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高三数学第一轮复习单元测试—期末考试


高三数学第一轮复习单元测试—期末试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 a 为实数,

2 ? ai 1 ? 2i

=- 2 i,则 a 等于





A. 2

B.- 2

C.2 2

D.-2 2

2 (2008 年浙江卷)已知 U=R,A= ?x | x ? 0?,B= ?x | x ? ?1?,则 ? A ? Cu B ? ? ? B ? Cu A ? ? ( ) A. ? C. ? x | x ? ?1? B. ? x | x ? 0? D. ? x | x ? 0或x ? ?1?

3.平面α 与球 O 相交于周长为 2π 的⊙O′,A、B 为⊙O′上两点,若∠AOB=

? ,且 A、B 4

的球面距为

2 ? , 则 OO′的长度为 4
B. 2





A.1

C.π

D.2

? x ? 1, ? 4 . 2008 年 湖 南 卷 ) 已 知 变 量 x 、 y 满 足 条 件 ? x ? y ? 0, ( 则 x ? y 的最大值是 ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?
( ) A.2 B.5 C.6
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

D.8 ( )

5.在下列命题中,真命题是

A.直线 m, n 都平行于平面 ? ,则 m // n B.设 ? ? l ? ? 是直二面角,若直线 m ? l ,则 m ? ? C.若直线 m, n 在平面 ? 内的射影依次是一个点和一条直线,且 m ? n ,则 n ? ? 或

n // ? D.设 m, n 是异面直线,若 m // 平面 ? ,则 n 与 ? 相交
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 2 2 6. (理) 已知椭圆 a b 与双曲线 m n 有相同的焦点 (?c,0)

和 (c, 0) .若 c 是 a, m 的等比中项, n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )
2
2

2

1 A. 2

1 B. 4

2 2 C.

3 3 D.

(文)已知双曲线的一条准线与两渐近线的交点分别为 A 、 B ,相应于这条准线的焦点

为 F ,如果 ?ABF 是等边三角形,那么双曲线的离心率为 A.2


2 3 D. 3



B. 2 C.4 π π 1 7. 曲线 y=2sin(x + 4)cos(x -4)和直线 y= 2 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1, P2,P3,?,则|P2P4|等于 ( ) A .π B .2π C. 3π D .4π 8. (理)设可导函数 f (x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,且当 x<0 时, f ?( x) ? 0 ,则不等式 ( ) xf ( x) ? 0 的解集是 A. (??,?1] ? [1,??) B. [?1,0) ? (0,1] C. [?1,1] D. (??,?1] ? {0} ? [1,??) (文)设函数 f (x) 是 R 上的偶函数,对于任意的 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) ,且

f (4) ? 3 ,则 f (2007) ? f (2008) ?





A.3 B.-3 C.2 D.2006 9. (2008 年山东卷) 在某地的奥运火炬传递活动中, 有编号为 1 2,?, 的 18 名火炬手. 若 ,3, 18 从中任选 3 人, 则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 ( ) A.

1 51

B.

1 68

C.

1 306

D.

1 408

10. 某人获悉一个岛上三处藏有宝物.由于年代久远,有的数据缺失,记载如下:岛上有一棵椰子 树,由叶子树向东走 3 米为藏宝处 A,继续向东走 b 米,到达 B 处然后向东偏北 60° 走 a 米为藏宝处 C(其中 a,b 为缺少数据) ,由 B 向南走

1 BC 为藏宝处 E,三个藏宝处 3

在以 B 为焦点,椰子树的南北方向所在直线为相应的准线的双曲线上.寻宝的关键是推 出 a,b 的值,a,b 的准确值为 ( ) A.28;4 B.14;4 C.28;8 D.14; 8 11. (理)锐角三角形 ABC 中,若 A ? 2B ,则下列叙述正确的是 ( ) ① sin 3B ? sin 2c ② tan A.①②

3B c ? ? tan ? 1 ③ ? B ? 2 2 6 4
C.③④



a ? ( 2, 3] b
开始 输入 m n ,

B.②③

D.④①

(2008 重庆文)某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级 学生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查. 这种抽样方法是 A.简单随机抽样法 C.随机数表法 B.抽签法 D.分层抽样法

i ?1

a ? m?i
i ? i ?1
n 整除 a? 是 输出 a,i D.垂心 结束 图1 否

12. (理)过正方体任意两个顶点的直线共 28 条,其中异面直线有 A.32 对 B.72 对 C.174 对 D.189 对 (文)若 O 是平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,且满足
??? ???? ? ??? ??? ? ? OP ? OC ? ? CB ? CA ( ? ? R ),则 P 点的轨迹一定过△ABC 的

?

