ? ?? ?

C.
?

1 3
?

D.
?

1 2

3、△OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t (
课后作业

a

?

|a|

?

?

b

|b|

?

) ,t∈R,则点 P 在 (



A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上

B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上 ( )

4、已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 BC ? AB , BC ? ? CA, 则? 等于 A.3 B.
1 3

1 3 1 → → →→ →→ 5、设OM=(1,2), ON =(0,1),则满足条件 0≤ OP · OM≤1,0≤ OP · ON ≤1 的动点 P 的变动范围(图中阴影部分,含边界)是 ( )

C. ? 3

D. ?

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y 1 O A 2 1 x 2 O

y 1 1 B x 2 O C

y 1 1 x 2 O

y 1 1 D x

? ? ? ? 6、已知向量 a ? (?2, ?1) , b ? (? ,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 (
1 A . (? , 2) ? (2, ??) 2
?



B . (2, ??)
? ?

1 C . (? , ??) 2

1 D . (??, ? ) 2

7、.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A,B,C 三点共线,则 k=_________. ? ? ? ? ? ? ? 8、已知 a ? 2, b ? 2, a 与 b 的夹角为 45? ,若 (?b ? a) ? a, 则 ? = .

?? ?? ? ?? ? 9 、 若对 n 个向量 a1, a2 ,?, an ,存在 n 个 不全为零 的实数 k1 , k2 ,?, kn , 使 得 ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? k1 a1 ? k2 a2 ??? kn an = 0 成立,则称向量 a1, a2 ,?, an 为“线性相关”.依次规定,请你求出一组
实数 k1,k2,k3 的值,它能说明 a1 =(1,0), a2 =(1,-1), a3 =(2,2) “线性相关”:k1,k2, k3 的值分别是 , , . ? ? ? ? ? ? 10、已知 a ? (2, ?5),| b |?| a |, 且a与b互相垂直, 则 b 的坐标是

.

??? ? ??? ? ???? ? 11、设平面内的向量 OA ? (1,7), OB ? (5,1), OM ? (2,1), 点 P 是直线 OM 上的一个动点,求
??? ? ??? ? ??? ? 当 PA?PB 取最小值时, OP 的坐标及 ?APB 的余弦值。

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? ? ? 12、设向量 a ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , b ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , c ? (1,0) , ? ? (0, ? ) , ? ? (? , 2? ) ,
? ? ? ? ? ? ?? 的值。 a 与 c 的夹角为 ?1 , b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ? ,求 sin 3 2

课后记

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________ 学生的接受程度:完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________ 学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________ 学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________ 教研组长 审 批 家长签名

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