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2016届高考数学(理)二轮立体几何中的向量方法复习课件_图文

? 常考问题13 立体几何中的向量方法 [真题感悟] [考题分析] ? ? ? ? 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2, b2,c2),v=(a3,b3,c3),则 (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0. ? ? ? ? ? ? (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥ν?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0. 2.空间角的计算 (1)两条异面直线所成的角 设直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 θ,则 cos φ=|cos θ| |a· b| =|a||b|(其中 φ 为异面直线 a,b 所成的角). (2)直线和平面所成的角 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 n, 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ,则 |e· n| 有 sin φ=|cos θ|=|e||n|. ?(3)二面角 ?如图所示,二面角α-l-β,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,〈n1,n2〉= θ,则二面有α-l-β的大小为-θ或πθ. ? ? ? ? ? ? ? 3.用向量法证明平行、垂直问题的步骤 (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建 系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面. (2)通过向量运算研究平行、垂直问题. (3)根据运算结果解释相关问题. 4.空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系 (1)求线面角时,得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦,而不是 线面角的余弦; (2)求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分 析. 热点与突破 ? ? ? ? 热点一 向量法证明平行与垂直 【例1】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.求证: (1)DE∥平面ABC; (2)B1F⊥平面AEF. 证明 如图建立空间直角坐标系 A-xyz,不妨设 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0), B(4,0,0),B1(4,0,4). (1)取 AB 中点为 N,连接 CN, 则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), → → ∴DE=(-2,4,0),NC=(-2,4,0), → → ∴DE=NC,∴DE∥NC, 又∵NC?平面 ABC,DE?平面 ABC. 故 DE∥平面 ABC. → → → (2)B1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0). → → B1F· EF=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, → → B1F· AF=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. → → → → ∴B1F⊥EF,B1F⊥AF, 即 B1F⊥EF,B1F⊥AF, 又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面 AEF. ? [规律方法] 证明平行、垂直关系时,若用传统的几何法,难以找出问题与条件的 关系时,可采用向量法,但向量法要求计算必须准确无误,利用向量法的关键是 正确求平面的法向量. ? ? ? 【训练1】 如图,在直三棱柱ADE -BCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且 互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点.求证: (1)OM∥平面BCF; (2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明 由题意,AB,AD,AE 两两垂直,以 A 为原点建立如图所 示的空间直角坐标系. 设正方形边长为 1,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), ?1 ? ? 1 1 1? F(1,0,1),M?2,0,0?,O?2,2,2?. ? ? ? ? 1 1? → → ? (1)OM=?0,-2,-2?,BA=(-1,0,0), ? ? → → → → ∴OM· BA=0,∴OM⊥BA. → ∵棱柱 ADE BCF 是直三棱柱,∴AB⊥平面 BCF,∴BA是平面 BCF 的一个法向量, 且 OM?平面 BCF,∴OM∥平面 BCF. (2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n1=(x1,y1, z1),n2=(x2,y2,z2). ? 1 → → ? → → ? ? ∵DF=(1,-1,1),DM= 2,-1,0 ,DC=(1,0,0),由 n1· DF= ? ? x1-y1+z1=0, ? ? → n1· DM=0,得?1 x1-y1=0, ? 2 ? 1 ? ?y1=2x1, 解得? ?z1=-1x1, 2 ? ? 1 1? n1=?1,2,-2?.同理可得 ? ? 令 x1=1,则 n2= (0,1,1).则 n1· n2=0,∴平面 MDF⊥平面 EFCD. 热点二 利用向量求空间角 【例 2 】 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥ 平面 A1B1C1,求线段 BM 的长. ? 解 如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点. ? 依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2,0), B1(0,2 2,0

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