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湖北省2009年3月高三数学一模试题分类汇编——概率统计


湖北省 2009 年 3 月高三各地市一模数学试题分类汇编
第 10 部分:概率统计
一、选择题: 9. (湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测理)某篮球选手每次投篮命中的概率为

1 , 2

各次投篮间相互独立,令此选手投篮 n 次的命中率为 an ( an 为进球数与 m 之比) ,则事件

a6 ?

1 1 , a n ? , n ? 1,2,3,4,5 ,发生的概率为(C) 2 2 1 3 5 A. B. C. 2 64 64
1 2? ?10
? ( x ? 80 ) 2 200

D.

1 16

5. (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成 绩服从正态分布 , 其密度函数为 f ( x) ? ( B ) A. B. C. D. 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 该市这次考试的数学成绩标准差为 10

?e

( x ? R) , 则下列命题中不正确的是

7 . ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) 袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个,蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随机抽取 10 个球作成一个样本,则这个 样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为(A) A.
1 2 3 4 C4 C8 C12C16 10 C40 2 1 3 4 C4 C8C12C16 10 C40 2 3 1 4 C4 C8 C12C16 10 C40 1 3 4 2 C4 C8 C12C16 10 C40

B.

C.

D.

8. ( 湖 北 省 孝 感 市 2009 届 高 三 3 月 统 考 理 ) 如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程

x2 ? 2 ? a ? 3? x ? b2 ? 9 ? 0 中, a 、 b 分别是两次投掷骰子所得的点数,则该二次方程有两个
正根的概率 P ? ( A )

? A?

1 18

? B?

1 9

?C ?

1 6

? D?

13 18

6.(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)要从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生组成课 外兴趣小组,如果按性别依比例分层随机抽样,则组成此课外兴趣小组的概率为( A )
4 C10 ? C52 A. 6 C15 3 3 C10 ? C5 B. 6 C15 6 C15 C. 6 A15 4 A10 ? A52 D. 6 C15

5. (湖北省八市2009年高三年级三月调考理)某一批袋装大米, 0.01)(单 质量服从正态分布 N(10, kg), Φ(2)=0.9772) 位: 任选一袋大米, 它的质量是9.8kg~10.2kg 内的概率为(已知 Φ(1)=0.8413, A.0.8413 B.0.9544 C.0.9772 D.0.6826 3. (湖北省沙市中学 2009 届高三三月月考试题)已知数组 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),

,( x10 , y10 ) 满足线

? ? bx ? a , 则 “ ( x0 , y0 ) 满 足 线 性 回 归 方 程 y ? ? bx ? a ” 是 性 回 归 方 程 y
“ x0 ?

x1 ? x2 ? ? x10 y ? y2 ? ? y10 , y0 ? 1 ”的 ( B) 10 10

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3 . ( 湖 北 省 宜 昌 市 2009 年 3 月 高 三 年 级 第 二 次 调 研 考 试 理 ) 已 知 数 组 ? ? bx ? a ,则“ ( x0 , y0 ) 满足线性回归方程 满足线性回归方程 y ( x1 , y1 ) , x (2 y , 2 ) , x, ( y ) 1 0 1, 0

? ? bx ? a ”是“ x0 ? y

x1 ? x2 ? ? x10 y ? y2 ? ? y10 , y0 ? 1 ”的 10 10

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? bx ? a 的 b 以后, 3.B. x0 , y0 为这 10 组数据的平均值,因为根据公式计算线性回归方程 y 再根据 a ? y ? bx ( x , y 为样本平均值)求得 a .因此 x , y 一定满足线性回归方程,但满 足线性回归方程的除了 x , y 外,可能还有其它样本点. 二、填空题: 12.(湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测文) 12.分别写有 a,a,g,g,g,h,n,n,u 的九张卡片随意排成一列,恰能拼成“黄冈”的汉语拼音 的概率是

1 15120

13. (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题) 用系统抽样的方法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 16 组抽出的号码为 126,则第 1 组中用系统抽样的方法确定的号码是 6 . 14. (湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理) 设三个正态分布 N ?1 ,? 12 ( ?1 ? 0 ) 、 N ?2 , ? 2 2

?

?

?

?