?

A.外心

B.内心

C.重心

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案直接写在横线上 13.阅读图 1 的程序框图,若输入 m=4,n=3,则输出 a=_______,i=________。 14. (理)设 (3 3 x ? 1) 的展开式中各项系数之和为 A,各项的二项式系数之和为 B,如
n

A+B=272,则展开式中 x 的系数为 (文) ( x ? 2)10 ( ? 1) 展开式中 x 的系数是
8

。 。

1 x

15.在△ABC 中,B(-2,0) 、C(2,0) 、A(x,y) ,给出△ABC 满足的条件,就能得到动 点 A 的轨迹方程, 下面给出了一些条件及方程, 请你用线把左边△ABC 满足的条件及相 应的右边 A 点的轨迹方程连起来.(错一条连线得 0 分)

① ②


△ABC 周长为 10 △ABC 面积为 10
△ABC 中,∠A=90°

C1 :
C2 : C3 :

y2=25 x2+y2=4(y≠0)

x2 y2 + =1(y≠0) 9 5 16.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆. 这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数 是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 17.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? ?4cos x ? 4 3a sin x cos x ,将 f (x) 的图象按向量 ? ? ? b ? (? , 2) x? 4 12 对称. 平移后,图象关于直线

(1)求实数 a 的值,并求 f ( x) 取得最大值时 x 的集合; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分) (理)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字 1,三 张标有数字 2,二张标有数字 3,第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第 二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为 ? . (1) ? 为何值时,其发生的概率最大?说明理由;

(2)求随机变量 ? 的期望 E? . (文)有一种博彩游戏,其规则如下:庄家在口袋里装黑、白围棋子各 8 枚,博彩者从中 随机一次摸出 5 枚,摸一次交手续费 1 元,中彩情况如下: 摸子情况 彩 金 5 枚白 20 元 4 枚白 2元 3 枚白 纪念品价值 5 角 其它 无奖

(1)分别求博彩一次获 20 元彩金,2 元彩金,纪念品的概率; (2)如果游客博彩 1000 次,庄家是赔钱还是赚钱?金额约是多少元?(精确到元)

19. (本题满分 12 分) (2008 年陕西)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如
? A A 图所示, 截面为 A1 B1C1 , BAC ? 90 , 1 A ? 平面 ABC , 1 A ? 3 ,AB ? ?

2 ,AC ? 2 ,

A1C1 ? 1 ,

BD 1 ? . DC 2

(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小.

20. (本题共 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? t , a2 ? t 2 (t ? 0) ,且 an ?1 ? (t ? 1)an ? tan ?1 (n ? 2) . (1)若 t ? 1 ,求证:数列 {an ?1 ? an } 是等比数列. (2)求数列 {an } 的通项公式.

1 1 1 1 2an 1 ? ? ? 与 2n (n ? N ? ) ,试比较 ? (3) (仅理科)若 ? t ? 2, bn ? 2 2 1 ? an b1 b2 b3 bn

?2

n ? 2



21. (本题满分 12 分)已知抛物线 y2 = 2px ( p?0)的焦点为 F,直线 l 过定点 A(1,0)

且与抛物线交于 P、Q 两点. (1)若以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O,求 P 的值; (2)在(1)的条件下,若 FP + FQ = FR ,求动点 R 的轨迹方程.

22. (本小题满分 14 分)已知数列{ a n }中, an ? 2 ?

1 (n≥2, n ? N ? ) , an ?1

(1)若 a1 ? (2)若 a1 ?

