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2017-2018年高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质练习新人教A版必修5课件


2.4

第 2 课时

等比数列的性质

A 级 基础巩固 一、选择题 1. 2+1 与 2-1,两数的等比中项是( 1 A.1 B.-1 C.±1 D. 2 解析:设等比中项为 b,则 b =( 2+1)·( 2-1)=1,所以 b=±1. 答案:C 2.在等比数列{an}中,a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,则 a10+a11+a12 等于( A.32 B.16 C.12 解析: D.8 )
2

)

a4+a5+a6 3 4 =q = =2, a1+a2+a3 2
9 3 4

所以 a10+a11+a12=(a1+a2+a3)q =2·(2 )=2 =16. 答案:B 1 m 2 2 3.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列,则 等于 2 n ( ) A. C. 3 2 2 3 3 2 B. 或 2 3 D.以上都不对

1 1 9 2 解析:不妨设 是 x -mx+2=0 的根,则其另一根为 4,所以 m=4+ = , 2 2 2 对方程 x -nx+2=0,设其根为 x1,x2(x1<x2),则 x1x2=2, 1 所以等比数列为 ,x1,x2,4, 2 4 3 所以 q = =8,所以 q=2, 1 2 所以 x1=1,x2=2, 所以 n=x1+x2=1+2=3, 所以 = 答案:A 4.在 1 与 100 之间插入 n 个正数,使这 n+2 个数成等比数列,则插入的 n 个数的积为
2

m 9 3 = . n 2×3 2

1

(

) A.10
n

B.n

10

C.100

n

D.n

100

解析:设这 n+2 个数为 a1,a2,…,an+1,an+2,

n
答案:A

n
n

则 a2·a3·…·an+1=(a1an+2)2=(100)2=10 .

5.等比数列{an}中,an∈R ,a4·a5=32,则 log2a1+log2a2+…+log2a8 的值为( A.10 B.20 C.36 D.128

*

)

解析:log2a1+log2a2+…+log2a8= log2(a1·a2·a3·…·a8)= log2(a4a5) =4log232=20. 故选 B. 答案:B 二、填空题 6 . 等 比 数 列 {an} 中 , a1 < 0 , {an} 是 递 增 数 列 , 则 满 足 条 件 的 q 的 取 值 范 围 是 ______________. 解析:由 an+1>an? a1q >a1q 因为 a1<0, 所以 q <q
n n-1 n n-1
4



1? n? ? q ?1- ?<0 对任意正整数 n 都成立.

?

q?

1 所以 q>0 且 1- <0 解得:0<q<1.

q

答案:0<q<1 7. 在数列{an}中, 若 a1=1, an+1=2an+3(n≥1), 则该数列的通项 an=______________. 解析:由 a1=1,an+1=2an+3(n≥1), 所以 an+1+3=2(an+3)(n≥1), 即(an+3)是以 a1+3=4 为首项,2 为公比的等比数列,an+3=4·2 所以该数列的通项 an=2 答案:2
n+1 n+1 n-1

=2

n+1



-3.

-3
2

8.已知等比数列{an}为递增数列,且 a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公 式 an=________. 解析:因为{an}单调递增,所以 q>0, 又 a5=a10>0,所以 an>0,q>1, 由条件得 2?
2

? an +an+2?=5, ? ?an+1 an+1?
2

?1 ? 即 2? +q?=5, ?q ?
1 所以 q=2 或 q= (舍), 2 由 a5=a10 得(a1q ) =a1q , 所以 a1=q=2,故 an=2 . 答案:2
n n
2 4 2 9

三、解答题 9. 已知一个等比数列的首项为 1, 项数是偶数, 其奇数项的和为 85, 偶数项的和为 170, 求这个数列的公比和项数. 解:法一:设该数列的公比为 q,项数为 2n,则 S 偶=qS 奇? 所以 2 -1=255.所以 2n=8. 故这个数列的公比为 2,项数为 8. 法二:设该数列的公比为 q,项数为 2n,则
2n

a1(1-q2n) =85+170, 1-q

a1[1-(q2)n] S 奇= =85, 2 1-q a1q[1-(q2)n] S 偶= =170. 2 1-q
所以 n=4,q=2. 7 10.三个正数成等比数列,它们的和等于 21,倒数的和等于 ,求这三个数. 12 解:设三个数为 ,a,aq(a,q>0),

a q

a ? ?q+a+aq=21 由题? , q 1 1 7 + + = ? ?a a aq 12

?1 ? a? +1+q?=21 ? ? ?q ? 12 所以? ? a =21× =36, 7 1 1? 7 q+1+ ? = ? ? ? q? 12 ?a?
2

1 所以 a=6,q=2 或 , 2 所以三个数为 3,6,12 或 12,6,3.

B 级 能力提升
3

1.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24 解析:由题意知(3x+3) =x(6x+6),
2

)

即 x +4x+3=0,解得 x=-3 或 x=-1(舍去),所以等比数列的前 3 项是-3,-6, -12,则第四项为-24. 答案:A 1 2.等比数列{an}中,a1=317,q=- .记 f(n)=a1·a2·…·an,则当 f(n)最大时,n 2 的值为________.

2

n-1 1 ? 1? 解析:由于 an=317×?- ? ,易知 a9=317× >1,a10<0,0<a11<1,又 a1a2… 256 ? 2? a9>0,故 f(9)=a1a2…a9 值最大,此时 n=9.
答案:9 3.容器 A 中盛有浓度为 a%的农药 mL,容器 B 中盛有浓度为 b%的同种农药 mL,A,B 两 1 容器中农药的浓度差为 20%(a>b),先将 A 中农药的 倒入 B 中,混合均匀后,再由 B 倒入 4 一部分到 A 中,恰好使 A 中保持 mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度 差小于 1%? 解:设第 n 次操作后,A 中农药的浓度为 an,B 中农药的浓度为 bn,则 a0=a%,b0=b%.

b1= (a0+4b0),a1= a0+ b1= (4a0+b0); b2= (a1+4b1),a2= a1+ b2= (4a1+b1);…; bn= (an-1+4bn-1). an= (4an-1+bn-1),
3 所以 an-bn= (an-1-bn-1)=…= 5 1 5 1 5 1 5 3 4 1 4 1 5

1 5

3 4

1 4

1 5

n-1 3 ?3? (a0-b0)·? ? . 5 ?5?
1 因为 a0-b0= , 5 1 ?3?n 所以 an-bn= ·? ? . 5 ?5? 1 ?3?n * 依题意知 ·? ? <1%,n∈N ,解得 n≥6. 5 ?5?
4

故至少经过 6 次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于 1%.

5


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