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方程的根与函数零点


方程的根与函数的零点
(第一课时)

执教人:朱丽丽

(一)走进新课堂

【方程的根与相应函数的零点及图象之间的关系】
1.填写下表,并观察一元二次方程的根与相应二次函数的 图象之间有什么关系?
一元二次方程 方程的根 二次函数 函数图象
y
4 3 2 1 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

图象与 x 轴的 交点坐标

x2 ? 2 x ? 3 ? 0
x 2 ? 2 x ? 3 ? 0有根

x1 ? ?1 x2 ? 3

y ? x2 ? 2 x ? 3

x

( ?1, 0), (3, 0)

? 相应函数 y ? x2 ? 2 x ? 3的图象与 x轴有交点,且方程的根
y

就是相应函数图象与 x轴交点的横坐标.

x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 x1 ? x2 ? 1

y ? x2 ? 2 x ? 1
-1 0

2 1 1 2 3

(1, 0)
x

y
3

x ? 2x ? 3 ? 0
2

2

无实根

y ? x ? 2x ? 3
2
-1 0

1 1 2 3

无交点
x

2.观察下表,将以上几个具体的一元二次方程和相应二次函数的关 系推广到一般的一元二次方程和二次函数,你能得到怎样的结论?

??0
方程 ax 2 ? bx

??0
x1 ? x2
y

??0
无实数根
y

? c ? 0(a ? 0)
二次函数

实数根

x ? x1或 x ? x2
y

y ? ax ? bx ? c
2

图 象

0

x

0

x

0

x

(a ? 0)

与 x 轴的 交点坐标

( x1 ,0) ( x2 ,0)

( x1 ,0)

无交点

一元二次方程有实根 ? 相应二次函数的图象与 x 轴有交点. 且一元二次方程的根就是相应函数图象与 x轴交点的横坐标 方程 f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点,且 方程 f ( x) ? 0的根就是函数 y ? f ( x) 的图象与 x轴交点的横坐标.

4.函数零点的概念
对于函数 y ?
f ( x),我们把使 f ( x) ? 0的实数

x 叫做

函数 y ? f ( x)的零点. 思考:函数的零点是点吗? 5.方程的根、相应函数的零点及图象间的关系

方程

f ( x) ? 0 有实数根

? 函数 y ? ?函数 y ?

f ( x)的图象与轴有交点; f ( x)有零点.

例题解析

?

【例1】求函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5的零点.
解:函数的零点为 ?1,5 对于ln x ? 2x ? 6 ? 0 这样不能用公式法求解的方 程,如何求解呢? 转化为求相应函数的零点

【探究函数零点的存在性定理】
1.观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3的图象,我们发现函数 在区间 [?2,1]上有零点.计算f (?2) 与 有这种特点?
y
4 3 2 1 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

f (1) 的乘积,你能

发现这个乘积有什么特点?在区间[2,4]上是否也具
f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3

函数在[?2,1]上 图象连续不断
f (?2) ? f (1) ? 0
x

3.函数零点的存在性定理
一般地,如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是 连续不断 的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b)内有零点,即存在c ? (a, b)使得 f ( x) ? 0, c也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 如果在区间 [a, b]上函数图象不是一条连续的 曲线,定理还成立吗?若不成立,举出反例. 如果函数在区间 [a, b]上的图象连续不断,且在 ( a, b) 上有零点,一定有 f (a) ? f (b) ? 0 成立吗?若 不一定,请举出反例.

【例2】 函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 有零点吗?
有几个零点?为什么?

另解: y ? ln x ? 2x ? 6有零点
ln x ? 2 x ? 6 ? 0有根 ln x ? ?2 x ? 6有根

? ? ?

g ( x) ? ln x与h( x) ? ?2 x ? 6的图象有交点

(四)当堂检测
1.求函数 y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4)的零点
解:?2, 1和4

? 趁热打铁

2 2 5 x ? 2 x ? 3 x ? 5有没 2.利用函数图象判断方程

有根,有几个根?

(三)小结与体会
1.掌握函数零点的概念;

2.理解方程的根、相应函数的零点及图象间的关系; 3.掌握函数的零点的存在性定理,并会判断函数是 否有零点及零点的个数; 4.掌握判断函数零点存在的方法; 5.体会数形结合、从具体到一般、函数与方程及转 化的数学思想.

(五)作业布置
1.课本88页 练习1(1)(2)(3)、练习2

2.思考:我们已经判断出函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 在
内有唯一的零点,如何求出这个零点呢? (2,3)

谢谢大家!

3.函数f ( x) ? log3 x ? x ? 3的零点所在的大致区 间是( C ) A (0,1) B (1,2) C(2,3) D (3,4)


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