(?2 ? 0 ) 、 N ?3 ,? 32 ( ? 3 ? 0 )的密度函数图象 如图所示,则 ?1 、 ?2 、 ?3 按从小到大 的顺序排列 .... 是______________; ?1 、 ? 2 、 ? 3 按从小到大 的顺 .... 序排列是_____________. ?2 ? ?1 ? ?3 , ?1 ? ? 3 ? ? 2 三、解答题: 17.(湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测理)(本题满分 12 分) 四个大小相同的小球分别标有数字 1、1、2、2,把它们放在一个盒子中,从中任意摸出 两个小球,它们的标号分别为 x, y ,记= x ? y (1)求随机变量的分布列及数学期望; (2)设“函数 f ( x) ? x ? x ? 1 在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率。 17.解(1)随即变量的取值为 2、3、4.
2

?

?

从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为 C 4 ? 6 .
2

设四个小球分别为 1A ,1B ,2 A ,2 B

当 ? =2 时,摸出小球为 1 A ,1B 。 ? P (? 2) ?

当 ? =3 时,摸出的小球为 1 A 和 2 A 、 1A 和 2 B 、1 B 和 2 A 、 1B 和 2 B 共 4 种情况。 P( ? =3)=

1 ; 6

4 2 ? ; 6 3 ? P ( ? 4) ? 1 . 6
3 4

当 ? =4 时,摸出的小球为 2 A ,2 B.

? ? 的分布列为

?
P

2

1 6

2 3

1 6

1 2 1 ? E ? =2× +3× +4× =3 (6 分) 6 3 6 2 (2)? 函数 f ( x) ? x ? ? x ? 1 在区间(2,3)上有且只有一个零点。 3 8 ?3 ? 2 ? f (2) f (3) ? 0 。即 (3 ? 23)(8 ? 33) ? 0 ? ? 3 ? 2 3 1 1 ? P( A) ? P(3 ? 2) ? ? 事件 A发生的概率为 (12 分) 6 6
16. (湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测文) (本小题满分 12 分) (1)某课外兴趣小组的同学对 ?a ? b ? c? 的展开式中含 a p b q c r ? pqr? ? N , p ? q ? r ? n
n
q q r q q 项的系数作了几个猜想 :甲:Cnp : 乙:Cnp Cn : 丙:Cnp Cn Cn : 丁:Cnp Cn ;戊:Cn Cnp ?q , ?p

你认为上面有正确结论吗?若有,指出是什么;若没有,请你写出自认为正确的结论; (2)求解下面的问题:一袋中共有除颜色外完全相同的 6 个小球,其中一个红色、两个黄色、 三个白色,现从袋中又放回地摸取小球 6 次,求恰一次摸取红球、两次摸出黄球、三次 摸出白球的概率。 16.解:丁和戊是对的 记: “摸出红球”为事件 A.“摸出黄球”为事件 B,’‘摸出白球”为事件 C

1 1 1 5 ?1? 1 1 2 ?1? 则P? A? ? , P?B? ? , P?C ? ? 故所求概率 P ? C6 ? C5 ?? ? ?? ? ? 6 3 2 6 36 ? 3? ? 2 ?
18.( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) (本大题满分 12 分) 某商场举行周末有奖促销活动, 凡在商场一次性购物满 500 元的顾客可获得一次抽奖机会. 抽 奖规则:自箱中一次摸出两个球,确定颜色后放回,奖金数如下表. 经测算该商场赢利为销售额的 10%,已知箱中已放有 2 个红色球和 5 个蓝色球,为使本次抽奖 活动不亏本,该商场应在箱中至少放入多少个其它颜色的球?(抽出任一颜色球的概率相同). 18.解:该商场应在箱中至少放入 x 个其它颜色的球,获得奖金数为 ? , 则 ? = 0,100,150,200
P(? ? 0) ?
2 Cx 2 Cx ?2

2

3

?

C1 C 2 x( x ? 1) 20 , P(? ? 100) ? 22 5 ? , ( x ? 7)( x ? 6) ( x ? 7)( x ? 6) Cx ? 2

P(? ? 150) ?

C52
2 Cx ?2

?

C2 20 2 , P(? ? 200) ? 22 ? ( x ? 7)( x ? 6) Cx ? 2 ( x ? 7)( x ? 6)

8分

∴ ? 的分布列为
x( x ? 1) 20 20 2 ? 100 ? ? 150 ? ? 200 ? ( x ? 7)( x ? 6) ( x ? 7)( x ? 6) ( x ? 7)( x ? 6) ( x ? 7)( x ? 6) 5400 ? 10 分 ( x ? 7)( x ? 6) 5400 剠50 ? x 2 ? 13 x ? 66 0 (x∈Z*) 由已知, E? ? 500 ? 10% ? 50 ,即 ( x ? 7)( x ? 6)

∴ E? ? 0 ?

