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【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2:课时跟踪检测(十六)反证法-

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课时跟踪检测(十六) 反证法
层级一 学业水平达标 1.用反证法证明命题:“若直线 AB,CD 是异面直线,则直线 AC,BD 也是异面直 线”的过程归纳为以下三个步骤: ①则 A,B,C,D 四点共面,所以 AB,CD 共面,这与 AB,CD 是异面直线矛盾;② 所以假设错误,即直线 AC,BD 也是异面直线;③假设直线 AC,BD 是共面直线. 则正确的序号顺序为( A.①②③ C.①③② ) B.③①② D.②③①

解析:选 B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②. 2.用反证法证明命题“如果 a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为( A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a,b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 解析:选 B “至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b 都不能被 5 整除”, 故选 B. 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是( A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角 D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 解析:选 B 个”. 4.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 ) “至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两 ) )

解析:选 C 假设 c∥b,而由 c∥a,可得 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c 与 b 不可 能是平行直线,故应选 C. 5.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )

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A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 B ∵c>d,∴-c<-d,a>b,∴a-c 与 b-d 的大小无法比较.可采用反 证法,当 a-c>b-d 成立时,假设 a≤b,∵-c<-d,∴a-c<b-d,与题设矛盾,∴a >b.综上可知,“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分条件. 6.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设是________. 答案:自然数 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 7 .命题“a , b∈R ,若 |a - 1| + |b - 1| = 0 ,则 a = b = 1”用反证法证明时应假设为 ________. 解析:“a=b=1”的反面是“a≠1 或 b≠1”,所以设为 a≠1 或 b≠1. 答案:a≠1 或 b≠1 8.和两条异面直线 AB,CD 都相交的两条直线 AC,BD 的位置关系是____________. 解析:假设 AC 与 BD 共面于平面 α,则 A,C,B,D 都在平面 α 内,∴AB?α,CD ?α,这与 AB,CD 异面相矛盾,故 AC 与 BD 异面. 答案:异面 9.求证:1, 3,2 不能为同一等差数列的三项. 证明:假设 1, 3,2 是某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为 d, 则 1= 3-md,2= 3+nd,其中 m,n 为两个正整数, 由上面两式消去 d,得 n+2m= 3(n+m). 因为 n+2m 为有理数,而 3(n+m)为无理数, 所以 n+2m≠ 3(n+m),矛盾,因此假设不成立, 即 1, 3,2 不能为同一等差数列的三项. 10.已知函数 f(x)在 R 上是增函数,a,b∈R. (1)求证:如果 a+b≥0,那么 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立?并证明你的结论. 解:(1)证明:当 a+b≥0 时,a≥-b 且 b≥-a. ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
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(2)(1)中命题的逆命题为“如果 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),那么 a+b≥0”,此命题成 立. 用反证法证明如下: 假设 a+b<0,则 a<-b,∴f(a)<f(-b). 同理可得 f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,故假设不成立, ∴a+b≥0 成立,即(1)中命题的逆命题成立. 层级二 应试能力达标

1.用反证法证明命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)有且只有一个解”时,反设是关于 x 的方程 ax=b(a≠0)( A.无解 C.至少有两解 ) B.有两解 D.无解或至少有两解

解析:选 D “唯一”的否定是“至少两解或无解”. 2.下列四个命题中错误的是( )

A.在△ABC 中,若∠A=90°,则∠B 一定是锐角 B. 17, 13, 11不可能成等差数列 C.在△ABC 中,若 a>b>c,则∠C>60° D.若 n 为整数且 n2 为偶数,则 n 是偶数 解析:选 C 显然 A、B、D 命题均真,C 项中若 a>b>c,则∠A>∠B>∠C,若∠C >60°,则∠A>60°,∠B>60°,∴∠A+∠B+∠C>180°与∠A+∠B+∠C=180° 矛盾,故选 C. 1 1 1 3.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+b,b+c ,c+a( A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 1? ? 1? ? 1? 1 1 1 解析:选 C 假设都大于-2,则 a+b+b+c +c+a>-6,但? ?a+b?+?b+c?+?c+a? 1? ? 1? ? 1? =? ?a+a?+?b+b?+?c+c?≤-2+(-2)+(-2)=-6,矛盾. )

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4.若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是 ( ) A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

解析:选 B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线 AD(点 D 在 BC 上), 则∠ADB+∠ADC=π, 若∠ADB 为钝角, 则∠ADC 为锐角. 而∠ADC>∠BAD, ∠ADC >∠ABD,△ABD 与△ACD 不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC= π 时,才符合题意. 2 5.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为 an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数,且 a> b),那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个. 解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在 n 使得 an=bn,由题意 a>b,n∈N*, 则恒有 an>bn,从而 an+2>bn+1 恒成立,所以不存在 n 使 an=bn. 答案:0 6.完成反证法证题的全过程.设 a1,a2,…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列,求证:乘 积 p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明:假设 p 为奇数,则 a1-1,a2-2,…,a7-7 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇 数,故有 奇数=________=________=0. 但 0≠奇数,这一矛盾说明 p 为偶数. 解析:据题目要求及解题步骤, ∵a1-1,a2-2,…,a7-7 均为奇数, ∴(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数. 即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数. 又∵a1,a2,…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列, ∴a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为 0, 所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0. 答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)

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1 7.已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于 . 4 1 证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于 . 4 因为 0<a<1,0<b<1,0<c<1, 所以 1-a>0.由基本不等式, 得 (1-a)+b ≥ 2 (1-a)b> 1 1 = . 4 2

(1-b)+c 1 (1-c)+a 1 同理, > , > . 2 2 2 2 将这三个不等式两边分别相加,得 (1-a)+b (1-b)+c (1-c)+a 1 1 1 + + > + + , 2 2 2 2 2 2 3 3 即 > ,这是不成立的, 2 2 1 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于 . 4

1 3(1+an+1) 2(1+an) 8.已知数列{an}满足:a1= , = ,anan+1<0(n≥1);数列{bn}满足: 2 1-an 1-an+1
2 bn=a2 n+1-an(n≥1).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 2 2 解:(1)由题意可知,1-a2 n+1= (1-an). 3 2 令 cn=1-a2 n,则 cn+1= cn. 3 3 3 2 3 ?2?n-1 又 c1=1-a2 , 1= ,则数列{cn}是首项为 c1= ,公比为 的等比数列,即 cn= ·3 4 4 3 4? ? 3 ?2?n-1 3 ?2?n-1 2 2 故 1-an = · ?an =1- · . 4 ?3? 4 ?3? 1 又 a1= >0,anan+1<0, 2 故 an=(-1)n-1 3 ?2?n-1 1- · . 4 ?3?

2 2 ? 3 ?2?n?-1-3· ?2?n-1=1· ?2?n-1. bn=an +1 -an= 1- · ? 4 ?3? ? 4 ?3? 4 ?3?

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(2)用反证法证明. 假设数列{bn}存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项 1 2 为 ,公比为 的等比数列,于是有 br>bs>bt,则只可能有 2bs=br+bt 成立. 4 3 1 ?2?s-1 1 ?2?r-1 1 ?2?t-1 ∴2· · = · + · , 4 ?3? 4 ?3? 4 ?3? 两边同乘以 3t-121-r,化简得 3t-r+2t-r=2· 2s-r3t-s. 由于 r<s<t,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数 列{bn}中任意三项不可能成等差数列.

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