1 3 ,数列 {bn } 满足 bn ? ( n ? N? ) ,求证数列{ bn }是等差数列; an ? 1 5

3 ,求数列{ a n }中的最大项与最小项,并说明理由; 5

(3) (理做文不做)若1 ? a1 ? 2 ,试证明: 1 ? an ?1 ? an ? 2 .

参考答案
1.B.a 为实数,

2 ? ai 1 ? 2i

=- 2 i,则 2 ? ai ? 2 ? 2i ,a=- 2 ,选 B。

2.D 本小题主要考查集合运算。? A ? Cu B ? ? x | x ? 0? B ? Cu A ? ? x | x ? ?1?

? ? A ? Cu B ? ? ? B ? Cu A ? ? ? x | x ? 0或x ? ?1?

3.A

⊙O′的半径为 1,球 O 的半径为 2 ,所以 OO′的长度为 ( 2) ? 1 ? 1
2

y

x-y=0 (1,4) (3,3) (1,1) 1

4.C

如图得可行域为一个三角形,其三个顶点 分别为 (1,1),(1, 4),(3,3), 代入验证知在点
O

X

x+2y-9=0

x=1

(3,3) 时, x ? y 最大值是 3 ? 3 ? 6.
故选 C.

5.C A 错,当直线 m、n 都平行于平面α 时,这两条直线平行、相交、异面皆有可能。B 错,因为没有点明直线的位置。C 正确。D 错,此时的直线 n 可能与平面α 相交,也可 能在α 内。故选 C。 6. (理)A 由已知椭圆与双曲线有相同的焦点可知 a2 –b2 = m2 +n2,又 c2 = am,2n2 = 2m2 +c2, 解得 a2 = 16m2,b2=12m2,∴椭圆的离心率为 e=
1? b2 1 ? a 2 2 。选 A。

x2 y 2 b ? ?1 y?? x a 2 b2 a , (文)A 不妨设双曲线的方程为 (a>0,b>0),则渐近线的方程为 a2 a2 b y?? x a 分别相交于 A、B 两 准线方程为 x =± c 。设双曲线的准线 x = c 与其渐近线
a2 c 2 ? a 2 b2 ? c ,又 点,由双曲线的性可知 A、B 两点关于 x 轴对称,易求得|CF|=c - c = c
b |AB|=2|CA|=2× a

a2 b2 3 2ab × c = c ,又∵△ABF 为等边三角形,∴|CF|= 2 |AB|, 即 c =
b 1 ? ( )2 ? 1 ? 3 ? 2 a 。故选 A.

3 2ab b ? 3 2 × c ,整理得 3 ab=b2,∴ a ,从而 e =

π π π π π 7.A 曲线 y=2sin(x + 4)cos(x - 4)=2 sin(4 - x ) cos(4-x)= sin(24 -2x)=2COS2x,由此做出函 数图象,再分析 P1,P2,P3,?的具体位置,求出|P2P4|=π 点析:本题主要体现了三角函数的二倍角公式,以及余弦函数的图象特征,由此解决问 题,解决问题时时画出图象,帮助分析更加直观。 8. (理)D.由 f (x) 是 R 上的奇函数可知, f (0) ? 0 ,即 x=0 是原不等式的解,则正确答案

?x ? 0 ?x ? 0 是 C、D 中之一;∵ xf ( x) ? 0 ? ? 或? ,又当 x<0 时, f ?( x) ? 0 ,且 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0

f (1) ? 0 ,可以推出 f (x) 是 R 上为增函数,∴ x ?[1,??) 时, f ( x) ? 0 ,x ?[1,??) 是


原不等式的解.故选 D. 点析:首先要根据题意掌握函数 f (x) 的特性(最好画出其草图) ,其次利用特殊值法 或解不等式组都能解决这类问题. (文)A.在 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 中取 x ? ?3 , 则 f (3) ? f (?3) ? f (3) ? f (3) ? 0 ? f ( x ? 6) ? f ( x) 即函数 f (x) 是周期为 6 的函数, ∴, f (2007) ? f (6 ? 334 ? 3) ? f (3) ? 0 f (2008) f (6 334 4) f ? ? ? ? 以

(4) ,所 ? 3

f (2007) ? f (2008) ? 3 .
9. 古典概型问题, B 基本事件总数为 C18 ? 17 ?16 ? 3 。 能组成以 3 为公差的等差数列有 (1,
3

4,7)(2,5,8) ?? , , , (12,15,18)共 12 组,因此概率 P ?

