江苏省海头高级中学高一数学课件1.2.1 平面的基本性质(2) 必修二_图文

高中数学 必修2 复习回顾： 空间点、直线和平面的位置关系 位置关系 点与直线 点与平面 直线与直线 (平面内) 直线与平面 zx```xk 图形语言 符号语言 A?l A?l A?? A?? l1∩l2=A l1∥l2 l∩?＝P AB∥? AB?? ?∩? =l ?∥ ? 平面与平面 点A在直线l上 点A不在直线l上 点A在平面?内 点A不在平面?内 直线l1与直线l2相交 直线l1与直线l2平行 直线l与平面?交于P点 直线AB与平面?平行 直线AB在平面?内 平面?与平面?相交 平面?与平面?平行 略 复习回顾： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点 公理1： 都在这个平面内． 用符号语言可表示为 A?? A?l B?l B?? ? AB?? 或表示为 A?? B?? ? l??． 公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过此公共点的一条直线 . 符号表示：P??，P?? ? ?∩?＝l，P?l . 公理2常用于： (1)找两平面的交线； (2)判定三点共线与三线共点问题 公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2 可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定 一个平面呢？ 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 已知：直线l，点A?l(如图)． 求证：过直线l和点A有且只有一个平面． 证明： 经过不共线三点A，B，C有一个平面?． 因为B ??，C??，所以根据公理1，l??， 即平面?经过直线l和点A．因为B，C直线l上， 所以经过直线l和点A的平面一定经过A，B，C． C B l ? A 在直线l上任取两点B，C．因为点A不在直线l上，根据公理3， 根据公理3，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个， 所以经过直线l和点A的平面只有一个． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 推论1的另一种证明： 存在性 在直线l上任取两点A，B． ∵P?l ∴经过A，B，P有一个平面． ∵A?l，B ? l，A ? ?，B ? ?， ∴l??． 故过直线l和点A有一个平面?． 惟一性 假设过直线l和点A还有一个平面?． ∴A ? ?，B ? ?，P ? ?， 又 A ? ?， B ? ?， P ? ?， 与过不共线三点确定一个平面矛盾． 故结论成立． 推论2的证明： 在直线l上任取一点A异于点P． ∴直线m和点A确定一个平面?． 又l∩m＝P， ∴P ? l，又A ? l， ∴P ? ? ， A ? ? ， ∴l??． 故直线l，m确定一个平面． 推论3证明： 存在性 ∵l∥n， ∴经过l，n有一个平面?． 惟一性 假设过直线l，n还有一个平面?． 在直线l上任取一点A． ∵A ? l，l??． ∴ A ? ?，n?? ， 同理A ? ?，n??． 与直线及其外一点确定一个平面矛盾． 故结论成立． 小结： 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据， 也是判定四点共面或三线共面的重要依据． 例1：已知A ? l，B ? l，C ? l，D?l．求证：直线AD，BD，CD共面． D A 证明： B C l ? 因为D?l，所以l与D可以确定平面?(推论1)． 因为A?l，所以A ??，又D??，所以AD??(公理1)． 同理BD??，CD??， 所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面． 变式：求证：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内． 例2．如图，若直线l与四边形ABCD的三条边 AB，AD，CD分别交于点 E，F，G．求证：四边形ABCD为平面四边形． l C G D B F A E 例3．已知a??，b??，a∩b＝A，P ? a，PQ∥b． 求证：PQ??． A P a b ? Q 练习： 1．判断下列命题是否正确． ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面. ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过一点的三条直线确定一个平面． ④平面和平面交于不共线的三点A，B，C. 2．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下列结论成立的是______． ①四点中必有三点共线． ②四点中必有三点不共线． ③AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行． ④直线AB与CD必相交． 3．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点 在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的 四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________ ． 4．直线l1∥l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确______个 平面． 5．已知a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B，求证：a，b，l三条直线共面． 小结： 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据， 也是判定四点共面或三线共面的重要依据， 判定四点共面或三线共面的问题，应先确定一个平面， 再判定要证明的元素(四点或三线) 都在所确定的平面内． 作业： 课本31页习题1.2（1）第4，5题．