当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3.2函数的极值与导数(1课时)


1.3.2 函数的极值 与导数

一、知识回顾:
函数的导数与单调性:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 (a,b)内有导数,如果在 这个区间内f '(x)>0 ,那么函 数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x)<0那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

求函数单调区间的步骤
第1步:求函数的导函数;
第2步:求导函数的零点(如果导函数在定义 域上非正或非负,直接判断增减);

第3步:用导函数的零点将函数的定义域分 成若干个区间(导函数不存在的点也要作为 划分区间的端点考察);
第4步:通过导函数在各个区 间的符号确定函数单调区间.

特别注意:原函数的定义域

关注用导数本质及其几何意义解决问题 高度最大,那么函数 h(t)在此点的导数是多少 呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数 的符号有什么变化规律?

思考1: 观察下图,当t=t0时,运动员距水面的

问题2:我们知道正弦函数的五点作图法是利用

关注用导数本质及其几 2 求导 y? ? 6x ?12x ? 6x( x ? 2)并确定单调区间。 何意义解决问题
x (-∞,0) 0
y’ y +


函数的五个关键点作出图形的,利用图象的关键点 与导数的关系,你能作出函数 y ? 2 x3 ? 6 x2 ? 7 的 图象吗?
(2,+∞)
+


(0,2)


2
0 -1

0 7

确定图象的关键点: (0,7),(2,-1)

画函数的草图。
上述作图中,图象的关键点十分重要,这些关键点与 函数的导数有何联系?我们将进行研究

二、新课——函数的极值:

探索思考:
如图:

y

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a
a

X1

X2

X3

X4

b

x

函数f ( x )在x1、x2、x3、x4等关键点处的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系?
y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?

探索思考:f ( x )
4

如图:

f ( x1 )

o

a
a

X1

X2

X3

X4

b

x

以X1 ,X2两点为例:函数在X1 处的函数值比它 附近所有各点的函数值都大, f''(X1)=0,而且在 X=X1的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0; 函数在 X2处的函数值比它附近所有各点的函数值 都小, f '(X2)=0,而且在 X=X2的左侧f '(x)<0,右 侧f '(x)>0. 我们把点X1叫做y=f(x)的极大值点,f (X1)叫函数y=f(x) 的极大值;点 X2叫做y=f(x)的极小值点,f (X2)叫函数 y=f(x)的极小值;

y

极值点与附近函数值、导数值的关系: y
f ?( x0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0
o a

f ?( x ) ? 0

f ?( x) ? 0
f ?( x0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0
x

X0

0

b

x

o

a

X0

b

如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 f ?( x) ? 0 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
f ?( x ) ? 0.

同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的 左侧附近f(x)只能是减函数,即 f ?( x ) ? 0 ;在x0的右侧附近 只能是增函数,即f ?( x ) ? 0 .

从而我们得出结论:对于可导函数,若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极 值点,f(x0)是极值,并且: (1)如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是 f(x)的极大值点,f(x0)是极大值; (2)如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统 称为极值.
从曲线的切线角度看,可导函数的图象在极值点处 切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧 为正.

三、例题选讲: 1 3 (课本P 28)例4. 求函数y ? x ? 4 x ? 4的极值 3 2
解: y? ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2). 令 y? ? 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘

2 0 极小值-4/3

(2,+∞) + ↗

因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.

练习1 2 求函f ( x ) ? x 3 的极值。

当x变化时,y?, y的变化情况如下:
x y’ y ↘ (-∞,0) 0 不存在 极小值0 (0,+∞) + ↗

2 2 解:f ?( x ) ? x = 3 3 3 x
?

1 3

练习2
f ( x) ? x 有极值点吗?
3

解:f ?( x ) ? 3 x 2 ? 0

当x变化时,y?, y的 变化情况如下:
x y’ (-∞,0) + 0 0 (0,+∞) +

y



0



四.探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极 值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但 它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧 的导数都大于零. 因此可导函数的导数为零的点仅是该点为极值 点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异 号. 对一般函数,导数为零的是该点为极值点的既不必 要也不充分条件.

一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:

(1):如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 右侧 f/(x)<0 , 那么f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)<0 右侧 f/(x)>0 , 那么f(x0)是极小值.