12 1 ? . 17 ?16 ? 3 68

1 a 10.建立坐标系,由第二定义得, ? e ? 3 ,? 4b ? a ? 12 ,然后特值验证,选 A; a 3?b 3?b? 2 a

点析: 利用圆锥曲线的几何量解决应用问题,这本身就是学习数学的出发点和归宿. 对于 选择题常常选择支验证,如本题由第二定义得到二元一次方程时应验证选择支求解. 11. (理)B

2B ?

?

?B ? , A ?B ? B ?B ? B ? 2 3 2 4 2

?

?

? 6

?

? ? B 4

?

sin( A ? B) ? sin C ? sin 3B ? sin C

tan(

A? B ? ?C C 3B C ) ? tan( ) ? cot ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 a sin A sin 2 B ? ? ? 2cos B ? ( 2, 3) 。 b sin B sin B

点析:三角形中的三角函数有关问题是历来考查的一个重点。此题中对于 同学们会误认为 外对

?
6

?B?

?
4

?
6

?B?

?
3

,而认为

?
6

?B?

?
4

是错误的。殊不知 2 B ? A ?

?
2

,此

a 的处理(利用正弦定理,将其转化成角的关系)也是需要积累的。 b

(文)D 本小题主要考查抽样方法。若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分 层抽样的方法进行抽样。故选 D。 12. (理)C 法一:1 正方体八个顶点共面有 12 种情况,且每个面内涉及 C 4 ? 6 条直线。
2

2 以正方体的 8 个顶点为顶点的等边三角形共有 8 个, 且每个等边三角形涉及 3 条直 线。故所有异面直线的对数为 C 28 ? (12C 6 ? 8C 3 ) ? 174 。
2 2 2

法二: 以正方体的 8 个顶点为顶点的三棱锥有 C8 ? 12 ? 58 个, 任意一个三棱锥中有
4

3 对异面直线的对数为 58 ? 3 ? 174 。所以正确答案为 C。 (文)C
??? ? ??? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? OP ? OC ? ? CB ? CA ? CP ? 2? CD (D 为 AB 边的中点) 。

?

?

点析: 对三角形中的 “中线向量公式” 应该引起重视。 学生可进一步思考其他几 “心” , 如:满足 (OP ? OA)?(OB ? OC ) ? 0 的 P 点的轨迹一定过△ABC 的垂心。 13.要结束程序的运算,就必须通过 n 整除 a 的条件运算,而同时 m 也整除 a ,那么 a 的 最小值应为 m 和 n 的最小公倍数 12,即此时有 i ? 3 。 14 . 理 ) (
3

??? ??? ? ?

??? ???? ?

? 赋 值 法 得 A= 4 , B= 2 , 所 以 4 ? 2 ? 272 n ? 4 所 以 含 x 项 为 ,
n n
n n

3 C4 ( 33 x ) ? 1 0 8 ,所以正确答案应该填 108。 x

9 (文) 因为 C10 ? x9 ? 21 ?

1 8 ? C10 ? x8 ? 22 ? (?1) ? (20 ? 180) x8 ,所以正确答案应该填 x

-160 点析:项的系数与二项式的系数是不同的两个概念,而求各项的系数和应采用赋值法, 求二项式系数和利用公式 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 。
0 1 2 n n

15.①→ C3 , ② 由

②→ C1 ,

③→ C2 .① 由|AB|+|AC|=6,得

x2 y2 + =1(y≠0); 9 5

1 |BC||y|=10,得 y2=25;③ 由|AB|2+|AC|2=|BC|2,得 x2+y2=4(y≠0). 2 点析:本题的设计是比较新颖的,是一道配对型的选择性的填空题.显然是一道活题, 是考知识、考能力的好题. 16. 5. 按各放2张,你可以算出正确的答案是5.各放 x 张呢,答案应当是一样的呀! 点析:考试大纲中要求,考查学生的实践能力,动手操作能力.本题将数学与日常的游 戏结合起来,显示了淡化知识,重视能力的命题新格局. ? ? f ( x) ? 2 3a sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 ,将 f (x) 的图象按向量 b ? (? 4 , 2) 平移后的解析 17.(1) ? g ( x) ? f ( x ? ) ? 2 ? 2sin 2 x ? 2 3a cos 2 x . 4 式为

? g (x) 的图象关于直线
?

x?

