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4导数的计算与函数的单调性


导数的计算与函数的单调性
一、知识归纳 1、基本初等函数求导公式 (1) (3) (5) (7)
(C )? ? 0

(2) (4) (6) (8)

( x ? )? ? ?x ? ?1
(e x )? ? e x
(ln x ) ? ? 1 x,

(a x )? ? a x ln a
(log a x)? ? 1 x ln a

(sin x)? ? cos x

(cos x)? ? ? sin x

2、函数的和、差、积、商的求导法则 设 u ? u ( x) , v ? v( x) 都可导,则
(u ? v)? ? u ? ? v? (uv)? ? u ?v ? uv? (Cu)? ? Cu ? ( C 是常数)
? u ?v ? uv ? ?u? ? ? ? v2 ?v?

(1) (3)

(2) (4)

3、复合函数的求导法则 定理: 设函数y=f(u),u=?(x)均可导,则复合函数 y = f(? (x)) 也可导.

? ? x x ? yu ? u x,或 则 y? 4、函数的单调性与导数的关系

y? ? f ?(u ) ? ? ?( x).

如果在区间(a,b)内, f ?( x) >0 恒成立, 则函数在此区间是增函数, (a,b)为 f(x)的单调增区间; 如果在(a,b)内, f ?( x) <0 恒成立,则函数在此区间是减函数,(a,b)是 f(x)的单调减区间. 求函数 f(x)单调区间的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域;(2)求 f(x)的导数 f ?( x) ; (3)解不等式 f ?( x) >0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ?( x) <0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 二、例题选讲 例 1、求下列各函数的导数 (1) y ? e x ln x (3) y ? x e
2 ax

(2) y ?

ln x ? 2x x?1

(4) f ( x) ? e3 x ?1 cos(2? x ? ). 3

?

(5) f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

三、巩固练习
1、求下列函数的导数 (1) y ? 3 x 2 ? x sin x (3) y ? x (ln x ? sin x)
2

(2) y ? sin2 ( 2 x ? ? )
3

(4) y ?

1 2x ?1

2、 求曲线f ( x) ?

1? x ? 2 x ln x在点( 1, 0)处的切线方程. 1? x

3、已知函数y ? ax3 ? x是减函数,求a的取值范围.

4、求下列函数的单调区间 ln x (1) f ( x) ? (2) f ( x) ? ? x ? 1? e x ? x 2 x

(3) f ( x) ?

1? x x e 1 ? x2


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