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4导数的计算与函数的单调性
导数的计算与函数的单调性
一、知识归纳 1、基本初等函数求导公式 (1) (3) (5) (7)
(C )? ? 0
(2) (4) (6) (8)
( x ? )? ? ?x ? ?1
(e x )? ? e x
(ln x ) ? ? 1 x，
(a x )? ? a x ln a
(log a x)? ? 1 x ln a
(sin x)? ? cos x
(cos x)? ? ? sin x
2、函数的和、差、积、商的求导法则 设 u ? u ( x) ， v ? v( x) 都可导，则
(u ? v)? ? u ? ? v? (uv)? ? u ?v ? uv? (Cu)? ? Cu ? （ C 是常数）
? u ?v ? uv ? ?u? ? ? ? v2 ?v?
（1） （3）
（2） （4）
3、复合函数的求导法则 定理： 设函数y=f(u)，u=?(x)均可导，则复合函数 y = f(? (x)) 也可导.
? ? x x ? yu ? u x，或 则 y? 4、函数的单调性与导数的关系
y? ? f ?(u ) ? ? ?( x).
如果在区间(a,b)内， f ?( x) >0 恒成立， 则函数在此区间是增函数， (a,b)为 f(x)的单调增区间； 如果在(a,b)内， f ?( x) <0 恒成立，则函数在此区间是减函数，(a,b)是 f(x)的单调减区间. 求函数 f(x)单调区间的步骤: （1）确定函数 f(x)的定义域；（2）求 f(x)的导数 f ?( x) ； （3）解不等式 f ?( x) >0 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 f ?( x) <0 ，解集在定义域内的部分为减区间． 二、例题选讲 例 1、求下列各函数的导数 （1） y ? e x ln x （3） y ? x e
2 ax
（2） y ?
ln x ? 2x x?1
(4) f ( x) ? e3 x ?1 cos(2? x ? ). 3
?
(5) f ( x) ? ln x ? ax ?
1? a ? 1(a ? R) x
三、巩固练习
1、求下列函数的导数 （1） y ? 3 x 2 ? x sin x （3） y ? x (ln x ? sin x)
2
（2） y ? sin2 ( 2 x ? ? )
3
（4） y ?
1 2x ?1
2、 求曲线f ( x) ?
1? x ? 2 x ln x在点（ 1, 0）处的切线方程. 1? x
3、已知函数y ? ax3 ? x是减函数，求a的取值范围.
4、求下列函数的单调区间 ln x (1) f ( x) ? (2) f ( x) ? ? x ? 1? e x ? x 2 x
(3) f ( x) ?
1? x x e 1 ? x2
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