?
12 对称,

g (0) ? g ( ) 6 ,即 2 3a ? 3 ? 3a ,解得 a ?有

? 1.

f ( x) ? 2 3 sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 ? 4sin(2 x ? ) ? 2 6 则 .

?



2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2 ,即

x ? k? ?

?
3 时, f ( x) 取得最大值 2.

? {x | x ? k ? ? , k ? Z } 3 因此, f ( x) 取得最大值时 x 的集合是 . ? ? ? ? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k? ? ? x ? k ? ? 2 6 2 ,解得 6 3. (2)由 ? ? [ k? ? , k? ? ] f ( x) 的单调递增区间是 6 3 (k ? Z ) . 因此,

18. (理) (1)依题意,随机变量 ? 的取值是 2、3、4、5、6. 因为 P( ? =2)=

32 9 2 ? 3 2 18 ? ? ;P( ? =3)= , 64 8 2 64 82

P( ? =4)=

3 2 ? 2 ? 3 ? 2 21 2 ? 3 ? 2 12 ? ;P( ? =5)= ; ? 2 64 64 8 82
22 4 ? ; 2 64 8

P( ? =6)=

21 最大. 64 9 18 21 12 4 15 (2)E ? = 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? . 64 64 64 64 64 4
所以,当 ? =4 时,其发生的概率 P( ? =4)= (文) (1)一次摸奖中 20 元彩金的概率 P20 ?

C85 1 ; ? 5 C16 78

4 1 一次摸奖中 2 元彩金的概率 P2 ? C 8 C 8 ? 5 ; 5 39 C16

中纪念奖概率 P ? C8 C8 ? 14 . 纪 5
C16 39

3

2

(2)1000 次收手续费 1000 元. 预计支付 20 元奖需 m20 ? 1 ? 1000 ? 20元 ;
78

支付 2 元奖需 m2 ?

5 ? 1000 ? 2 元; 39
39

支付纪念奖需 m纪 ? 14 ? 1000 ? 0.5 元; 则余额 n=1000-m20-m2-m 纪=308 元. 故庄家赚钱约 308 元. 19.解:解法一: (Ⅰ)? A1 A ? 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,

? ? A1 A ? BC .在 Rt△ABC 中, AB ? 2,AC ? 2, BC ? 6 ,

6 BD 3 AB ? ? ,又 , ? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? 3 AB 3 BC

A1 B1

C1 E

? DBA ∽△ABC ,??ADB ? ?BAC ? 90? ,即 AD ? BC . △
又 A1 A ? AD ? A ,? BC ? 平面 A1 AD ,

A F

C

D B (第 19 题, 解法一)

? BC ? 平面 BCC1 B1 ,?平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 .
(Ⅱ)如图,作 AE ? C1C 交 C1C 于 E 点,连接 BE , 由已知得 AB ? 平面 ACC1 A1 .

? AE 是 BE 在面 ACC1 A1 内的射影.
由三垂线定理知 BE ? CC1 ,

??AEB 为二面角 A ? CC1 ? B 的平面角.

过 C1 作 C1 F ? AC 交 AC 于 F 点, 则 CF ? AC ? AF ? 1 , C1 F ? A1 A ? 3 ,

??C1CF ? 60? .
在 Rt△AEC 中, AE ? AC sin 60 ? 2 ?
?

3 ? 3. 2

在 Rt△BAE 中, tan AEB ?