注意:极值可能在函数不可导的点取到. 2 如: f ( x ) ? x 3 在x ? 0有极小值。

a2 补充例题1:求函数f ( x) ? x ? (a ? 0)的极值。 x
解:函数的定义域为(? ?,0) ? (0,? ?),
a 2 ( x ? a )( x ? a ) f ?( x ) ? 1 ? 2 ? . 2 x x 令 f ?( x ) ? 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).

当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f(x) (-∞,-a) + ↗ -a 0 极大值-2a (-a,0) (0,a) ↘ a 0 (a,+∞) + ↗

↘ 极小值2a

故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.(注:利用奇函数求更易) 思考:函数的极大值一定大于极小值吗?

补充例题2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极 值为10,求 a、b的值. 解: f ?( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
? a?4 ?a ? ?3 . 由①、②解得 ? 或? ?b ? ?11 ? b ? 3 2 当a=-3,b=3时, f ?( x) ? 3( x ? 1) ? 0 ,此时f(x)在x=1处无

又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②

极值,不合题意.
2 ? f ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 11 ? (3 x ? 11)( x ? 1). 当a=4,b=-11时,

-3/11<x<1时, f ?( x ) ? 0 ;x>1时, f ?( x ) ? 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.

6x 练习3:求函数 y ? 1 ? x 2 的极值.

6(1 ? x 2 ) . 解: y ? ? 2 2 (1 ? x ) 令 y? =0,解得x1=-1,x2=1.

当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极大值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极小值3 (2,+∞) ↘

因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.

练习2
求下列函数的极值点:
1. f ( x ) ? x
2 3

2. f ( x ) ? sin x (x ? (0,2? ))
? x 3 ? 1 (x ? 0) ? 3. f ( x ) ? ? 1 x (x ? 0) ?( ) ? 2

补充例4:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值 为-1,求a、b的值. (2)若 x ? [0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线 斜率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 . 2 ? f ( x ) ? ? 3 x ? 2ax ? 0得x=0或x=2a/3. 解:(1)由 故4a/3=4, a=6. 由于当x<0时, f ?( x ) ? 0,当x>0时, f ?( x ) ? 0. 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 x ? [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)= ] 3x2-2ax-1≤0对一切 x ? [0,1恒成立 . 由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1. 1] 反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 x ? [0, 恒成立 .
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.

解法2:分离变量也可通过函数值域求出a的范围. (2)等价于当 x ? [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即 2ax≥3x2-1恒成立,显然当x=0时,不等式恒成立

3 1 h( x ) ? x ? 在 ? 0, 1? 上增 2 2x 3 1 a ? h( x )max ? ? = 1 2 2 1] 反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 x ? [0, 恒成立 .
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.

3 1 x? 当 0 ? x ? 1 时,不等式化为 a ? 2 2x 3 1 3 1 令 h( x ) ? x? , h?( x ) ? ? ? 0, 2 2 2x 2 2x

作业
? P31-32: 5.做在作业本上

http://www.99dyw.co/ 九九电影网 http://www.99dyw.tv/ 九九电影网 http://www.99dyw.cn九九电影网 www.youhuijuan.co www.avtt2018v.com 天堂网2014 www.avtt2018v1.com 天堂网2014 www.avtt2018v2.com 天堂网2014 www.avtt2018v3.com 天堂网2014 www.avtt2018v8.com 天堂网2014 www.avtt2018v7.com 天堂网2014 www.avtt2018v6.com 天堂网2014 www.avtt2018v5.com 天堂网2014 www.avtt2018v4.com 天堂网2014 www.avtt2014tt.com 天堂网2014 www.avtt2018v9.com 天堂网2014 www.avtt2018v10.com 天堂网2014 www.avttt2015.info 天堂网2014 www.avttv2017.info 天堂网2014 www.avttv2017.org 天堂网2014 www.avttv2018.com 天堂网2014 www.avttv2018.net 天堂网2014 www.avttv2018.org 天堂网2014 www.avttb2018.com 天堂网2014 www.avttb2018.net 天堂网2014 www.avtt2014tt.com 天堂网2014 http://www.tiantianpa2018v5.com http://www.tiantianpa2018v6.com http://www.oumeiqingse2018v6.com http://www.oumeiqingse2018v5.com http://www.gegequ2018v6.com http://www.gegequ2018v5.com http://www.chaopeng2018v5.com http://www.chaopeng2018v6.com


