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三角函数校本教材


专题研究 专题要点 1

三角函数的值域与最值

函数 定义域 值域

y=sinx R [-1,1]

cosx R [-1,1]

tanx π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2 R

2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理,其整理目标为 ①y=Asin(ω x+φ )+B 型;②y=f(sinx)型 3.- a2+b2≤asinx+bcosx≤ a2+b2 4.求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性. 5.利用导数求三角函数的值域和最值. asinx+b 6.y= 型 ccosx+d (1)转化为 Asinx+Bcosx=C 型. (2)利用直线的斜率求解. 7.求三角函数值域或最值时应注意运用换元法,将复杂函数转化为简 单函数. 专 题 讲 解 题型一 y=Asin(ω x+φ )+B 型的最值问题

例 1 设函数 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+m(x∈R). (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期;

1 7 π (2)若 x∈[0, ], 是否存在实数 m, 使函数 f(x)的值域恰为[ , ]? 2 2 2 若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)∵f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+m π =1+cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 ∴函数 f(x)的最小正周期 T=π. π (2)假设存在实数 m 符合题意.∵x∈[0, ], 2 1 π π 7π π ∴ ≤2x+ ≤ ,则 sin(2x+ )∈[- ,1], 6 6 6 6 2 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+m+1∈[m,3+m]. 6 1 7 1 又∵f(x)∈[ , ],解得 m= , 2 2 2 1 1 7 ∴存在实数 m= ,使函数 f(x)的值域恰为[ , ]. 2 2 2 探究 1 化为 Asin(ω x+φ )+B 的形式求最值时, 特别注意自变量的 取值范围对最大值、 最小值的影响, 可通过比较闭区间端点的取值与 最高点、最低点的取值来确定函数的最值. 思考题 1 2π (1)已知△ABC 中,AC=1,∠ABC= ,∠BAC=x, 3

→ → 记 f(x)=AB· . BC (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; π (2)设 g(x)=6m· f(x)+1,x∈(0, ),是否存在正实数 m,使函数 3 5 g(x)的值域为(1, ]?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理 4 由. 1 1 BC AB 【解】 (1)由正弦定理得: = = , ∴BC= sinx 2π π 2π sin sin? -x? sin 3 3 3 π sin? -x? 3 sinx,AB= , 2π sin 3

→ → π 4 π 1 2 3 1 ∴f(x)=AB· =AB· cos = sinx· BC BC· sin( -x)·= ( cosx- 3 3 3 2 3 2 2 1 π 1 π sinx)· sinx= sin(2x+ )- (0<x< ). 3 6 6 3 π π (2)g(x)=6m· f(x)+1=2msin(2x+ )-m+1(0<x< ).假设存在正 6 3 π π π 5π π 1 实数 m 符合题意,∵x∈(0, ),∴ <2x+ < ,则 sin(2x+ )∈( , 3 6 6 6 6 2 1]. π ∵m>0,∴函数 g(x)=2msin(2x+ )-m+1 的值域为(1,m+1].又 6 5 5 1 函数 g(x)的值域为(1, ],∴m+1= ,解得 m= ,∴存在. 4 4 4 (2)求 f(x)=3sinx+4cosx,x∈[0,π]的值域. 【解析】 f(x)=3sinx+4cosx 3 4 =5( sinx+ cosx) 5 5 =5sin(x+φ) 3 4 π 其中 cosφ= ,sinφ= ,0<φ< 5 5 2 ∵0≤x≤π∴φ≤x+φ≤π+φ π ∴当 x+φ= 时,f(x)max=5 2 当 x+φ=π+φ 时,f(x)min=5sin(π+φ)=-5sinφ=-4. ∴f(x)的值域为[-4,5] 题型二 可化为 y=f(sinx)型的值域问题

例 2 求下列函数的值域; sin2xsinx (1)y= ; 1-cosx (2)y=sinx+cosx+sinxcosx; 2 2sinxcosxsinx 2cosx?1-cos x? 【解析】 (1)∵y= = 1-cosx 1-cosx 1 1 =2cos2x+2cosx=2(cosx+ )2- . 2 2 于是当且仅当 cosx=1 时,ymax=4, 但 cosx≠1,∴y<4.

1 1 且 ymin=- ,当且仅当 cosx=- 时取得. 2 2 1 故函数值域为[- ,4) 2 (2)令 t=sinx+cosx,则有 t2-1 t =1+2sinxcosx,即 sinxcosx= . 2 t2-1 1 ∴y=f(t)=t+ = (t+1)2-1. 2 2 π 又 t=sinx+cosx= 2sin(x+ ), 4 1 ∴- 2≤t≤ 2.故 y=f(t)= (t+1)2-1(- 2≤t≤ 2),从而 2 知:f(-1)≤y≤f( 2), 1 即-1≤y≤ 2+ . 2
2

1 则函数的值域为[-1, 2+ ]. 2 探究 2 可化为 y=f(sinx)型三角函数的值域可通过换元法转为其他 函数的值域. 6cos4x+5sin2x-4 思考题 2 (1)求函数 y= 的值域. cos2x 【解析】 原函数可化为: 6cos4x-5cos2x+1 ?2cos2x-1??3cos2x-1? y= = cos2x cos2x 1 ∴y=3cos2x-1,(cos2x≠ ) 2 1 ∴-1≤y≤2,且 y≠ . 2 2 (2)求 f(x)=cos x+asinx 的最小值. 【解析】 f(x)=1-sin2x+asinx 令 t=sinx,t∈[-1,1] a2 a2 2 ∴y=-t +at+1=-(t- ) +1+ 2 4 当 a>0 时,t=-1 时,y 取最小值,ymin=-a. 当 a≤0 时,t=1 时,y 取最小值,ymin=a.

题型三 数形结合求三角函数的值域 2-sinx 的值域. 2+cosx 1 1 (2)已知 f(x)= (sinx+cosx)- |sinx-cosx|,求 f(x)的值域. 2 2 2-sinx 【解析】 (1)函数 f(x)= ,可看作点(2,2)(-cosx,sinx) 2+cosx 两点连线的斜率. 点(-cosx,sinx)的轨迹为 x2+y2=1. 函数值域即为(2,2)与单位圆 x2+y2=1 上点连线斜率的范围,由 图可知,过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在,不妨设为 k. ∴切线方程为 y-2=k(x-2)即 kx-y-2k+2=0 例3 (1)求函数 f(x)=

|2-2k| =1 1+k2 4± 7 解之得 k= 3 ∴满足 4- 7 4+ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ , ] 3 3 ? ?sinx≤cosx? ?sinx (2)f(x)=? ?cosx ?sinx>cosx? ? 作出图象

由图象知,-1≤y≤

2 2

探究 3

借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求

出函数的值域,从而减少运算量.


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