AB ? AE

2 6 ? . 3 3

??AEB ? arctan

6 , 3
6 . 3
z B1 A1 C1

即二面角 A ? CC1 ? B 为 arctan

解法二: (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,

0,, 0,, 2,, 0, 1, 则 A(0, 0) B( 2, 0) C (0, 0) A1 (0, 3),C1 (0, 3) ,

??? 1 ??? ? ? ? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? BC . 3
?2 2 2 ? 0 ? D 点坐标为 ? ? 3 , ,? . 3 ? ? ?
B x

A D C y

???? ? 2 2 2 ? ??? ? ???? , ,? , BC ? (? 2, 0) AA1 ? (0, 3) . 0? 2,, 0, ? AD ? ? ? 3 3 ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? ? BC ?AA1 ? 0 , BC ?AD ? 0 ,? BC ? AA1 , BC ? AD ,又 A1 A ? AD ? A ,

(第 19 题,解法二)

? BC ? 平面 A1 AD ,又 BC ? 平面 BCC1 B1 ,?平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 .
0, (Ⅱ)? BA ? 平面 ACC1 A1 ,取 m ? AB ? ( 2, 0) 为平面 ACC1 A1 的法向量, ??? ?

CC n 设平面 BCC1 B1 的法向量为 n ? (l,m,n) ,则 BC ?n ? 0, 1 ? ? 0 .

??? ?

???? ?

?? 2l ? 2m ? 0, 3 ? ? l ? 2m,n ? m, ?? 3 ?m ? 3n ? 0, ? ?
1, 如图,可取 m ? 1,则 n ? ? 2, ? ? ? 3? ?, 3 ? ?

cos ? m,n ??

2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ?

3 3
2

?

? 3? ( 2) 2 ? 02 ? 02 ? ( 2) 2 ? 12 ? ? ? ? 3 ?
15 . 5

15 , 5

即二面角 A ? CC1 ? B 为 arccos

20.⑴由已知得 an?1 ? an ? t (an ? an ?1 )(n ? 2) ,∴ 项为 t ? t ,公比为 t 的等比数列
2

an ?1 ? an ? t (n ? 2) ,∴ {an?1 ? an } 是首 an ? an ?1

⑵由⑴得 an ?1 ? an ? (t ? t )t
2

n ?1

(t ? 1) ,即 an ?1 ? an ? t n ?1 ? t n ,
n ?1

∴ an ? an ?1 ? t ? t
n

n ?1

, an ?1 ? an ? 2 ? t
n

? t n ?2 ,?, a2 ? a1 ? t 2 ? t ,
n

将上列各等式相加得 an ? a1 ? t ? t ,∴ an ? t (t ? 1) 又 t ? 1时, an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1 ? 0 ,∴ an ? 1 综上可知 an ? t (t ? 0)
n

⑶由 bn ?

2an 2t n 1 1 n 1 ? ? (t ? n ) 得 2 2n 1 ? an 1 ? t bn 2 t

n 1 1 1 n n n (2t ) ? 1 n n ∵ (2 ? n ) ? (t ? n ) ? (2 ? t ) ,又 2 ? t ? ,∴ 2 ? t , 2t ? 1, n 2 2 t (2t ) n

∴ (2t ) ? 1 ,∴ 2 ?
n

n

1 1 1 1 1 ? t n ? n ,∴ ? (2n ? n ) n bn 2 2 2 t



1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [(2 ? 22 ? ? ?2n ) ? ( ? ? ? ? n )] b1 b2 bn 2 2 4 2
n
n 2

1 1 [1 ? ( )n ] 1 2(2 ? 1) 2 2 ] ? 2n ? 1 (1 ? 2? n ) ? 2n ? 1 ? 2 1? 2? n ? 2n ? 2? ? [ ? 1 2 2 2 2 ?1 1? 2

点析:含有数列递推公式的问题,一般是对递推公式进行变形,将其转化为等差数列 或等比数列,再求出通项.如本题(1) ;另外在解决问题的过程中,要注意特殊情形 的讨论(如 n=1,q=1,d=0 等等) ,如本题(2) ;对大小比较的问题,应先根据题意判断 大小,再证明你的结论.如本题(3) ,在“
n 1 1 1 1 ? ? ? ? ”和“ 2n ? 2? 2 ”的 b1 b2 b3 bn