解得:x≥4 ∴该商场应在箱中至少放入 4 个其它颜色的球.

12 分

1 6 . ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 文 ) (本大题满分 12 分) 某校高三文科分为四个班,高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩 统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人.抽取出来的所 有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图 频率 如图所示, 其中 120~130 (包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05, 此分数段的人数为 5 人. 0.4 (1)各班被抽取的学生人数各为多少人? 0.3 0 (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分 0.3 5 0.25 数不小于 90 分的概率. 0 0.20 0.1 16.(1)解:由频率分布条形图知,抽取的学生 0.1 5 5 总数为 4分 ? 100 人 0.0 0 0.05 5 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公 70 80 90 100 110 120 130 分数 差为 d 由 4×22+6d = 100 解得:d = 2 6分 ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. 8分 (2)解:在抽取的学生中,任取一名学生,分数不小于 90 分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75 12 分 17. (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题) 一个不透明的口袋内装有分别写着“08” 、 “奥 运”且大小相同的球共 7 个,已知从中摸出 2 个球都是写着“奥运”的概率为

1 .甲、乙两 7

个小朋友做游戏采用不放回从袋中轮流摸取一个球,甲先取、 乙后取,然后甲再取,直到两个 小朋友中有 1 人取得“奥运”时游戏终止,每个球在每一次被取出的机会均相同,用 ? 表示 “游戏终止时取球总次数”. (1)求该口袋内装有写着“08”的球的个数; (2)求 ? 的分布列与数学期望

17.(湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理)(本小题满分 12 分) 一个口袋中装有大小相同的 n 个红球( n ≥ 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两 个球,两个球的颜色不同则为中奖。 (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)记从口袋中三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 m ,求 m 的最大 值? (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,将 5 个白球全部取出后,对剩下的 n 个红球全部作如下标记: 记上 i 号的有 i 个( i ? 1, 2,3, 4 ) ,其余的红球记上 0 号,现从袋中任取一球。 ? 表示所取球的 标号,求 ? 的分布列、期望和方差。
2 17【解】 (Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任取两个,有 Cn ?5 种方法。

1 1 它们是等可能的,其中两个球的颜色不同的方法有 Cn C5 种,

一次摸奖中奖的概率为 p ?

1 1 Cn C5 10n ? .??3′ 2 Cn ?5 ? n ? 5?? n ? 4 ?

(Ⅱ)设每次摸奖中奖的概率为 p ,三次摸奖中恰有一次中奖的概率是:
1 3 2 m?P 3 ?1? ? C3 ? p ? ?1 ? p ? ? 3 p ? 6 p ? 3 p ( 0 ? p ? 1 ). 2

m 对 p 的导数 m? ? 9 p2 ? 12 p ? 3 ? 3? p ? 1??3 p ? 1? ??5′

? 1? ?1 ? 因而 m 在 ? 0, ? 上为增函数, m 在 ? ,1 ? 上为减函数。 ? 3? ?3 ? 10n 1 1 4 ? , n ? 20 时, mmax ? .??? 7′ ∴当 p ? ,即 3 9 ? n ? 5?? n ? 4 ? 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知:记上 0 号的有 10 个红球,从中任取一球,有 20 种取法,它们是等可 能的.故 ? 的分布列是:

?

0

P

1 2

1 1 20

2 1 10

3

3 20

4 1 5

1 1 1 3 1 3 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? .??9′ 2 20 10 20 5 2 2 2 2 2 2 3? 1 ? 3? 1 ? 3? 1 ? 3? 3 ? 3 ? 1 11 ? . ? D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 20 ? 2 ? 10 ? 2 ? 20 ? 2? 5 4 ?
12′ 17.(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文) (本题满分 12 分)在某社区举办的《2008 奥运知 识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答 对 这道题的概率是 ,甲、丙两人都回答错 的概率是 ,乙、丙两人都回答对 的概率是 . .... .... 4 12

3

1

1 . 4
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率. (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率. 17.解:记“甲回答对这道题” 、 “ 乙回答对这道题” 、 “丙回答对这道题”分别为事件 A 、 B 、

1 1 ? ? ?P( A) ? P(C ) ? 12 ?[1 ? P( A)] ? [1 ? P(C )] ? 12 3 C ,则 P ( A) ? ,且有 ? ,即 ? 1 1 4 ? P( B) ? P(C ) ? ? P( B) ? P(C ) ? 4 4 ? ? 3 2 ∴ P ( B ) ? , P (C ) ? ??????????????????????????6 分 8 3 1 1 (2)由(1) P ( A) ? 1 ? P ( A) ? , P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? . 4 3
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为:

P ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ?

