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江苏省海头高级中学高一数学课件1.2.1 平面的基本性质(2) 必修二


高中数学 必修2 复习回顾: 空间点、直线和平面的位置关系 位置关系 点与直线 点与平面 直线与直线 (平面内) 直线与平面 zx```xk 图形语言 符号语言 A?l A?l A?? A?? l1∩l2=A l1∥l2 l∩?=P AB∥? AB?? ?∩? =l ?∥ ? 平面与平面 点A在直线l上 点A不在直线l上 点A在平面?内 点A不在平面?内 直线l1与直线l2相交 直线l1与直线l2平行 直线l与平面?交于P点 直线AB与平面?平行 直线AB在平面?内 平面?与平面?相交 平面?与平面?平行 略 复习回顾: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点 公理1: 都在这个平面内. 用符号语言可表示为 A?? A?l B?l B?? ? AB?? 或表示为 A?? B?? ? l??. 公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公 共点的集合是经过此公共点的一条直线 . 符号表示:P??,P?? ? ?∩?=l,P?l . 公理2常用于: (1)找两平面的交线; (2)判定三点共线与三线共点问题 公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系,公理2 可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系,如何确定 一个平面呢? 公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 已知:直线l,点A?l(如图). 求证:过直线l和点A有且只有一个平面. 证明: 经过不共线三点A,B,C有一个平面?. 因为B ??,C??,所以根据公理1,l??, 即平面?经过直线l和点A.因为B,C直线l上, 所以经过直线l和点A的平面一定经过A,B,C. C B l ? A 在直线l上任取两点B,C.因为点A不在直线l上,根据公理3, 根据公理3,经过不共线的三点A,B,C的平面有且只有一个, 所以经过直线l和点A的平面只有一个. 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 推论1的另一种证明: 存在性 在直线l上任取两点A,B. ∵P?l ∴经过A,B,P有一个平面. ∵A?l,B ? l,A ? ?,B ? ?, ∴l??. 故过直线l和点A有一个平面?. 惟一性 假设过直线l和点A还有一个平面?. ∴A ? ?,B ? ?,P ? ?, 又 A ? ?, B ? ?, P ? ?, 与过不共线三点确定一个平面矛盾. 故结论成立. 推论2的证明: 在直线l上任取一点A异于点P. ∴直线m和点A确定一个平面?. 又l∩m=P, ∴P ? l,又A ? l, ∴P ? ? , A ? ? , ∴l??. 故直线l,m确定一个平面. 推论3证明: 存在性 ∵l∥n, ∴经过l,n有一个平面?. 惟一性 假设过直线l,n还有一个平面?. 在直线l上任取一点A. ∵A ? l,l??. ∴ A ? ?,n?? , 同理A ? ?,n??. 与直线及其外一点确定一个平面矛盾. 故结论成立. 小结: 公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理3及其3个推论,是确定平面的重要依据, 也是判定四点共面或三线共面的重要依据. 例1:已知A ? l,B ? l,C

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