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1.3.2函数的极值与导数(1课时)


1.3.2 函数的极值 与导数

一、知识回顾:
函数的导数与单调性:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 (a,b)内有导数,如果在 这个区间内f '(x)>0 ,那么函 数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x)<0那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

求函数单调区间的步骤
第1步:求函数的导函数;
第2步:求导函数的零点(如果导函数在定义 域上非正或非负,直接判断增减);

第3步:用导函数的零点将函数的定义域分 成若干个区间(导函数不存在的点也要作为 划分区间的端点考察);
第4步:通过导函数在各个区 间的符号确定函数单调区间.

特别注意:原函数的定义域

关注用导数本质及其几何意义解决问题 高度最大,那么函数 h(t)在此点的导数是多少 呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数 的符号有什么变化规律?

思考1: 观察下图,当t=t0时,运动员距水面的

问题2:我们知道正弦函数的五点作图法是利用

关注用导数本质及其几 2 求导 y? ? 6x ?12x ? 6x( x ? 2)并确定单调区间。 何意义解决问题
x (-∞,0) 0
y’ y +


函数的五个关键点作出图形的,利用图象的关键点 与导数的关系,你能作出函数 y ? 2 x3 ? 6 x2 ? 7 的 图象吗?
(2,+∞)
+


(0,2)


2
0 -1

0 7

确定图象的关键点: (0,7),(2,-1)

画函数的草图。
上述作图中,图象的关键点十分重要,这些关键点与 函数的导数有何联系?我们将进行研究

二、新课——函数的极值:

探索思考:
如图:

y

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a
a

X1

X2

X3

X4

b

x

函数f ( x )在x1、x2、x3、x4等关键点处的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系?
y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?

探索思考:f ( x )
4

如图:

f ( x1 )

o

a
a

X1

X2

X3

X4

b

x

以X1 ,X2两点为例:函数在X1 处的函数值比它 附近所有各点的函数值都大, f''(X1)=0,而且在 X=X1的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0; 函数在 X2处的函数值比它附近所有各点的函数值 都小, f '(X2)=0,而且在 X=X2的左侧f '(x)<0,右 侧f '(x)>0. 我们把点X1叫做y=f(x)的极大值点,f (X1)叫函数y=f(x) 的极大值;点 X2叫做y=f(x)的极小值点,f (X2)叫函数 y=f(x)的极小值;

y

极值点与附近函数值、导数值的关系: y
f ?( x0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0
o a

f ?( x ) ? 0

f ?( x) ? 0
f ?( x0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0
x

X0

0

b

x

o

a

X0

b

如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 f ?( x) ? 0 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
f ?( x ) ? 0.

同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的 左侧附近f(x)只能是减函数,即 f ?( x ) ? 0 ;在x0的右侧附近 只能是增函数,即f ?( x ) ? 0 .

从而我们得出结论:对于可导函数,若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极 值点,f(x0)是极值,并且: (1)如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是 f(x)的极大值点,f(x0)是极大值; (2)如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统 称为极值.
从曲线的切线角度看,可导函数的图象在极值点处 切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧 为正.

三、例题选讲: 1 3 (课本P 28)例4. 求函数y ? x ? 4 x ? 4的极值 3 2
解: y? ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2). 令 y? ? 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘

2 0 极小值-4/3

(2,+∞) + ↗

因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.

练习1 2 求函f ( x ) ? x 3 的极值。

当x变化时,y?, y的变化情况如下:
x y’ y ↘ (-∞,0) 0 不存在 极小值0 (0,+∞) + ↗

2 2 解:f ?( x ) ? x = 3 3 3 x
?

1 3

练习2
f ( x) ? x 有极值点吗?
3

解:f ?( x ) ? 3 x 2 ? 0

当x变化时,y?, y的 变化情况如下:
x y’ (-∞,0) + 0 0 (0,+∞) +

y



0



四.探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极 值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但 它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧 的导数都大于零. 因此可导函数的导数为零的点仅是该点为极值 点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异 号. 对一般函数,导数为零的是该点为极值点的既不必 要也不充分条件.

一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:

(1):如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 右侧 f/(x)<0 , 那么f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)<0 右侧 f/(x)>0 , 那么f(x0)是极小值.

注意:极值可能在函数不可导的点取到. 2 如: f ( x ) ? x 3 在x ? 0有极小值。

a2 补充例题1:求函数f ( x) ? x ? (a ? 0)的极值。 x
解:函数的定义域为(? ?,0) ? (0,? ?),
a 2 ( x ? a )( x ? a ) f ?( x ) ? 1 ? 2 ? . 2 x x 令 f ?( x ) ? 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).

当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f(x) (-∞,-a) + ↗ -a 0 极大值-2a (-a,0) (0,a) ↘ a 0 (a,+∞) + ↗

↘ 极小值2a

故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.(注:利用奇函数求更易) 思考:函数的极大值一定大于极小值吗?

补充例题2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极 值为10,求 a、b的值. 解: f ?( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
? a?4 ?a ? ?3 . 由①、②解得 ? 或? ?b ? ?11 ? b ? 3 2 当a=-3,b=3时, f ?( x) ? 3( x ? 1) ? 0 ,此时f(x)在x=1处无

又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②

极值,不合题意.
2 ? f ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 11 ? (3 x ? 11)( x ? 1). 当a=4,b=-11时,

-3/11<x<1时, f ?( x ) ? 0 ;x>1时, f ?( x ) ? 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.

6x 练习3:求函数 y ? 1 ? x 2 的极值.

6(1 ? x 2 ) . 解: y ? ? 2 2 (1 ? x ) 令 y? =0,解得x1=-1,x2=1.

当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极大值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极小值3 (2,+∞) ↘

因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.

练习2
求下列函数的极值点:
1. f ( x ) ? x
2 3

2. f ( x ) ? sin x (x ? (0,2? ))
? x 3 ? 1 (x ? 0) ? 3. f ( x ) ? ? 1 x (x ? 0) ?( ) ? 2

补充例4:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值 为-1,求a、b的值. (2)若 x ? [0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线 斜率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 . 2 ? f ( x ) ? ? 3 x ? 2ax ? 0得x=0或x=2a/3. 解:(1)由 故4a/3=4, a=6. 由于当x<0时, f ?( x ) ? 0,当x>0时, f ?( x ) ? 0. 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 x ? [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)= ] 3x2-2ax-1≤0对一切 x ? [0,1恒成立 . 由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1. 1] 反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 x ? [0, 恒成立 .
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.

解法2:分离变量也可通过函数值域求出a的范围. (2)等价于当 x ? [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即 2ax≥3x2-1恒成立,显然当x=0时,不等式恒成立

3 1 h( x ) ? x ? 在 ? 0, 1? 上增 2 2x 3 1 a ? h( x )max ? ? = 1 2 2 1] 反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 x ? [0, 恒成立 .
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.

3 1 x? 当 0 ? x ? 1 时,不等式化为 a ? 2 2x 3 1 3 1 令 h( x ) ? x? , h?( x ) ? ? ? 0, 2 2 2x 2 2x

作业
? P31-32: 5.做在作业本上

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