3 3 1 3 5 2 1 3 2 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???12 分 4 8 3 4 8 3 4 8 3 32
3 1

17.(湖北省 2009 年 3 月高三八校第二次联考理科)(本小题满分 12 分) 在某社区举办的《2008 奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关 奥运知识的问题,已知甲回答这道题对 的概率是 ,甲、丙两人都回答错 的概率是 ,乙、 . .... 4 12 丙两人都回答对 的概率是 . .... 4 (Ⅰ)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率; (Ⅱ)用 ? 表示回答该题对的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 【解】 (Ⅰ)记“甲回答对这道题” 、 “ 乙回答对这道题” 、 “丙回答对这道题”分别为事件 A 、 1 1 ? ? P A ?P C ? ?1 ? P ? A? ? ??? ?1 ? P ? C ? ? ?? ? ? ? 3 ? ? 12 ,即 12 B 、 C ,则 P ? A? ? ,且有 ? ? 1 1 4 ? P ? B ? ? P ?C ? ? ?P ? B ? ? P ?C ? ? ? ? 4 ? 4 ?

1

? ? ? ?

2 3 , P ? C ? ? .????6′ 3 8 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) P A ? 1 ? P ? A? ? , P B ? 1 ? P ? B ? ? . 4 3 ? 的可能取值为: 0 、 1 、 2 、 3 . 1 1 5 5 则 P ?? ? 0 ? ? P A ? B ? C ? ? ? ? ; 4 3 8 96 3 5 1 1 3 2 3 5 2 7 ; P ?? ? 1? ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 8 3 4 8 3 4 8 3 24 15 ; P ?? ? 2 ? ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? 32 3 P ?? ? 3? ? P ? A ? B ? C ? ? .????9′ 16 ∴ ? 的分布列为 ? 0 3 1 2
∴ P ? B? ?

? ? ?

? ?

?

? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

3 5 7 15 16 96 24 32 5 7 15 3 43 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .????12′ 96 24 32 16 24

P

17.(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)下面玩掷骰子放球游戏,若掷出1点或6点,甲盒 放一球;若掷出2点,3点,4点或5点,乙盒放一球,设掷 n 次后,甲、乙盒内的球数分别为 x、 y. ⑴当 n=3时,设 x=3,y=0的概率; ⑵当 n=4 时,设 x ? y ? ? ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 17.由题意知,在甲盒中放一球概率为 时,在乙盒放一球的概率为
0 ( )3 ( ) 0 ? ①当 n=3时,x=3,y=0的概率为 C3

1 3

2 3

2分 4分

1 3

2 3

1 27

②当 n=4时,x+y=4,又|x-y|=ξ,所以 ξ 的可能取值为0,2,4
2 ( )2 ( )2 ? (i)当 ξ=0时,有 x=2,y=2,它的概率为 C4

1 3

2 3

8 27

4分

(ii)当 ξ=2时,有 x=3,y=1或 x=1,y=3
3 1 3 1 3 它的概率为 C1 4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ?

1 3

2 3

1 3

2 3

40 81

(iii)当 ξ=4时,有 x=4,y=0或 x=0,y=4
0 4 ( ) 4 ( )0 ? C4 ( )0 ( ) 4 ? 它的概率为 C4

1 3

2 3

1 3

2 3

17 81

故 ξ 的分布 列为 ∴ξ 的数学期望 Eξ= 0?

ξ p

0
8 27

2
40 81

4
17 81

10分

8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? 27 81 81 81

12分

17. (天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)(本题满分 12 分).设进入健身中心的每一位 健身者选择甲种健身项目的概率是 0.6 ,选择乙种健身项目的概率是 0.5 ,且选择甲种与选择 乙种健身项目相互独立,各位健身者之间选择健身项目是相互独立的。

(Ⅰ )求进入该健身中心的 1 位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率; (Ⅱ )求进入该健身中心的 4 位健身者中,至少有 2 位既未选择甲种又未选择乙种健身项目的 概率。 17..解: (Ⅰ )记 A 表示事件:进入该健身中心的 1 位健身者选择的是甲种项目,B 表示事件: 6 , 进入该健身中心的 1 位健身者选择的是乙种项目, 则事件 A 与事件 B 相互独立, P (A) = 0. P(B)= 0.5 。―――-1 分 故进入该健身中心的 1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率为: P A ? B ? A ? B =

?

