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点与直线、两直线的位置关系


? 3.1 点与直线的位置关系 ? 3.2 两直线的位置关系 ? 3.3 直角投影定理

? 小结

3.1 点与直线的位置关系
V

b′ c′ a′
C A

B

b′
b″ c ″W a″
X

Z

a′

c′
O

b″ c″ a″
Y

c b

b c

a H

a

Y

◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影 上。 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段 相同的比例。即: AC:CB=ac:cb=a?c?:c?b?=a?c?:c?b?
定比定理

判断点是否在直线上的方法。
① a? c?


b?




b

a?

c?



不在
b?

a



c

a

c



b

◆若直线为一般位置, 则只需观察两个投影即可判 断点是否在直线上上。 ◆若点的两个投影将线段的同名投影分割成与空 间线段相同的比例,则点必在直线上。

判断点是否在直线上的方法。

③ a? c? ● b? a c● b

a?


不在
b?

c?

另一判断法?

应用定比定理

a? c? ● b? a c● b

a?


a ′ c?


b ′

a″


b″

c? c? b?
a


O

c
b

判断点的投影是否在直线上一般只需观察 两个投影即可。但当直线是投影面的平行线, 且给出的投影又都平行于投影轴时:则需观察 第三个投影或应用定比定理。

例1:已知点K在线段AB上,求点K正面投影。
解法一: (应用第三投影)
a? k? b?


解法二: (应用定比定理)
a? a?


k?● b?

k? b?




b k● a

b k●

a

例2:已知AB的投影,C点将AB分成2:3两段,求C点的投影

b?
a?


c? b a


c

例3:已知AB的投影,试在该直线上取一点C点使得AC=15mm, 求C点的投影

15mm


b?
c?

a?

b a c


3.2 两直线的位置
空间两直线的相对位置分为: 平行、相交、交叉(异面)。 ⒈ 两直线平行
V
c? a ? C c d? A a b b? B D c?? d? b?

a?
O

X a
c b

d

H

d

空间两直线平行,则其各同名投影必相互平 行,反之亦然。

判断两条直线是否平行的方法
对于一般位置直线, 只要有两组同名投影互 相平行,空间两直线就 平行。


a?
c? a

b? d? a?

b?

d? c?

c
b

AB与CD平行。
d

判断两条直线是否平行的方法。
对于特殊位置直线, 若有两直线同时平行某 一投影面,则空间直线 不一定平行。还需检查 它们所平行的那个投影 面上的同名投影是否平 行。



c? a?

c? a? b? d?

d? c

b?
b

d

a

AB与CD不平行。

判断两条直线是否平行的方法。

a? c?

b?

d?



a(b)



对于垂直于同一个 投影面的两条直线,它 们互相平行,而在它们 垂直的那个投影面上积 聚为两点,两点的距离 反映它们在空间中的真 实距离。

c(d)

⒉ 两直线相交
V c? a? C A X a

k?
K

b? d? D O d B

交点是两直 线的共有点
b? c? a?

k?
d?

c

k

b

H

a
c k

d b

若空间两直线相交,则其同名投影必 相交,且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。

例1:过C点作水平线CD与AB相交。
b?
c?● a? k? d?

a c k


d b

先作正面投影

例2:判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′

相交吗? 不相交! 为什么? 交点不符 合空间一个点 的投影特性。 判断方法? ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影

a ′

d′

a

d b c

⒊ 两直线交叉
b′ c′ d ′ O a d c b V c′ a′ A a b′ d′ B D d c b H

a′
X

C

不相交! 为什么? 交点不符合一个 点的投影规律!

两直线相交吗?

b′ V 1′ 3(4 ′) ′ c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B a′ A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

c′
a′ X a

′ 3(4 ′)


1′
● ●

b′ d′ O

2′



4


d b

c

3 1(2)

b H



c

3 1(2)

投影特性:
★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其 可帮助判断两直线的空间位置。

3.3 直角投影定理及其应用
V

B C A

问题提出:若两直线都平行于 投影面,则两直线的夹角等于 两直线投影之间的夹角; a ′ 若相交两直线都不平行于 投影面,则两直线夹角不等于 两直线投影夹角。 b
H
a c

b′

c′

a

b

c

直角投影定理:若直角有一条边平行于某一投影面, 则此直角在该投影面上的投影仍为直角。

例1:已知直线BC和直线外一点A的两面投影, 求A点到直线BC的距离。


a?

距离

b?

c?



c


b

a

例2:已知等腰三角形ABC的腰为AB,它的 底在正平线BD上,求等腰三角形的投影。
a?
● ●

c?

b?

d?

d


c

b a


例3:试过定点A作直线垂直于已知直线EF。
f? a?



e?



e

a f

例4:已知两交叉直线AB、CD,其中CD为铅垂线, AB为一般位置直线,求两直线之间的距离。
c ′ a′ d ′ a 水平线 c(d) 公垂线


b′ 线段ck即两直线 之间的距离

k′

k

b

例5:已知线段AC为正方形ABCD的一对角线,另一 对角线BD为侧平线,试作正方形的投影。
AC实


a?
X

b?

c?

Z

b? a?
O

.

c? d?
Y

中点

d? b

a c
Y

d

小 结
重点掌握:

★两直线各种位置的投影特点, 熟练掌握直角投影定理

作业:A7-A9


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