启发下,容易联想到将

1 1 放缩成两个等比数列(公比应该为 2 和 ) ,最后发现 2 bn

1 1 ? 2 n ? n .这类问题在近几年的高考试题中经常出现. n t 2 21. (1)①若直线为 x = 1,将 x = 1 代入 y2 = 2px 得 y2 = 2p 以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O ,所以有 2p = 1∴ P = 1/2 ②若直线 l 不是 x = 1 时,设直线方程为: y = kx – k 将 y = kx – k 代入 y2 = 2px 得 k2 x2 - (2p + 2k2)x + k2 = 0① 设 P(x1,y1) Q(x2,y2)则由韦达定理得: x1 + x2 = (2p + 2k2)/ k2 x1 x2 =1 故 y1y2 = - 2p 又以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O, ∴ x1 x2+ y1y2 =0= 1- 2p ∴ P = 1/2 2 2 又 此时? = 4p + 8pk ? 0 综合①②得 P = 1/2. (2)设动点 R 的坐标为(x,y) ∵ FP + FQ = FR ∴FO + OP + FO + OQ = FO + OR ∴ (-1/4,0) + (x1,y1) + (x2,y2)= (x,y) ∴ x= x1 + x2 - 1/4 且 y =y1 +y2 ①l 方程为 x= 1 时,x= x1 + x2 - 1/4= 7/4 ,y =y1 +y2= 0 ②当 l 方程不是 x= 1 时,x=(2p +2k2)/k2 – 1/4 y= k(x1 + x2) - 2k = 1/k 即得 :x= 2p y2 + 7/4 = y2 + 7/4 所以 y2 = x –7/4 又因为 点(7/4,0)在 y2 = x –7/4 上 ∴ 由①②得 R 点的轨迹方程为:y2 = x –7/4 点析:本题是一个解析几何与平面向量结合的题目,是近几年高考的一个热点题型,再 就是本题主要体现了分类讨论的思想方法, 在两个问法里面都分两种情况。 实际主要根 据了直线的斜率是否存在来进行,也是涉及直线问题的一个易错环节。 tn ?
22. (1) b ? n
1 ? an ? 1 a 1 ? n ?1 ,而 1 an ?1 ? 1 2? ?1 an ?1

bn ?1 ?

1 an ?1 ? 1





bn ? bn ?1 ?

an ?1 1 ? ? 1 . (n ? N ? ) an ?1 ? 1 an ?1 ? 1



{ bn }是首项为 b1 ?

1 5 ? ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2
an ? 1 ? 1 .对于函数 n ? 3.5


有 an ? 1 ?
y?

1 5 , 而 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3.5 , ∴ bn 2

1 1 ,在 x>3.5 时,y>0, y' ? ? ? 0 ,在(3.5, ? ? )上为减函数. x ? 3.5 ( x ? 3.5) 2

当 n=4 时, an ? 1 ?

1 1 取最大值 3.(6 分)而函数 在 x<3.5 时,y<0, y? x ? 3.5 n ? 3.5

y' ? ?

1 ? 0 ,在( ? ? ,3.5)上也为减函数.故当 n=3 时,取最小值, a 3 =-1. ( x ? 3.5) 2

(2) 用数学归纳法证明 1 ? a n ? 2 ,再证明 a n ?1 ? a n . ① 当 n ? 1时, 1 ? a1 ? 2 成立; ②假设当 n ? k 时命题成立,即 1 ? a k ? 2 , 当 n ? k ? 1 时,

1 1 ? ? 1 ? a k ?1 ? 2 ? 1 ? (1, 3 ) ? 1 ? ak ?1 ? 2 2 ak ak 2

故当 n ? k ? 1 时也成立, 综合①②有,命题对任意 n ? N ? 时成立,即 1 ? a n ? 2 . (也可设 f ( x) ? 2 ? 故 1 ? f (1) ? a k ?1 下证: a n ?1 ? a n

1 1 (1≤ x ≤2) ,则 f ' ( x) ? 2 ? 0 , x x 3 ? f (a k ) ? f (2) ? ? 2 ). 2

a n ?1 ? a n ? 2 ? (a k ?

1 1 ) ? 2 ? 2 ak ? ? 0 ? a n ?1 ? a n . ak ak

点析:本题对等差数列的证明,数列项的最值的方法(函数单调性的定义法和导 数法)以及数学归纳法证明不等式进行了全面的考查.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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