?

P A ? B ? P A ? B =P(A) P B + P A P ? B ? = 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 。-――4分
(Ⅱ )记C表示事件:进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目,D表 示事件:进入该健身中心的4位健身者中,至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目, A2表示事件:进入该健身中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目, A3表示事件:进入该健身中心的4位健身者中恰有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目, A4 表示事件:进入该健身中心的 4 位健身者中恰有 4 位既未选择甲种又未选择乙种健身项 目,―――5分 则P(C)= P A ? B ? P A P( B) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.2 ,―――7分
2 P ? A2 ? ? C4 ? 0.22 ? 0.82 ? 0.1536 ,―――8分

?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

3 P ? A3 ? ? C4 ? 0.23 ? 0.8 ? 0.0256 ,―――9分

P ? A4 ? ? 0.24 ? 0.0016 ―――10分 P ? D? ? P ? A2 ? A3 ? A4 ? ? P ? A2 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? 0.1808 。―――12分
17.(湖北省沙市中学 2009 届高三三月月考试题)甲、乙两人玩轮流抛掷一对骰子的游戏, 由甲先掷,乙后掷,然后甲再掷,?. 规定 先得到两颗骰子点数之和等于 7 的一方获胜,一旦决出胜负游戏便结束. (Ⅰ)若限定每人最多掷两次,求游戏结束时抛掷次数ξ 的概率分布和数学期望; (Ⅱ)若不限定两人抛掷的次数,求甲获胜的概率. 17.解:(Ⅰ) 抛掷一次出现的点数共有 6×6 = 36 种不同结果,其中“点数之和为 7”包含 了 (1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) , (6 , 1)共 6 个结果, 6 1 ∴抛掷一次出现的点数之和为 7 的概率为 ? ?????????? 2 分 36 6 ξ 可取 1 , 2 , 3 , 4 1 5 1 5 5 1 25 P (ξ =1) = ,P (ξ =2) = ? ? ,P (ξ = 3) = ( ) 2 ? ? 6 6 6 36 6 6 216 5 3 125 P (ξ = 4) = ( ) ?1 ? 6 216 ∴ξ 的概率分布列为 ξ P Eξ = 1× 1 1 6 2 5 36 3 25 216 4 125 216

?? 6 分

1 5 25 125 671 + 2× + 3× + 4× = 6 36 216 216 216 (Ⅱ) 不限制两人抛掷的次数,甲获胜的概率为:

??????????? 8 分

1 5 1 5 1 P = + ( )2× + ( )4× + ? = 6 6 6 6 6

1 6 6 ? . 5 11 1? ( ) 2 6

???? 12 分

17.(湖北省宜昌市 2009 年 3 月高三年级第二次调研考试理) (本小题满分 12 分) 设 b、c ?{1, 2,3, 4,5,6} ,用随机变量 ? 表示方程 2 x ? cx ? b ? 0 实根的个数(重根按一 个计) .
2

(1) 求方程 2 x ? cx ? b ? 0 有实根的概率; (2) 求 ? 的分布列和数学期望.
2

17.解: (1)记“方程 2 x ? cx ? b ? 0 有且仅有一个实根”为事件 B , “方程 2 x ? cx ? b ? 0 有两个相异实数”为事件 A . c, b 分别取 1 到 6,基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 种.
2 2

事件 B 需要满足 c ? 8b ? 0 ,按序穷举可得, c ? 4 时 b ? 2 符合,
2

1 ??????????????2 分 36 2 事件 A 需要满足 c ? 8b ? 0 ,按序穷举可得, c ? 3 时 b ? 1 ; c ? 4 时 b ? 1 ; c ? 5 时 9 1 ? .?????5 分 b ? 1, 2,3 ; c ? 6 时 b ? 1, 2,3, 4 .合计 9 种.其概率为 P( A) ? 36 4 又因为 B, A 是互斥事件,故所求概率 1 9 10 5 P ? P( B) ? P( A) ? ? ? ? . ???????????6 分 36 36 36 18 1, 2. (2)由题意, ? 的可能取值为 0, 1 9 P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , 36 36 1 9 26 P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? 1 ? ? ? .??????????8 分 36 36 36 故 ? 的分布列为:
其概率为 P ( B ) ?

?
P

0

1

2

26 36

1 36

9 36

???????????????????????????????????9 分 所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

26 1 9 19 ? 1? ? 2 ? ? .?????? ????12 分 36 36 36 36


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