相关文章:
...人教版高中数学选修1.3.2函数的极值与导数(1课时)pp....ppt
最新人教版高中数学选修1.3.2函数的极值与导数(1课时)ppt课件 - 1.3
1.3.2--第1课时-利用导数研究函数的极值_图文.ppt
1.3.2--第1课时-利用导数研究函数的极值_数学_高中教育_教育专区。1.3.2 利用导数研究函数的极值1课时 利用导数研究函数的极值 引入:在群山之中,各个...
高中数学1.3第10课时函数的极值与导数(1课时)教案理新....doc
高中数学1.3第10课时函数的极值与导数(1课时)教案理新人教A版选修2_2 - 课题:函数的极值与导数(1 课时) 课时:10 课型:新授课 教学目标 1 知识与技能 〈...
1.3.2函数的极值与导数_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数 - 3.3.2 函数的极值与导数 复习: 单调性与导数的关系: 一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0,...
精品人教A版选修1-1教案:3.2函数的极值与导数(含答案).doc
精品人教A版选修1-1教案:3.2函数的极值与导数(含答案) - §1.3.2 函数的极值与导数(1 课时) 【学情分析】 : 在高一就学习了函数的最大(小)值,这与...
1.3.2 函数的极值与导数 (第1课时)_图文.doc
1.3.2 函数的极值与导数 (1课时)_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 函数的极值与导数(第 1 课时)【学习目标】 侧 .类似地,函数 y= f ( x) 在 x=...
1.3.2函数的极值与导数(1课时)_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数(1课时) - 1.3.2 函数的极值 与导数 一、知
1.3.2函数的极值与导数(第3课时)_图文.doc
1.3.2函数的极值与导数(第3课时) - 第三章 1.3.2 函数的极值与导数(第 3 课时) 【学习目标】 1.巩固利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法;...
1.3.2函数的极值与导数(1课时)_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数(1课时) - 1.3.2 函数的极值 与导数 一、知
1[1].3.2函数的极值与导数(1课时)_图文.ppt
1[1].3.2函数的极值与导数(1课时) - 1.3.2 函数的极值 与导数 一、知识回顾: 函数的导数与单调性:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 (a,b)内有导数...
1.3.2函数的极值与导数 (06)_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数 (06)_数学_自然科学_专业资料。导数在函数中的应用 §1.3.2函数的极值 与导数(一)高二数学(理)选修2-2 第一章 导数及其应用 ...
湖北省巴东一中高中数学1.3.2函数的极值与导数教案新人....doc
湖北省巴东一中高中数学1.3.2函数的极值与导数教案新人教版选修1_1 - §1.3.2 函数的极值与导数(1 课时) 【学情分析】 : 在高一就学习了函数的最大(小...
高中数学课件函数的极值与导数 第一课时_图文.ppt
高中数学课件函数的极值与导数 第一课时 - 1.3.2 函数的极值与导数(一) 复习引入 问题1:函数的单调性与导数有何关系? 复习引入 问题1:函数的单调性与...
...第一章导数及其应用1.3第2课时函数的极值与导数学案....doc
2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.32课时函数的极值与导数学案 - 1.3二课时 函数的极值与导数 一、课前准备 1.课时目标 (1)了解函数在某点...
§1.3.2函数的极值与导数.doc
§1.3.2函数的极值与导数 - 函数的极值与导数( 课时) 极值与导数 §3.3.2 函数的极值与导数(2 课时) 教学目标: 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够...
1.3.2函数的极值与导数(第一课时)_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数(一课时)_数学_高中教育_教育专区。高三18选6内容:函数的极值与导数(第一课时) 观察函数f(x)图像,回答下列问题问题:f ' ? a ? ...
...1课时提升作业(二十三) 3.3.2 函数的极值与导数 探....doc
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(二十三) 3.3.2 函数的极值与导数 探究导学课型 Word版含答案 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标...
1.3.2函数的极值与导数(第一课时)_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数(一课时)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1.3....3.(1) 如图,y=f(x)在c、d等点的函 数值与这些点附近的函数值有什么 ...
...导数及其应用3.2导数的应用课时2导数与函数的极值、....doc
2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时2导数与函数的极值...?=- 2- +1. a a ?a? 命题点 3 已知极值求参数 例 3 (1)已知 f(x...
...1课时提升作业 二十三 3.3.2 函数的极值与导数 精讲....doc
人教a版高中数学选修1-1课时提升作业 二十三 3.3.2 函数的极值与导数
更多相关文章: