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2019年-WJF8-1微分方程的基本概念-PPT精选文档_图文

8.1 微分方程的基本概念
问题的提出 微分方程基本概念 微分方程的解 小结 思考题

一、问题的提出

例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x, y)

处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程.

解 设所求曲y线 ?y(为 x)

dy ? 2 x dx

其 x? 中 1 时 ,y? 2

y??2xdx 即 y?x2?C,

代 x? 入 1 ,y?2 ,

求C 得 ?1,

所求曲线方程为 y?x2 ?1.

例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制

动时列车获得加速度? 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间

列车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多远?

解 设制 t秒 动 钟 s米 后 ,s行 ? s (t)驶

d2s dt2 ? ?0.4

t?0时 ,s?0,v?d? s2,0 dt

ds v?dt??0.4t?C1

s? ? 0 .2 t2? C 1 t? C 2

代入条件后知 C 1? 2,0 C 2? 0

v?ds??0.4t?20 , s?? 0.2t2?2t0 ,

dt 开始制动到列车完全停住共需

t ?20?50(秒),

列车在这段时间内行驶了

0.4

s ? ? 0 .2 ? 5 2 ? 0 2 ? 5 0 ? 5 0( 米 0 )0 .

二、微分方程的定义
一般的,表示自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分) 的关系式,称为微分方程。在微分方程中,
自变量的个数只有一个,称这种为常微分方程;
自变量的个数为两个以上,称这种为偏微分方程。
如 y??xy, y ??? 2 y ?? 3 y? ex, (t2?x)d? txd?x 0 ?z ? x ? y, ?x
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶 导数的阶数称为微分方程的阶。
一阶微分方程 F (x ,y,y ?)?0 ,y??f(x,y); n阶微分方程 F (x ,y ,y ?,? ,y (n ))? 0 ,
y (n )? f(x ,y ,y ?,? ,y (n ? 1 )).

三、微分方程的解

微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的 函数称为微分方程的解.
如 例 1 中y? , x2?C 是 d? y2x的解; dx
例 2 中 s ? ? 0 , .2 t2 ? C 1 t? C 2 是dd2t2s ??0.4的解, 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与

微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解。

确定了通解中任意常数以后的解,称为微分方程的特解。

用来确定任意常数的条件,称为初始条件。

一阶:

?y? ? f (x, y)

? ?

y

x?

x0

?

y0

二阶:

?y???f(x,y,y?) ??yx?x0 ?y0,y?x?x0 ?y0?

如例 1中y, ?x2?1是 ? ? ?d dx y?2x 的解;

? ?yx?1?2

即 y?x2?1是 d? y2x满足 y条 ?2的 件一个

dx

x?1

而 y?x2?C是方 dy ?程 2x的通解。

dx



2中,s?? 0 .2 t2? C 1 t? C 2是

方d程 2s??0.4的通 dt2

解,

s?? 0.2t2?2t0 ,是方dd程 2t2s??0.4

在条s 件 ?0, ds ?2下 0 的一个 . 特解

t?0

dtt?0

例 3 验证:函数 x ? C1 cos kt ? C2 sin kt 是微分方



d2x dt 2

?

k2x

?

0





.

并求满足初始条件

x ? A, dx ? 0的特解.

t?0

dt t?0

解 ? d d? x t? k1 C sikn ? tk2 C co k,s t

d d 2x 2t?? k2 C 1co k? s tk2 C 2sikn ,t

将dd2tx2 和x的表达式代入原, 方程

? k 2 ( C 1 c k ? C o 2 s t k ) ? s i k 2 ( C n t 1 c k ? C o 2 s t k ) ? s i 0 .

故 x?C 1co k? s tC 2sikn 是 t 原方 . 程

?x ?A, dx ?0,

t?0

dtt?0

? C 1? A , C 2? 0 .

所求特解为 x?A ck o.s t

小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解:通解,特解 初始条件

思考题
同为微分方程的解,特解和通解有何不同?
思考题解答
特解和通解都是微分方程的解,但是通解中包含有 任意常数,而特解是确定了任意常数以后的解。


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